海倫公式的證明(精選多篇)

第一篇：海倫公式的證明

與海倫在他的著作"metrica"(《度量論》)中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別爲a、b、c，則餘弦定理爲cosc = (a^2+b^2-c^2)/2abs=1/2*ab*sinc=1/2*ab*√(1-cos^2 c)=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2)^2/4a^2*b^2]=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]=1/4*√[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)]=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]設p=(a+b+c)/2則p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]所以，三角形abc面積s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

第二篇：海倫公式的幾種證明與推廣

海倫公式的幾種證明與推廣

古鎮高級中學付增德

高中數學必修⑤第一章在閱讀與思考欄目向學生介紹一個非常重要且優美的公式——海倫公式〔heron's formula〕：假設有一個三角形，邊長分別爲a,b,c,，三角形的面積s可由以下公式求得：

s?

(p?a)(p?b)(p?c)，而公式裏的p?

12

(a?b?c)，稱爲半周長。

圖1

c

海倫公式又譯希倫公式，傳說是古代的敘拉古國王希倫二世發現的公式，利用三角形的三條邊長來求取三角形面積。但根據morris kline在1908年出版的著作考證，這條公式其實是阿基米德所發現，以託希倫二世的名發表。由於任何n邊的多邊形都可以分割成n-2個三角形，所以海倫公式可以用作求多邊形面積的公式。比如說測量土地的面積的時候，不用測三角形的高，只需測兩點間的距離，就可以方便地導出答案。海倫公式形式漂亮，結構工整，有多種變形，如：s=

p(p?a)(p?b)(p?c)

2

2

2

===

141414

(a?b?c)(a?b?c)(a?c?b)(b?c?a)(a

2

=

14

[(a?b)?c][c14

4ab

2

2

?(a?b)]

2

2

?b

2

2

?c

2

?2ab)[?(a

2

2

?b

4

2

?c

4

2

?2ab)]

4

=

?(a

2

?b?c)

22

2ab

2

?2ac

2

?2bc

22

?a?b?c

12

absinc和餘弦定理

教課書中並以習題形式出現，給出的參考答案是利用三角形面積計算公式s?

12

12

12

c

2

?a

2

?b

2

?2abcosc的證明過程：s?absinc=ab1?cosnc=

2

ab1?(

a

2

?b

2

?c

2

2ab

)

2

下略。我國南宋著名數學家秦九韶也發現了與海倫公式等價的“三斜求積”公式，中國古代的天元術發展水平非常高，筆者猜想秦九韶在獨立推出“三斜求積”公式過程中，利用瞭解方程的方法，因此海倫公式可以作如下推證，從三角形最基本的面積公式s?abc?

12

aha入手，利用勾股定理，佈列方程組求高。

如圖2，

b

圖2

c

?x2?y2?c2

222

?2a?c?b22

在△abc中，ad爲邊bc上的高，根據勾股定理，有?x?z?b解方程，得y?，

2a

?y?z?a?z?

a

?b

?c

2a

，x?c

?y

?c

?(

a

?c

?b

2a

)

?

12a

4ac

22

?(a

?c

?b)下略。在求

22

高的方法上，我們也可以用斯特瓦爾特定理，根據斯氏定理，△abc頂點a於對邊bc上任一點d間的距離ad有下列等式確定：ab

ad

?dc?ac

?bd?ad

?bc?bd?dc?bc，等式改寫爲

?ab

?

dcbc

?ac

?

bdbc

?bc

?

dcbc

?

bdbc

aa

22

而當點d是頂點a的正射影時,有

bddc

?

abcosbaccosc

?

