運用“教學做合一”思想培養學生數學探究能力

運用“教學做合一”思想培養學生數學探究能力

    教育家陶行知先生提出了“教學做合一”思想，他認爲，教師教方法要根據學生學的方法來確定，教與學的方法，都要根據“做”的方法來確定，教法、學法、做法是應當三合一的。陶先生還說，教、學、做都要以“社會生活”爲中心，“做”要在“勞力上勞心”。即“我們做一件事便要想如何可以把這件事做好，如何運用書本，如何運用別人的經驗，如何改造用得着的一切工具，使這件事做得最好。我們還要想到這事和別事的關係，想到這事和別事的相互影響。我們要從具體想到抽象，從我相想到共相，從片段想到系統。”（陶行知《答朱端琰之問》）陶先生這些思想與今天新課程改革的思想、理念完全是一致的。按照《課標》編寫的高中數學教材，正是以社會生活爲中心，教學生髮現生活中的問題，從而解決問題。陶行知的“教學做合一”思想有利於指導我們在高中數學教學中培養學生的數學探究能力，提高高中數學教學效益。

一、在“做”中培養學生數學探究意識

⒈從生活出發，培養學生的探究意識。

    我國的數學教育在很長一段時間內對於數學與實際的聯繫未能給予充分的重視，這導致了學生不善於從生活中發現問題，思考問題。其實，數學的產生於發展，從來都是來自於生活實際問題。從生活實際出發，抽象出數學問題，有利於激發學生學習數學的興趣，產生問題意識。

例1 國慶期間，百勝和中友兩個商場舉行大酬賓活動，百勝商場規定：買任何一件商品，可先打折，再打折；中友商場規定：買任何一件商品可連續地兩次折，請問：哪個商場更受顧客歡迎？

這是與學生息息相關的生活問題，學生興趣濃，能調動學習的積極性，產生探索的心理指向。

爲了花最少的錢，買最多的東西，先研究一番：首先提出假設：

創設情景：分別購買1000元的商品，並作比較。通過比較，學生容易發現：；顯然，去百商場購買商品合算。

其次，將問題一般化：是否爲任何值時，均成立呢？

這就將生活問題，演變成數學的一般性問題了。

  在數學教學中，能從學生身邊的例子出發的事例比比皆是。由於是學生熟悉的東西，學生“做”的探究意願強烈，容易產生親知；而且，培養了學生關注生活，思考生活的好習慣，培養了學生的探究意識。

⒉點撥指導，培養學生探究的韌性。

學生探究的意識是最爲可貴的，而要學生具備樂於探究的習慣，還需要教師加以呵護。

當數學問題較爲綜合時，教師應適時加以指導，是否可考慮先解決局部問題，在“做”中再從整體上引導；當數學問題較爲抽象，教師可引導學生從具體切入，從具體中得到啓示；當數學問題較爲複雜時，教師可引導學生先解決簡單問題；通過教師的點撥指導，學生能積累解決困難的經驗，提高抗挫折能力。

二、在“做”中進行學法指導，培養探究思維能力

    培養學生的探究能力，首先要養成學生科學的探究方式。陶行知說：“活的人才教育，不是灌輸知識，而是將開發文化寶庫的鑰匙，盡我們知道的交給學生。”教師在教學中注重做法的指導，把學習的主動權交給學生，讓學生在已有知識的基礎上，藉助一定的學習方法，自己獨立地發現問題，分析問題，主動去獲取新知識，從而真正達到培養能力。

⒈培養學生“嘗試—歸納—猜想—證明”的探究方式

“嘗試﹑歸納﹑猜想”被愛恩斯坦稱之爲“思想實驗”，科學上許多“發現”都是憑直覺作出猜想，而後纔去加以證明或驗證。在數學研究裏面，“先猜測後證明”幾乎是一條規律。

例2 設平面內有條直線，其中有且僅有兩條直線互相平行，任意三條直線不過同一點。若用表示這條直線交點的個數，則=             （用表示）

 ①畫圖觀察猜想

   畫圖可得，

  由此可得，

猜想：

②證明猜想（略）

在高中數學中，能使用這種研究方法的素材很多，如果持之以恆的對學生加以培養，慢慢的學生會形成這種科學研究的素質。

⒉培養學生類比聯想的探究方式

 類比就是一種相似，類比法是從特殊到特殊的推理方法。

①通過類比法，培養問題意識。

美國著名數學家哈爾莫斯說“問題是數學的心臟”。從推動科學進步和個人終身發展來看，獨立發現和提出問題往往顯得非常重要。那麼，怎樣獨立發現和提出問題呢？一條重要的途徑就是從當前研究的典型問題出發，應用恰當的（數學）方法挖掘、發現新的問題。而類比是一種常見的方式。

