《导数与函数的单调性》教学设计
教学目标
1.结合实例,借助几何直观了解函数的单调性与导数的关系.
2.能利用导数研究函数的单调性;对于多项式函数,能求不超过三次的多项式函数的单调区间.
1.函数单调性与导数的关系
设函数f(x)在(a,b)内可导,f′(x)是f(x)的导函数,则
f′(x)>0 | f(x)在(a,b)内是单调递增函数 |
f′(x)<0 | f(x)在(a,b)内是单调递减函数 |
f′(x)=0 | f(x)在(a,b)内是常数函数 |
2.充分、必要条件与导数及函数单调性
(1)f′(x)>0(或f′(x)<0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的充分不必要条件.
(2)f′(x)≥0(或f′(x)≤0)是f(x)在(a,b)内单调递增(或递减)的必要不充分条件.
(3)若f′(x)在区间(a,b)的任意子区间内都不恒等于0,则f′(x)≥0(≤0)是f(x)在区间(a,b)内单调递增(减)的充要条件.
(1)讨论函数的单调性或求函数的单调区间的实质是解不等式,求解时,要坚持“定义域优先”原则.
(2)有相同单调性的单调区间不止一个时,用“,”隔开或用“和”连接,不能用“∪”连接.
(3)函数f(x)在区间[a,b]内单调递增(或递减),可得f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在该区间恒成立,而不是f′(x)>0(或f′(x)<0)恒成立,“=”不能少.必要时还需对“=”进行检验.
1.(人教B版选择性必修第三册P107·T8(1)改编)函数f(x)=2x2-ln x的单调递减区间是()
A.2B.,+∞C.2D.2∪,+∞
基础点 判断不含参函数的单调性或单调区间
1.(多选)下列函数中,在(0,+∞)内为增函数的是( )
A.y=sin x B.y=xexC.y=x3+xD.y=ln x-x
确定函数单调区间的步骤
(1)确定函数f(x)的定义域;(2)求f′(x);
(3)解不等式f′(x)>0,解集在定义域内的部分为单调递增区间;
(4)解不等式f′(x)<0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.
重难点(一)判断含参函数的单调性
[典例]已知函数f(x)=2x-x-(a+2)ln x(a∈R).讨论函数f(x)的单调性.
(1)研究含参函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论.
(2)划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为零的点和函数的间断点.
[针对训练]已知函数f(x)=ax2-ln x-x,a≠0.试讨论函数f(x)的单调性.
重难点(二)根据函数的单调性求参数范围
[典例]已知函数f(x)=ln x-2ax2-2x.
(1)若函数f(x)存在单调递减区间,则a的取值范围为________;
(2)若函数f(x)在[1,4]上单调递减,则a的取值范围为________.
[方法技巧]求参数范围的常见类型和解题技巧
常见类型 | 解题技巧 |
已知可导函数f(x)在区间D上单调递增(或递减) | 转化为f′(x)≥0(或f′(x)≤0)对x∈D恒成立问题,要注意“=”是否取到 |
已知可导函数f(x)在某一区间上存在单调区间 | 实际上就是f′(x)>0(或f′(x)<0)在该区间上存在解集,这样就把函数的单调性问题转化成不等式问题 |
已知f(x)在区间I上的单调性,区间I中含有参数 | 先求出f(x)的单调区间,令I是其单调区间的子集,从而可求出参数的取值范围 |
已知f(x)在区间D上不单调 | f(x)在D上有极值点,且极值点不是D的端点 |
涉及含参函数单调性问题时找不到分类讨论界点
1.(由二次项系数引起的分类讨论)设函数f(x)=ax-x+ln x,且f(1)=0.若函数f(x)在定义域上是单调函数,则实数a的取值范围是________.
若导函数f′(x)解析式的局部可构造成二次项系数含有参数的二次型函数,则必须讨论二次项系数,往往分为系数为零、系数为正、系数为负三类,再判断f′(x)的符号或确定f′(x)的零点,从而实现解题目标.
2.(由区间的包含关系引起的分类讨论)已知函数f(x)=2ln x+x2-5x在区间,k上为单调函数,则实数k的取值范围是________.
对于已知f(x)在某个待定区间上的单调性,要确定此单调区间中参数的取值范围问题,必须先求函数f(x)在定义域上的单调区间,再按待定区间是每个单调区间的子区间分类讨论,列出相应的不等式(组),获得参数的取值范围.
3.(由f′(x)的零点引起的分类讨论)已知函数f(x)=ax2+bx-ln x(a,b∈R,a<0),其图象在点(1,f(1))处的切线平行于x轴.试讨论函数f(x)在定义域上的单调性.
一般地,当f′(x)有不止一个零点且零点大小关系无法确定时,就无法确定f′(x)>0或f′(x)<0的解集,进而无法确定函数f(x)的单调区间,此时必须对零点的大小关系分类讨论.若f′(x)有两个零点x1,x2,往往分成x1>x2,x1=x2,x1<x2三类讨论,由此实现解题目标.
4.(由函数定义域引起的分类讨论)设函数f(x)=x+a+2ln x,其中a∈R且a≠0.试讨论函数f(x)的单调性.
一般地,需要讨论导函数f′(x)的零点是否含在定义域内,零点将定义域划分为哪几个区间,若不能确定,则需要进行分类讨论.
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