?c?b

22

?b?c

22

，利用比例的性質，變形得

bdbc

?

a

?c

22

?b

2a

，

dcbc

?

a

?b

22

?c

2a

，代入即求出高ad。推證海倫公式也可以考慮應用三角函數

的恆等式，容易證明下列三角恆等式：若∠a+∠b+∠c =180°那麼

abacbcta?ta+tan?tan?tan+tan=1，

222222

zz

c

圖3

如圖3,在△abc中，內切圓⊙o的半徑是r,則tan

a2

?

rx

, tan

b2

?

ry

,tan

c2

?

rz

,代入恆等式

tan

a2

?tan

b2

+tan

a2

?tan

c2

+tan

b2

?tan

c2

=1，得

r

xy

?

r

xz

?

r

yz

?1，兩邊同乘xyz，有等式

r(x?y?z)?xyz???①

又，b?c?a?(x?z)?(x?y)?(y?z)?2x ，所以，x?

z?

a?b?c

b?c?a

，同理y?

a?c?b

，

。???②於是△abc的面積s?

12

(a?b?c)r=

12

(y?z?x?z?x?y)r=(x?y?z)r

=(x?y?z)r=

14

，把①、②式代入，即得s?(x?y?z)xyz

(a?b?c)(a?b?c)(b?c?a)(a?c?b)

三角形的面積和三邊有如此優美和諧的關係，我們不禁會類比猜想(更多請關注)，簡單四邊形的面積和它的四條

邊又是什麼關係呢？由於三角形內接於圓，所以猜想海倫公式的推廣爲：在任意內接與圓的四邊形abcd中，設四條邊長分別爲a,b,c,d，且p?

a?b?c?d

,則s四邊形=(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)

現根據猜想進行證明。

證明：如圖，延長da，cb交於點e。設ea = eeb = f

○○

∵∠1+∠2 =180∠2+∠3 =180 ∴∠1 =∠3∴△eab～△ecd ∴

fa?e

=

ef?c

=

bd

，

s?eabs四邊形

abcd

=

bd

?b

解得： e =

b(ab?cd)d

?b

③f =

b(ad?bc)d

?b

④由於s四邊形abcd =

d

?bb

s△eab

將③，④跟b =

b(dd

?b)?b

代入海倫公式公式變形，得：

∴s四邊形abcd =

d?b

4eb

22

?(e

?b

?f

)

4b

d

?b

b(ab?cd)(d

(db

42

224

?b)

22

=

d

4b

?b)

?[(

b(ab?cd)(d

?b)

22

?

b(d(d

22

?b)

22

?b)

?

b(ad?bc)(d

22

?b)

22

)]

?b

=

4b

(d

?b)

?4(ab

?cd)(d

22

?b)?[(ab?cd)?(d

2222

?b)?(ad?bc)]

22

?

=

4(d

?b)1

4(ab?cd)(d

22

?b)?[{ab?cd}?{d

2222

?b}?{ad?bc}]

2222

=

4(d

?b)1

4(ab?cd)(d

22

?b)?(ab

2222

?cd

22

?d

?b

?2db

22

?ad

22

?bc)

22

=

4(d

?b)1

4(ab?cd)(d

22

?b)?[b(a

2222

?b

?d

?c)?d(d

222

?b

?a

?c)

=

4(d1

?b)

(d

?b)[4(ab?cd)?(c

2222

?d

?b

?a)]

22

=4

(2ab?2cd?c

?d

?b

?a)(2ab?2cd?d

22

?b

?a

?c)

=4

a?c)?(b?d)][(b?d)?(a?c)]

2222

(a?b?c?d)(a?b?d?c)(a?d?c?b)(b?d?c?a)

=4

=(p?a)(p?b)(p?c)(p?d)所以，海倫公式的推廣得證。

圖4

參考文獻

［1］ 七市高中選修教材編寫委員會．數學問題探究[m]．北京：生活·讀書·新知三聯書店，2014：14～

２６．

［2］ 王林全．初等幾何研究教程[m]．廣州：暨南大學出版社，１９９６．

第三篇：海倫公式

海倫公式

與海倫在他的著作"metrica"(《度量論》）中的原始證明不同，在此我們用三角公式和公式變形來證明。設三角形的三邊a、b、c的對角分別爲a、b、c，則餘弦定理爲下述推導[1]

cosc = (a^2+b^2-c^2）/2ab

s=1/2*ab*sinc

=1/2*ab*√（1-cos^2 c)