例3 已知線段AB是拋物線的焦點弦，F是焦點，準線L與x軸交於點E，作BN⊥L於N。求證：直線AN過拋物線的頂點O；∠AEF＝∠BEF。

能將上述問題進行推廣與引申嗎？（激勵學生髮現問題的意識和提出問題的勇氣，希望學生能自己發現並提出一些猜想，並用技術檢驗自己的猜想）

學生很容易類比到在橢圓和雙曲線中這些結論是否也

成立？因而得到以下兩個猜想命題。

猜想1：如圖1，設是橢圓的長軸，AB是過橢圓左焦點F的弦，BN∥交橢圓的左準線L於N點。則直線AN過橢圓的左頂點；∠AEF＝∠BEF 。

猜想2：如圖2，設是雙曲線的實軸，AB是過雙曲線右焦點F的弦，BN∥  交雙曲線的右準線L於N點。則AN過雙曲線的右頂點；∠AEF＝∠BEF 。

在這個例子中，由拋物線聯想類比到橢圓﹑雙曲線，提出了兩個猜想，產生了新的問題，促進了學生的思考。當然，類比得到的猜想可能正確也可能不正確，如猜想1中“直線AN過橢圓的左頂點”是錯誤的，“∠AEF＝∠BEF”是正確的；但是，最可貴的是提出了問題，促進了研究，培養了探究思維能力。

②利用類比法，尋求解題思路。

例4 定義在（-1，1）上的函數滿足：⑴對於任意，都有  ⑵。

⑴試判斷函數的奇偶性；

⑵求證：

分析：數學解題思路的探究，往往與解題者個人原有知識經驗中類似形式與結構﹑類似方法或模式有着千絲萬縷的聯繫，這些聯繫常常與類比推理密切相關。通過分析得到，聯想﹑類比數列求和的拆項求和法，嘗試，解得，即，從而可猜測。

證明： 

⑶強化一題多解與一題多變，培養學生髮散思維能力

通過一題多解，培養思維的靈活性和求優意識。##

例5 在等差數列中，前項和爲，若存在自然數使得當時，與的大小關係爲：

A          B           C          D

法一：化歸到，用作差比較法可得。但本題作爲選擇題，這種做法投資太大，應思考是否還有更優秀的解法。

法二：數形結合法。由題意可知，如右分別作出的函數圖象，立即可得答案A 。

一題多解是數學解題的一大特色，在教學中可經常培養學生不滿足現狀的習慣，提高解題的靈活性，培養學生尋求解決問題的優化意識。

⒉通過一題多變，培養思維的深刻性和研究意識。

  如在例3中的猜想1中還可繼續思考，將問題一般化，產生變題：

線段AB是橢圓的任意弦，並且線段AB與它的焦點所在的對稱軸交於點，該軸上是否存在一點E，使∠AEM＝∠BEM ？

 例6 已知： 求證：

分析： 課本利用作差法證明了該題。當學習完該題後，可以考慮改變題目的條件，引導學生探索：

①如果把條件減弱爲是否仍有該結論？

經過探索發現仍有該結論。

證明：

又   

是否有相似或推廣的結論？經過探索發現有結論：

②

③

③證明：

當時，；當時，

通過以上問題探索，把學生置於發散式的思維狀態中。一方面，可以鞏固作差比較法，同時滲透分類討論思想，培養思維的深刻性；另一方面，可以培養學生反思的研究意識。

三、實施“六大解放”，培養自動探究能力

   “教學做合一”關鍵在於“做”，而這種“做”歸根到底在於解放學生，陶先生的“六大解放”是：解放兒童的頭腦，使他們能想；解放小孩子的兩手，使他們能幹；解放兒童的眼睛，使他們能看；解放小孩子的嘴，使他們能談；解放小孩子的空間，使他們能到大自然大社會裏去取得更豐富的學問；解放兒童的時間，使兒童有自由支配的時間。

⑴解放學生的頭腦，培養學生的自主探究能力

⒈創設故錯情境，培養他們的懷疑精神。陶先生在《兒童創造》中談到“我們要發展兒童的創造力，先要把兒童的頭腦從迷信﹑成見﹑曲解﹑中解放出來”。解放學生的頭腦，使學生不迷信權威﹑不迷信教師；

例7 拋物線的一條弦直線是，且弦的中點的橫座標是2，求此拋物線方程。某“權威答案”如下：
解：由ｙ＝２ｘ＋５，得：　①
由，　　得　　　　故所求拋物線方程爲 
　　　質疑：把代入方程①，方程無實解，或方程①要有Δ＝４ｐ（ｐ－２０）＞０，即ｐ＜０，或ｐ＞２０，故ｐ＝２不合題意。本題無解。
　　教學中，對這樣的新發現、巧思妙解及時褒獎、推廣，能激起他們不斷進取，努力鑽研的熱情。

