數學二次函數解題技巧(多篇)
數學二次函數解題技巧 篇一
1、二次函數的概念
1.二次函數的概念:一般地,形如(是常數,)的函數,叫做二次函數。這裏需要強調:和一元二次方程類似,二次項係數,而可以為零。二次函數的定義域是全體實數。
2.二次函數的結構特徵:
⑴等號左邊是函數,右邊是關於自變量的二次式,的最高次數是2。
⑵是常數,是二次項係數,是一次項係數,是常數項。
2、九年級數學二次函數的三種表達式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)。
頂點式:y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h,k)]。
交點式:y=a(x-x?)(x-x?)[僅限於與x軸有交點A(x?,0)和B(x?,0)的拋物線]。
注:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a。
3、二次函數的性質
1.性質:(1)在一次函數上的任意一點P(x,y),都滿足等式:y=kx+b。(2)一次函數與y軸交點的座標總是(0,b),與x軸總是交於(-b/k,0)正比例函數的圖像總是過原點。
2.k,b與函數圖像所在象限:
當k>0時,直線必通過一、三象限,y隨x的增大而增大;
當k<0時,直線必通過二、四象限,y隨x的增大而減小。
當b>0時,直線必通過一、二象限;
當b=0時,直線通過原點;
當b<0時,直線必通過三、四象限。
特別地,當b=O時,直線通過原點O(0,0)表示的是正比例函數的圖像。
這時,當k>0時,直線只通過一、三象限;當k<0時,直線只通過二、四象限。
4、九年級數學二次函數圖像
對於一般式:
①y=ax2+bx+c與y=ax2-bx+c兩圖像關於y軸對稱。
②y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx-c兩圖像關於x軸對稱。
③y=ax2+bx+c與y=-ax2-bx+c-b2/2a關於頂點對稱。
④y=ax2+bx+c與y=-ax2+bx-c關於原點中心對稱。(即繞原點旋轉180度後得到的圖形)
對於頂點式:
①y=a(x-h)2+k與y=a(x+h)2+k兩圖像關於y軸對稱,即頂點(h,k)和(-h,k)關於y軸對稱,橫座標相反、縱座標相同。
②y=a(x-h)2+k與y=-a(x-h)2-k兩圖像關於x軸對稱,即頂點(h,k)和(h,-k)關於x軸對稱,橫座標相同、縱座標相反。
③y=a(x-h)2+k與y=-a(x-h)2+k關於頂點對稱,即頂點(h,k)和(h,k)相同,開口方向相反。
④y=a(x-h)2+k與y=-a(x+h)2-k關於原點對稱,即頂點(h,k)和(-h,-k)關於原點對稱,橫座標、縱座標都相反。(其實①③④就是對f(x)來説f(-x),-f(x),-f(-x)的情況)
數學二次函數複習資料 篇二
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關係:
y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a0,且a決定函數的開口方向,a0時,開口方向向上,a0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。)
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的`右邊通常為二次三項式。
二次函數的三種表達式
一般式:y=ax^2;+bx+c(a,b,c為常數,a0)
頂點式:y=a(x-h)^2;+k[拋物線的頂點P(h,k)]
交點式:y=a(x-x1)(x-x2)[僅限於與x軸有交點A(x1,0)和B(x2,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:
h=-b/2ak=(4ac-b^2;)/4ax1,x2=(-b-4ac)/2a
大學聯考數學知識點之二次函數 篇三
I.定義與定義表達式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關係:
y=ax^2+bx+c
(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,IaI還可以決定開口大小,IaI越大開口就越小,IaI越小開口就越大。)
則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
II.二次函數的三種表達式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2+k[拋物線的頂點P(h,k)]
交點式:y=a(x-x?)(x-x?)[僅限於與x軸有交點A(x?,0)和B(x?,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:
h=-b/2ak=(4ac-b^2)/4ax?,x?=(-b±√b^2-4ac)/2a
III.二次函數的圖像
在平面直角座標系中作出二次函數y=x^2的圖像,
可以看出,二次函數的圖像是一條拋物線。
IV.拋物線的`性質
1、拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線
x=-b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點P。
特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2、拋物線有一個頂點P,座標為
P(-b/2a,(4ac-b^2)/4a)
當-b/2a=0時,P在y軸上;當Δ=b^2-4ac=0時,P在x軸上。
3、二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。
|a|越大,則拋物線的開口越小。
4、一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5、常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0,c)
6、拋物線與x軸交點個數
Δ=b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