=1/2*ab*√[1-(a^2+b^2-c^2）^2/4a^2*b^2]

=1/4*√[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2）^2]

=1/4*√[（2ab+a^2+b^2-c^2）（2ab-a^2-b^2+c^2）]

=1/4*√[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]

=1/4*√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)]

設p=(a+b+c)/2

則p=(a+b+c)/2,p-a=(-a+b+c)/2,p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2,

上式=√[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)/16]

=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

所以，三角形abc面積s=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

證明⑵

中國宋代的數學家秦九韶在1247年也提出了“三斜求積術”。它與海倫公式基本一樣，其實在《九章算術》中，已經有求三角形公式“底乘高的一半”，在實際丈量土地面積時，由於土地的面積並不是三角形，要找出它來並非易事。所以他們想到了三角形的三條邊。如果這樣做求三角形的面積也就方便多了。但是怎樣根據三邊的長度來求三角形的面積？直到南宋，中國著名的數學家秦九韶提出了“三斜求積術”。

秦九韶他把三角形的三條邊分別稱爲小斜、中斜和大斜。“術”即方法。三斜求積術就是用小斜平方加上大斜平方，送到中斜平方，取相減後餘數的一半，自乘而得一個數，小斜平方乘以大斜平方，送到上面得到的那個。相減後餘數被4除，所得的數作爲“實”，作1作爲“隅”，開平方後即得面積。

所謂“實”、“隅”指的是，在方程px 2=q,p爲“隅”，q爲“實”。以△、a,b,c表示三角形面積、大斜、中斜、小斜，所以

q=1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

當p=1時，△ 2=q,

△=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2}

因式分解得

△ ^2=1/4[4a^2c^2-(a^2+c^2-b^2）^2]

=1/4[(c+a) ^2-b ^2][b^ 2-(c-a)^ 2]

=1/4(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a)

=1/4(c+a+b)(a+b+c-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c)

=1/4[2p（2p-2a）（2p-2b）（2p-2c)]

=p(p-a)(p-b)(p-c)

由此可得：

s△=√[p(p-a)(p-b)(p-c)]

其中p=1/2(a+b+c)

這與海倫公式完全一致，所以這一公式也被稱爲“海倫－秦九韶公式”。

s=√1/4{a^2*c^2-[(a^2+c^2-b^2）/2 ]^2} .其中c>b>a.

根據海倫公式，我們可以將其繼續推廣至四邊形的面積運算。如下題：

已知四邊形abcd爲圓的內接四邊形，且ab=bc=4,cd=2,da=6，求四邊形abcd的面積

這裏用海倫公式的推廣

s圓內接四邊形= 根號下（p-a)(p-b)(p-c)(p-d) （其中p爲周長一半，a,b,c,d，爲4邊）

代入解得s=8√ 3

證明⑶

在△abc中∠a、∠b、∠c對應邊a、b、c

o爲其內切圓圓心，r爲其內切圓半徑，p爲其半周長

有tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2=1

r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2）=r

∵r=(p-a)tana/2=(p-b)tanb/2=(p-c)tanc/2

∴ r(tana/2tanb/2+tanb/2tanc/2+tanc/2tana/2）

=[(p-a)+(p-b)+(p-c)]tana/2tanb/2tanc/2

=ptana/2tanb/2tanc/2

=r

∴p^2r^2tana/2tanb/2tanc/2=pr^3

∴s^2=p^2r^2=(pr^3）/(tana/2tanb/2tanc/2）

=p(p-a)(p-b)(p-c)

∴s=√p(p-a)(p-b)(p-c)

第四篇：求三角形面積——海倫公式

證明：海倫公式：若δabc的三邊長爲a、b、c，則

sδabc=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4(這是海倫公式的變形，“負號“－”從a左則向右經過a、b、c”，負號從x軸負軸向正軸掃描一個週期！我覺得這麼記更簡單，還設個什麼l=(a+b=c)/2啊，多此一舉！)

