对集合的一点新认识
对集合一点新认识<?xml:namespace prefix = o ns = "urn:schemas-microsoft-com:office:office" />
【摘要】: 空集(Ø)是一类特殊集合,在集合研究中处于基础地位。本文运用逻辑演绎方法,从理论上通过对空集的重新认识阐述,叙述了空集的现行概念、与非空集(Ø)关系及悖论性;初步定义“嵌套集”的相关概念及推广。
【关键词】: 空集;悖论性;嵌套性;循环节
一、对空集(Ø)的认识
1.空集(Ø)的现有定义
不含任何元素的集合称为空集,记作Ø。
2.空集(Ø)与非空集(Ø)之间的关系
现行教材的规定:
空集(Ø)是一切集合的子集;空集(Ø)是一切非空集(Ø)的真子集。
空集(Ø)与非空集(Ø)之间定义了2种关系,即“子集”,“ 真子集”关系;或Ø C Ø Ø C Ø
3.悖论性,“空集的二重性”
若给定空集(Ø)与集合A={1,2,Ø},那么存在如下命题:
(I) Ø ∈A ,理由:集合的定义;
(II)Ø C A 或Ø C A,理由:空集的性质(规定)。
前者反映集合与元素之间关系的唯一性;要么属于,要么不属于;后者反映集合与集合之间关系的明确性,定义出“包含”、“不包含”、“真包含”等意义。
由此说明空集(Ø)的二元性:在同一条件下,既是集合又是元素,从而说明集合、元素概念的矛盾性(并不完备)。
二、对非空集(Ø)的认识
给定2个集合A={1,2},B={1,2,A}。试确定二者之间的关系。显然,从集合与元素之间的关系出发,有A ∈ B;若从集合与集合之间的关系考虑,A与B之间满足“真包含”关系,即B C A。前者肯定了集合与元素之间的关系,后者肯定了集合与集合之间的关系。那么在同一条件下集A与集B究竟应该明确如何关系呢?目前中学教材尚无定论。当问题出现时,老师和学生就不好把握。
三、“属于”“ ∈ ”,“子集”“ C ”,“真子集”“ C ”在同一条件下的地位分析
[例证]:给定集合A、B,
A={1,2}
B={1,2,A}
从现有的教材我们可以看出,集合与元素之间的从属关系在前,集合与集合之间的(真)子集关系在后。这2种关系是相对独立的。
讨论:
1O.如果肯定了A ∈ B,那么就否定了A与B的子集关系;
2O.如果肯定了A C B,则否定了A ∈ B,也就是不能肯定A与B的从属关系,进而否定了集合的定义。
分析:
由于集合与元素之间的从属关系在前,是铺垫、是基石,因而先要作出肯定。为了避开或解决它们之间的矛盾,排除以子集为元素的情况。我们规定A C B<=>任意a ∈ A,则a ∈ B, 且A <?xml:namespace prefix = v ns = "urn:schemas-microsoft-com:vml" />
四、嵌套集
定义集合A={1,2,B},B=A.则A为嵌套集。其中{1,2}为嵌套集的循环节。
例证推演:
设集合A={1,2,B},且B=A;则集A可作如下的推演,
A={1,2,B}={1,2,{1,2,B}}={1,2{1,2{1,2,B}}}=……
这里集A中存在嵌套元素B。
[特例]
考察数列{an}, an=
解法一:利用代数方程求解
令A=
对A=
解法二:利用等比数列性质公式求值
an= 2[
从以上两种证法比较看出,利用代数方程求解(嵌套分离)方法较为简单。
像这种循环根式如上例
思 考:
根式化简
T1:
T2:
T3:
求解循环根式重要的是找出循环节;如T1式,循环节
作者:老**职业技术学校 陈中林
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