反函数的定义是什么【精品多篇】
反函数的使用符号 篇一
符号
arc
用法
例:三角函数中
正弦函数和它的反函数:f(x)=sinx->x=arcsinx
余弦函数和它的反函数:f(x)=cosx->x=arccosx
正切函数和它的反函数:f(x)=tanx->x=arctanx
余切函数和它的反函数:f(x)=cotx->x=arccotx
注解
反正弦的意义,则符合条件sinx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反正弦,记作:arcsina,即x=arcsina.注:1、“arcsina”表示中的一个角,其中-1≤a≤1.2、sin(arcsina)=a.(二)、反余弦的意义x∈[0,π],则符合条件cosx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反余弦,记作arccosa,即x=arccosa.注:1、“arccosa”表示[0,π]中的一个角,其中-1≤a≤1.2、cos(arccosa)=a.(三)、反正切的意义,则符合条件tanx=a的角x叫做a的反正切,记作arctana,即x=arctana.注:1、“arctana”表示中的一个角。2、tan(arctana)=a.(四)、用反三角符号表示[0,2π]中角的一般规律
函数的定义 篇二
一般地,如果x与y关于某种对应关系f(x)相对应,y=f(x)。则y=f(x)的反函数为y=f^-1(x)。
存在反函数的条件是原函数必须是一一对应的(不一定是整个数域内的)
【反函数的性质】
(1)互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称;
(2)函数存在反函数的充要条件是,函数的定义域与值域是一一映射;
(3)一个函数与它的反函数在相应区间上单调性一致;
(4)一般的偶函数一定不存在反函数(但一种特殊的偶函数存在反函数,例f(x)=a(x=0)它的反函数是f(x)=0(x=a)这是一种极特殊的函数),奇函数不一定存在反函数。若一个奇函数存在反函数,则它的反函数也是奇函数。
(5)一切隐函数具有反函数;
(6)一段连续的函数的单调性在对应区间内具有一致性;
(7)严格增(减)的函数一定有严格增(减)的反函数【反函数存在定理】。
(8)反函数是相互的
(9)定义域、值域相反对应法则互逆(三反)
(10)原函数一旦确定,反函数即确定(三定)
例:y=2x-1的反函数是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函数是y=log2x
例题:求函数3x-2的反函数
解:y=3x-2的定义域为R,值域为R.
由y=3x-2解得
x=1/3(y+2)
将x,y互换,则所求y=3x-2的反函数是
y=1/3(x+2)
反函数的基本性质 篇三
一般地,设函数y=f(x)(x∈A)的值域是C,根据这个函数中x,y的关系,用y把x表示出,得到x=(y)。若对于y在C中的任何一个值,通过x=(y),x在A中都有唯一的值和它对应,那么,x=(y)就表示y是自变量,x是自变量y的函数,这样的函数x=(y)(y∈C)叫做函数y=f(x)(x∈A)的反函数,记作x=f^-1(y)。反函数y=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
说明:⑴在函数x=f^-1(y)中,y是自变量,x是函数,但习惯上,我们一般用x表示自变量,用y表示函数,为此我们常常对调函数x=f^-1(y)中的字母x,y,把它改写成y=f^-1(x),今后凡无特别说明,函数y=f(x)的反函数都采用这种经过改写的形式。
⑵反函数也是函数,因为它符合函数的定义。从反函数的定义可知,对于任意一个函数y=f(x)来说,不一定有反函数,若函数y=f(x)有反函数y=f^-1(x),那么函数y=f^-1(x)的反函数就是y=f(x),这就是说,函数y=f(x)与y=f^-1(x)互为反函数。
⑶从映射的定义可知,函数y=f(x)是定义域A到值域C的映射,而它的反函数y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射,因此,函数y=f(x)的定义域正好是它的反函数y=f^-1(x)的值域;函数y=f(x)的值域正好是它的反函数y=f^-1(x)的定义域(如下表):
函数y=f(x)
反函数y=f^-1(x)
定义域
AC
值域
CA
⑷上述定义用“逆”映射概念可叙述为:
若确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域“上”的“一一映射”,那么由f的“逆”映射f^-1所确定的函数x=f^-1(x)就叫做函数y=f(x)的反函数。反函数x=f^-1(x)的定义域、值域分别是函数y=f(x)的值域、定义域。
开始的两个例子:s=vt记为f(t)=vt,则它的反函数就可以写为f^-1(t)=t/v,同样y=2x+6记为f(x)=2x+6,则它的反函数为:f^-1(x)=x/2-3.
有时是反函数需要进行分类讨论,如:f(x)=X+1/X,需将X分类讨论:在X大于0时的情况,X小于0的情况,多是要注意的。一般分数函数的反函数的表示为y=ax+b/cx+d(a/c不等于b/d)--y=b-dx/cx+a
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