證明：設邊c上的高爲 h,則有

√(a^2－h^2)＋√(b^2－h^2)=c

√(a^2－h^2)=c－√(b^2－h^2)

兩邊平方，化簡得：

2c√(b^2－h^2)=b^2+c^2-a^2

兩邊平方，化簡得：

h=√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))

sδabc=ch/2

=c√(b^2-(b^2+c^2-a^2)^2/(4c^2))/2

仔細化簡一下，得：

sδabc=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

用三角函數證明！

證明：

sδabc=absinc/2

=ab√(1-(cosc)^2)/2————（1）

∵cosc=(a^2+b^2-c^2)/(2ab)

∴代入（1）式，（仔細）化簡得：

sδabc=√（（a＋b＋c）×（－a＋b＋c）×（a－b＋c）×（a＋b－c））/4

第五篇：公式及證明

國中數學幾何定理

1。同角（或等角）的餘角相等。 2。對頂角相等。 3。三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角之和。 4。在同一平面內垂直於同一條直線的兩條直線是平行線。

5。同位角相等，兩直線平行。 6。等腰三角形的頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線互相重合。 7。直角三角形中，斜邊上的中線等於斜邊的一半。

8。在角平分線上的點到這個角的兩邊距離相等。及其逆定理。

9。夾在兩條平行線間的平行線段相等。夾在兩條平行線間的垂線段相等。

10。一組對邊平行且相等、或兩組對邊分別相等、或對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。

11。有三個角是直角的四邊形、對角線相等的平行四邊形是矩形。

12。菱形性質：四條邊相等、對角線互相垂直，並且每一條對角線平分一組對角。

13。正方形的四個角都是直角，四條邊相等。兩條對角線相等，並且互相垂直平分，每一條對角線平分一組對角。

14。在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩個弦心距中有一對相等，那麼它們所對應的其餘各對量都相等。 15。垂直於弦的直徑平分這條弦，並且平分弦所對弧。平分弦（不是直徑）的直徑垂直於弦，並且平分弦所對的弧。 16。直角三角形被斜邊上的高線分成的兩個直角三角形和原三角形相似。