Δ=b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
國中數學二次函數知識點總結 篇四
1、定義與定義表達式
一般地,自變量x和因變量y之間存在如下關係:y=ax^2+bx+c
(a,b,c為常數,a≠0,且a決定函數的開口方向,a>0時,開口方向向上,a<0時,開口方向向下,iai還可以決定開口大小,iai越大開口就越小,iai越小開口就越大。)則稱y為x的二次函數。
二次函數表達式的右邊通常為二次三項式。
2、二次函數的三種表達式
一般式:y=ax^2+bx+c(a,b,c為常數,a≠0)
頂點式:y=a(x-h)^2+k [拋物線的頂點p(h,k)]
交點式:y=a(x-x)(x-x ) [僅限於與x軸有交點a(x,0)和b(x,0)的拋物線]
注:在3種形式的互相轉化中,有如下關係:
h=-b/2a k=(4ac-b^2)/4a x,x=(-b±√b^2-4ac)/2a
3、二次函數的圖像
在平面直角座標系中作出二次函數y=x^2的圖像,可以看出,二次函數的圖像是一條拋物線。
4、拋物線的性質
1.拋物線是軸對稱圖形。對稱軸為直線x = -b/2a。
對稱軸與拋物線唯一的交點為拋物線的頂點p。特別地,當b=0時,拋物線的對稱軸是y軸(即直線x=0)
2.拋物線有一個頂點p,座標為:p ( -b/2a,(4ac-b^2)/4a )當-b/2a=0時,p在y軸上;當δ= b^2-4ac=0時,p在x軸上。
3.二次項係數a決定拋物線的開口方向和大小。
當a>0時,拋物線向上開口;當a<0時,拋物線向下開口。|a|越大,則拋物線的開口越小。
4.一次項係數b和二次項係數a共同決定對稱軸的位置。
當a與b同號時(即ab>0),對稱軸在y軸左;
當a與b異號時(即ab<0),對稱軸在y軸右。
5.常數項c決定拋物線與y軸交點。
拋物線與y軸交於(0,c)
6.拋物線與x軸交點個數
δ= b^2-4ac>0時,拋物線與x軸有2個交點。
δ= b^2-4ac=0時,拋物線與x軸有1個交點。
δ= b^2-4ac<0時,拋物線與x軸沒有交點。x的取值是虛數(x= -b±√b^2-4ac的值的相反數,乘上虛數i,整個式子除以2a)
5、二次函數與一元二次方程
特別地,二次函數(以下稱函數)y=ax^2+bx+c,
當y=0時,二次函數為關於x的一元二次方程(以下稱方程),即ax^2+bx+c=0
此時,函數圖像與x軸有無交點即方程有無實數根。函數與x軸交點的橫座標即為方程的根。
1.二次函數y=ax^2,y=a(x-h)^2,y=a(x-h)^2 +k,y=ax^2+bx+c(各式中,a≠0)的圖象形狀相同,只是位置不同,它們的頂點座標及對稱軸:
當h>0時,y=a(x-h)^2的圖象可由拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位得到,
當h<0時,則向左平行移動|h|個單位得到。
當h>0,k>0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向上移動k個單位,就可以得到y=a(x-h)^2 +k的圖象;
當h>0,k<0時,將拋物線y=ax^2向右平行移動h個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k>0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向上移動k個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
當h<0,k<0時,將拋物線向左平行移動|h|個單位,再向下移動|k|個單位可得到y=a(x-h)^2+k的圖象;
因此,研究拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象,通過配方,將一般式化為y=a(x-h)^2+k的形式,可確定其頂點座標、對稱軸,拋物線的大體位置就很清楚了。這給畫圖象提供了方便。
2.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0)的圖象:當a>0時,開口向上,當a<0時開口向下,對稱軸是直線x=-b/2a,頂點座標是(-b/2a,[4ac-b^2]/4a).
3.拋物線y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而減小;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而增大。若a<0,當x ≤ -b/2a時,y隨x的增大而增大;當x ≥ -b/2a時,y隨x的增大而減小。
4.拋物線y=ax^2+bx+c的圖象與座標軸的交點:
(1)圖象與y軸一定相交,交點座標為(0,c);
(2)當△=b^2-4ac>0,圖象與x軸交於兩點a(x,0)和b(x,0),其中的。x1,x2是一元二次方程ax^2+bx+c=0
(a≠0)的兩根。這兩點間的距離ab=|x-x|
當△=0.圖象與x軸只有一個交點;
當△<0.圖象與x軸沒有交點。當a>0時,圖象落][在x軸的上方,x為任何實數時,都有y>0;當a<0時,圖象落在x軸的下方,x為任何實數時,都有y<0.
5.拋物線y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),則當x= -b/2a時,y最小(大)值=(4ac-b^2)/4a.
頂點的橫座標,是取得最值時的自變量值,頂點的縱座標,是最值的取值
6.用待定係數法求二次函數的解析式
(1)當題給條件為已知圖象經過三個已知點或已知x、y的三對對應值時,可設解析式為一般形式:
y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)當題給條件為已知圖象的頂點座標或對稱軸時,可設解析式為頂點式:y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)當題給條件為已知圖象與x軸的兩個交點座標時,可設解析式為兩根式:y=a(x-x)(x-x)(a≠0).
7.二次函數知識很容易與其它知識綜合應用,而形成較為複雜的綜合題目。因此,以二次函數知識為主的綜合性題目是會考的熱點考題,往往以大題形式出現。
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