⒉創設問題情景，啓發學生思考。

 例8 已知拋物線如果直線同時是和的切線，稱是和的公切線，公切線上兩個切點之間的線段，稱爲公切線段。取什麼值時，和有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程。

分析：本題涉及兩個曲線和一條直線，情景較爲複雜，多數學生思維無法打開；因此，爲學生不斷創設“最近發展區”就顯得至關重要，這裏的“做”就是引導學生積極思考。

我創設以下幾個問題幫助學生步步逼近問題的本質：

①  從所探求的結論考慮，本題屬於哪個知識點？啓發學生判斷本題屬於切線問題。

②    把兩個曲線簡單化成一個曲線，切線問題的解法怎樣？啓發學生聯想“以切點爲中心的解題方法”

得到如下解題：函數的導數，曲線在點的切先方程是：；函數的導數，曲線在點的切線方程是③公切線意味着什麼？引導學生得出，至此已經很靠近目標了，再促使學生思考：

④怎樣得到的取值範圍？引導學生從運用轉化思想得到方程：

有唯一解。

⒊引導一題多解，培養髮散思維。

  一題多解是數學學科的一大特色，一方面，通過一題多解可培養學生的求優意識；另一方面，通過一題多解可培養學生思維的廣闊性。例如：在上題的解題後，不是就此結束，而是充分挖掘本題的教育功能，挑戰學生的思維，繼續“做”下去，探究其它解法。

角度一：如果從切線的斜率出發得到：，不採取原來的路子，又該怎樣得到有唯一解。誘發學生思考再尋找一個等式，切線的斜率還可怎樣表示？引導學生得出：

通過這種處理，學生又學習了“演算兩次”的思想。

角度二： 如果從解析幾何角度，又該如何處理？通過這種探究，溝通導數與解析幾何兩個分支的聯繫。

⑵解放學生的雙手，培養學生的動手探究能力。

   如在例3中，學生可以將類比得到的命題，通過計算機動手探究，發現命題的真假；又如在《算法語言》的教學中，讓學生將自己編好的程序輸入到計算機中去驗證，接受計算機的檢測，學生通過計算機的反饋，自己動手修改程序，完善程序，通過這樣的一個動手活動，可以加深學生對知識的理解程度，甚至在動手中會創造出新穎的程序，增長了才幹。

⑶解放學生的嘴，培養學生合作交流的探究能力。

第一，鼓勵學生敢於表達自己的見解。

 做學問關鍵在於問，對於學生的見解，哪怕是幼稚﹑錯漏百出的，教師都應給予學生表達的機會，對學生表達中的合理成分給予肯定，幫助學生完善其思考，而不是忽視學生，一味否定學生的發言。

第二，鼓勵學生在合作交流中學習。

     如在《指數函數圖象及其性質》可通過讓學生分組參與，分別作出，的圖象，然後引導學生從函數性質的幾個方面（定義域，值域，單調性，奇偶性）進行合作研究，互相補充，歸納指數函數圖象及其性質。這種方式有助於發揮學生學習的主動性，使學生體驗數學發現的里程，使學生的學習過程成爲在教師引導下的“再創造”過程。

⑷解放學生的眼和空間，培養學生的實踐探究能力。

   解放學生的眼和空間，就是不要讓學生爲讀書而讀書，把自己禁錮在書堆裏，課堂上，而是要引導學生走出學校，錘鍊能力。如學習了函數的最大最小值，就讓學生去生活中尋找最優化方案設計；學習了數列的求和，就讓學生去調查銀行的按揭業務；學習了概率，就讓學生關注風險投資；學習了線性迴歸方程，就讓學生去關注生活中的現象，提出模擬等等。通過“做”，才能融會貫通，才能深化認識。通過生活的實踐，知識就成了真知，同時又會碰到更多新的未知，激發出更強烈的求新知的慾望。

⑸解放學生的時間，培養學生的創造探究能力。

   減輕學生課內作業的負擔而引導學生延伸課內，發展個人的興趣。例如學完一章後讓學生寫知識結構小結；讓學生進行數學史專題研究，如探究函數發展史；讓學生寫數學論文，如數形結合法優化思維品質等。

掌握常見的探究方法，並且實現學生的“六大解放”，把“做”作爲教和學的出發點和歸宿，才能引發個體體驗快樂、產生新的需要的，形成發展的動力。正如陶先生所說，"先生拿做來教，乃是真教；學生拿做來學，乃是實學"，只有在“做”中培養學生的探究能力，才能真正培養學生的實踐能力和創新精神。