17。相似三角形對應高線的比，對應中線的比和對應角平分線的比都等於相似比。相似三角形面積的比等於相似比的平方。

18．圓內接四邊形的對角互補，並且任何一個外角等於它的內對角。

19。切線的判定定理 經過半徑的外端並且垂直於這條半徑的直線是圓的切線。

20。切線的性質定理①經過圓心垂直於切線的直線必經過切點。 ②圓的切線垂直於經過切點的半徑。 ③經過切點垂直於切線的直線必經過圓心。

21。切線長定理 從圓外一點引圓的兩條切線，它們的切線長相等。連結圓外一點和圓心的直線，平分從這點向圓所作的兩條切線所夾的角。

22。弦切角定理 弦切角的度數等於它所夾的弧的度數的一半。弦切角等於它所夾的弧所對的圓周角。

23。相交弦定理； 切割線定理； 割線定理；

國中數學幾何一般證題途徑：證明兩線段相等

1.兩全等三角形中對應邊相等 2.同一三角形中等角對等邊

3.等腰三角形頂角的平分線或底邊的高平分底邊

4.平行四邊形的對邊或對角線被交點分成的兩段相等

5.直角三角形斜邊的中點到三頂點距離相等

6.線段垂直平分線上任意一點到線段兩段距離相等

7.角平分線上任一點到角的兩邊距離相等

8.過三角形一邊的中點且平行於第三邊的直線分第二邊所成的線段相等

9.同圓（或等圓）中等弧所對的弦或與圓心等距的兩弦或等圓心角、圓周角所對的弦相等

10.圓外一點引圓的兩條切線的切線長相等或圓內垂直於直徑的弦被直徑分成的兩段相等

11.兩前項（或兩後項）相等的比例式中的兩後項（或兩前項）相等

12.兩圓的內（外）公切線的長相等 13.等於同一線段的兩條線段相等

證明兩個角相等

1.兩全等三角形的對應角相等 2.同一三角形中等邊對等角

3.等腰三角形中，底邊上的中線（或高）平分頂角

4.兩條平行線的同位角、內錯角或平行四邊形的對角相等

5.同角（或等角）的餘角（或補角）相等 6.同圓（或等圓）中，等弦（或同弧）所對的圓心角相等，圓周角相等，弦切角等於它所夾的弧對的圓周角

7.圓外一點引圓的兩條切線，圓心和這一點的連線平分兩條切線的夾角

8.相似三角形的對應角相等 9.圓的內接四邊形的外角等於內對角

10.等於同一角的兩個角相等

證明兩直線平行

1.垂直於同一直線的各直線平行 2.同位角相等，內錯角相等或同旁內角互補的兩直線平行

3.平行四邊形的對邊平行 4.三角形的中位線平行於第三邊

5.梯形的中位線平行於兩底 6.平行於同一直線的兩直線平行 7.一條直線截三角形的兩邊（或延長線）所得的線段對應成比例，則這條直線平等行於第三邊

證明兩條直線互相垂直

1.等腰三角形的頂角平分線或底邊的中線垂直於底邊

2.三角形中一邊的中線若等於這邊一半，則這一邊所對的角是直角

3.在一個三角形中，若有兩個角互餘，則第三個角是直角

4.鄰補角的平分線互相垂直 5.一條直線垂直於平行線中的一條，則必垂直於另一條

6.兩條直線相交成直角則兩直線垂直

7.利用到一線段兩端的距離相等的點在線段的垂直平分線上

8.利用勾股定理的逆定理 9.利用菱形的對角線互相垂直

10.在圓中平分弦（或弧）的直徑垂直於弦 11.利用半圓上的圓周角是直角

證明線段的和差倍分

1.作兩條線段的和，證明與第三條線段相等

2.在第三條線段上截取一段等於第一條線段，證明餘下部分等於第二條線段

3.延長短線段爲其二倍，再證明它與較長的線段相等

4.取長線段的中點，再證其一半等於短線段

5.利用一些定理（三角形的中位線、含30度的直角三角形、直角三角形斜邊上的中線、三角形的重心、相似三角形的性質等）

證明角的和差倍分

1.與證明線段的和、差、倍、分思路相同 2.利用角平分線的定義

3.三角形的一個外角等於和它不相鄰的兩個內角的和

證明線段不等

1.同一三角形中，大角對大邊 2.垂線段最短

3.三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊

4.在兩個三角形中有兩邊分別相等而夾角不等，則夾角大的第三邊大

5.同圓或等圓中，弧大弦大，弦心距小 6.全量大於它的任何一部分

證明兩角的不等

1.同一三角形中，大邊對大角 2.三角形的外角大於和它不相鄰的任一內角

3.在兩個三角形中有兩邊分別相等，第三邊不等，第三邊大的，兩邊的夾角也大

4.同圓或等圓中，弧大則圓周角、圓心角大 5.全量大於它的任何一部分

證明比例式或等積式

1.利用相似三角形對應線段成比例 2.利用內外角平分線定理

3.平行線截線段成比例 4.直角三角形中的比例中項定理即射影定理

5.與圓有關的比例定理：相交弦定理、切割線定理及其推論

6.利用比利式或等積式化得

證明四點共圓

1.對角互補的四邊形的頂點共圓 2.外角等於內對角的四邊形內接於圓

3.同底邊等頂角的三角形的頂點共圓（頂角在底邊的同側）

4.同斜邊的直角三角形的頂點共圓 5.到頂點距離相等的各點共圓

二、空間與圖形

a：圖形的認識：

1：點，線，面

點，線，面：①圖形是由點，線，面構成的。②面與面相交得線，線與線相交得點。③點動成線，線動成面，面動成體。

展開與摺疊：①在棱柱中，任何相鄰的兩個面的交線叫做棱，側棱是相鄰兩個側面的交線，棱柱的所有側棱長相等，棱柱的上下底面的形狀相同，側面的形狀都是長方體。②n棱柱就是底面圖形有n條邊的棱柱。

