“方程的根與函數的零點”教學反思
方程的根與函數的零點是高中課程標準新增的內容,表面上看,這一內容的教學並不困難,但要讓學生能夠真正理解,教學還需要妥善處理其中的一些問題。最近,在浙江紹興聽了這一內容的兩堂新授課,使用教材都是人民教育出版社《普通高中課程標準試驗教科書·數學1(必修)》,課後又與部分學生進行了交流。總的來説,教學效果都不甚理想,暴露出了一些共同的問題,看來具有一定的代表性。下面就兩堂課共同存在的問題,談一點看法。
一、首先要讓學生認識到學習函數的零點的必要性
教材是利用一元二次方程的例子來引入函數的零點。這樣處理,主要是想讓學生在原有二次函數的認知基礎上,使其知識得到自然的發生發展。理解了像二次函數這樣簡單的函數的零點,再來理解其他複雜的函數的零點就會容易一些。但在教學時,就不能照本宣科。
這兩堂課的教學都和教材一樣,也是利用一個一元二次方程來引入,圍繞怎樣判斷所給方程是否有實根來提出問題。並且,兩位教師都利用了教材中的方程提出了下列問題:
方程x2-2x-3=0是否有實根?你是怎樣判斷的?
結果,學生的反應都很平淡,大多數人對這個問題都不感興趣。課後學生認為,大家對如何解一元二次方程早就熟練了,老師沒必要再問那麼簡單的問題了。由此看來,這堂課一開始就應該讓學生認識到學習函數的零點的必要性。教師所選擇的例子,最好是學生用已學方法不能求解的方程,這樣才能激發學生的學習積極性,並讓其認識到學習函數的零點的必要性。例如,可以把教材後面的例子先提出來,讓學生思考:
方程lnx+2x-6=0是否有實根?為什麼?
在學生對上述問題一籌莫展時,再回到一元二次方程上,引導學生利用函數的圖象和性質來研究方程的根。這堂課的頭開好了,整堂課就活了。
二、一元二次方程根的存在是否由其判別式決定
當教師問到一元二次方程x2-2x-3=0是否有實根時,兩個班的學生很快就用根的判別式作出了判斷,沒有一位學生用方程相應的函數圖象進行分析。於是,教師又引導學生作出一元二次方程相應的函數的圖象,並建立方程的根與函數圖象和x軸交點的聯繫。值得注意的是,在上述活動中,學生認為,因為一元二次方程根的判別式的大小有三種情況,所以一元二次方程相應的函數圖象和x軸的交點就有三種情況。教師不僅對此默認,還在研究了一元二次方程與其函數圖象的關係後總結到,雖然我們可以用判別式來判斷一元二次方程根的存在,但對於沒有判別式的其他方程就可以根據相應的函數圖象來判斷了。
看來,師生們對一元二次方程根存在的本質原因都不清楚,都誤以為是其判別式的大小。如果通過建立一元二次方程與其相應函數圖象的關係,沒有揭露出方程根存在的本質原因是相應函數的零點的存在,那麼就會導致學生對引入函數零點的必要性缺乏深刻的認識,以為結合函數圖象並利用f(a)?f(b)的值與0的關係判斷方程根的存在只是其中的一種方法或技巧,而認識不到其一般性和本質性。所以,教學在研究一元二次方程與其相應函數圖象的關係時,關鍵要以函數圖象為紐帶,建立一元二次方程的根與相應函數零點之間的關係,讓學生理解方程根存在的本質以及判斷方程根存在的一般方法。這樣,才能將所得到的判斷方程根存在的方法推廣到一般情況,並使學生對方程根存在的認識不僅僅停留在判別式或函數圖象上。
三、根據圖象能否判斷函數是否有零點以及零點的個數
儘管兩堂課教師都談到,要判斷函數f(x)在(a,b)內是否有零點(教材對於函數f(x)在(a,b)內有零點,只研究函數f(x)的圖象穿過x軸的情況),應該先觀察函數f(x)的圖象在(a,b)內是否與x軸有交點,再證明是否有f(a)?f(b)<0。但是,教學卻沒有對證明的必要性展開討論。結果,從課後瞭解到,學生都以為只要觀察到圖象與x軸是否有交點,就可以判斷函數f(x)在(a,b)內是否有零點,至於證明只是數學上的嚴格要求而已。同樣,兩堂課在研究函數f(x)在(a,b)內有幾個零點時,教師也是這樣告訴學生,應該先觀察函數f(x)的圖象在(a,b)內有幾個交點,再進行證明,依然沒有説明證明的必要性。所以,在課後向學生提出如何判斷函數f(x)在(a,b)內有幾個零點時,就有學生認為,只需看函數f(x)的圖象在(a,b)內有幾個交點即可。
看來,教師有必要引導學生認識證明的必要性。例如,我們可以作出一些特殊函數在不同區間範圍的圖象,讓學生通過觀察對比得到認識。
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