一個幾何體：用一個平面去截一個圖形，截出的面叫做截面。

3視圖：主視圖，左視圖，俯視圖。

多邊形：他們是由一些不在同一條直線上的線段依次首尾相連組成的封閉圖形。

弧，扇形：①由一條弧和經過這條弧的端點的兩條半徑所組成的圖形叫扇形。②圓可以分割成若干個扇形。

2：角

線：①線段有兩個端點。②將線段向一個方向無限延長就形成了射線。射線只有一個端點。③將線段的兩端無限延長就形成了直線。直線沒有端點。④經過兩點有且只有一條直線。比較長短：①兩點之間的所有連線中，線段最短。②兩點之間線段的長度，叫做這兩點之間的距離。

角的度量與表示：①角由兩條具有公共端點的射線組成，兩條射線的公共端點是這個角的頂點。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。

角的比較：①角也可以看成是由一條射線繞着他的端點旋轉而成的。②一條射線繞着他的端點旋轉，當終邊和始邊成一條直線時，所成的角叫做平角。始邊繼續旋轉，當他又和始邊重合時，所成的角叫做周角。③從一個角的頂點引出的一條射線，把這個角分成兩個相等的角，這條射線叫做這個角的平分線。

平行：①同一平面內，不相交的兩條直線叫做平行線。②經過直線外一點，有且只有一條直線與這條直線平行。③如果兩條直線都與第3條直線平行，那麼這兩條直線互相平行。垂直：①如果兩條直線相交成直角，那麼這兩條直線互相垂直。②互相垂直的兩條直線的交點叫做垂足。③平面內，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。

3：相交線與平行線

角：①如果兩個角的和是直角,那麼稱和兩個角互爲餘角；如果兩個角的和是平角，那麼稱這兩個角互爲補角。②同角或等角的餘角/補角相等。③對頂角相等。④同位角相等/內錯角相等/同旁內角互補，兩直線平行，反之亦然。

4：三角形

三角形：①由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。②三角形任意兩邊之和大於第三邊。三角形任意兩邊之差小於第三邊。③三角形三個內角的和等於180度。④三角形分銳角三角形/直角三角形/鈍角三角形。⑤直角三角形的兩個銳角互餘。⑥三角形中一個內角的角平分線與他的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線。⑦三角形中，連接一個頂點與他對邊中點的線段叫做這個三角形的中線。⑧三角形的三條角平分線交於一點，三條中線交於一點。⑨從三角形的一個頂點向他的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高。⑩三角形的三條高所在的直線交於一點。

圖形的全等：全等圖形的形狀和大小都相同。兩個能夠重合的圖形叫全等圖形。全等三角形：①全等三角形的對應邊/角相等。②條件：sss/aas/asa/sas/hl。勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方，反之亦然。

5：四邊形

平行四邊形的性質：①兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。②平行四邊形不相鄰的兩個頂點連成的線段叫他的對角線。③平行四邊形的對邊/對角相等。④平行四邊形的對角線互相平分。

平行四邊形的判定條件：兩條對角線互相平分的四邊形/一組對邊平行且相等的四邊形/兩組對邊分別相等的四邊形/定義。

菱形：①一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形。②領心的四條邊相等，兩條對角線互相垂直平分，每一組對角線平分一組對角。③判定條件：定義/對角線互相垂直的平行四邊形/四條邊都相等的四邊形。

矩形與正方形：①有一個內角是直角的平行四邊形叫做矩形。②矩形的對角線相等，四個角都是直角。③對角線相等的平行四邊形是矩形。④正方形具有平行四邊形，矩形，菱形的一切性質。⑤一組鄰邊相等的矩形是正方形。

梯形：①一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫梯形。②兩條腰相等的梯形叫等腰梯形。③一條腰和底垂直的梯形叫做直角梯形。④等腰梯形同一底上的兩個內角相等，對角線星等，反之亦然。

多邊形：①n邊形的內角和等於（n-2）180度。②多邊心內角的一邊與另一邊的反向延長線所組成的角叫做這個多邊形的外角，在每個頂點處取這個多邊形的一個外角，他們的和叫做這個多邊形的內角和（都等於360度）

平面圖形的密鋪：三角形，四邊形和正六邊形可以密鋪。

中心對稱圖形：①在平面內，一個圖形繞某個點旋轉180度，如果旋轉前後的圖形互相重合，那麼這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點叫做他的對稱中心。②中心對稱圖形上的每一對對應點所連成的線段都被對稱中心平分。

b：圖形與變換：

1：圖形的軸對稱

軸對稱：如果一個圖形沿一條直線摺疊後，直線兩旁的部分能夠互相重合，那麼這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸。

軸對稱圖形：①角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等。②線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等。③等腰三角形的“三線合一”。

軸對稱的性質：對應點所連的線段被對稱軸垂直平分，對應線段/對應角相等。

2:圖形的平移和旋轉

平移：①在平面內，將一個圖形沿着某個方向移動一定的距離，這樣的圖形運動叫做平移。②經過平移，對應點所連的線段平行且相等，對應線段平行且相等，對應角相等。

旋轉：①在平面內，將一個圖形繞一個定點沿某個方向轉動一個角度，這樣的圖形運動叫做旋轉。②經過旋轉，圖形商店每一個點都繞旋轉中心沿相同方向轉動了相同的角度，任意一對對應點與旋轉中心的連線所成的角都是旋轉角，對應點到旋轉中心的距離相等。3：圖形的相似

比：①a/b=c/d，那麼ad=bc，反之亦然。②a/b=c/d，那麼a土b/b=c土d/d。③a/b=c/d=。。。=m/n， 那麼a+c+。。。+m/b+d+。。。n=a/b。

黃金分割：點c把線段ab分成兩條線段ac與bc，如果ac/ab=bc/ac，那麼稱線段ab被點c黃金分割，點c叫做線段ab的黃金分割點，ac與ab的比叫做黃金比（根號5-1/2）。相似：①各角對應相等，各邊對應成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形。②相似多邊形對應

邊的比叫做相似比。

相似三角形：①三角對應相等，三邊對應成比例的兩個三角形叫做相似三角形。②條件：aa/sss/sas。

相似多邊形的性質：①相似三角形對應高，對應角平分線，對應中線的比都等於相似比。②相似多邊形的周長比等於相似比，面積比等於相似比的平方。

圖形的放大與縮小：①如果兩個圖形不僅是相似圖形，而且每組對應點所在的直線都經過同一個點，那麼這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，這時的相似比又稱爲位似比。②位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等於位似比。

d：證明

定義與命題：①對名稱與術語的含義加以描述，作出明確的規定，也就是給出他們的定義。②對事情進行判斷的句子叫做命題（分真命題與假命題）。③每個命題是由條件和結論兩部分組成。④要說明一個命題是假命題，通常舉出一個離子，使之具備命題的條件，而不具有命題的結論，這種例子叫做反例。

公理：①公認的真命題叫做公理。②其他真命題的正確性都通過推理的方法證實，經過證明的真命題稱爲定理。③同位角相等，兩直線平行，反之亦然；sas/asa/sss，反之亦然；同旁內角互補，兩直線；平行，反之亦然；內錯角相等，兩直線平行，反之亦然；三角形三個內角的和等於180度；三角形的一個外交等於和他不相鄰的兩個內角的和；三角心的一個外角大於任何一個和他不相鄰的內角。④由一個公理或定理直接推出的定理，叫做這個公理或定理的推論。