如何證明等差數列(精選多篇)
第一篇:如何證明等差數列
如何證明等差數列
設等差數列an=a1+(n-1)d
最大數加最小數除以二即
/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均數爲
sn/n=/n=a1+(n-1)d/2
得證
1三個數abc成等差數列,則c-b=b-a
c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)
b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a,則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)
所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差數列
等差:an-(an-1)=常數(n≥2)
等比:an/(an-1=常數(n≥2)
等差:an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)
等比:an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).
2
我們推測數列{an}的通項公式爲an=5n-4
下面用數學規納法來證明:
1)容易驗證a1=5*1-4=4,a2=5*2-4=6,a3=5*3-4=11,推測均成立
2)假設當n≤k時,推測是成立的,即有aj=5(j-1)-4,(j≤k)
則sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
於是s(k+1)=a(k+1)+sk
而由題意知:(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8
即:(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8
即:(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1時,推測仍成立。
3
在新的數列中
an=s
=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)
a(n-1)=s
=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
=4d+4d+4d+4d+4d
=20d(d爲原數列公差)
20d爲常數,所以新數列爲等差數列上,an=5n-4即爲數列的通項公式,故它爲一等差數列。
4
a(n+1)-2an=2(an-2an-1)a(n+1)-2an=3*2^(n-1)兩邊同時除2^(n+1)得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差爲3/4an除以2的n次方爲首項爲1/2公差爲3/4的等差數列
5
那麼你就設直角三角形地三條邊爲a,a+b,a+2b
於是它是直角三角形得到
a²+(a+b)²=(a+2b)²
所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²
化簡得a²=2ab+3b²
兩邊同時除以b²
解得a/b=3即a=3b
所以三邊可以寫爲3b,3b+b。3b+2b
所以三邊之比爲3:4:5
6
設等差數列an=a1+(n-1)d
最大數加最小數除以二即
/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均數爲
sn/n=/n=a1+(n-1)d/2
得證
第二篇:等差數列的證明
等差數列的證明
1三個數abc成等差數列,則c-b=b-a
c^2(a+b)-b^2(c+a)=(c-b)(ac+bc+ab)
b^2(c+a)-a^2(b+c)=(b-a)(ac+bc+ab)
因c-b=b-a,則(c-b)(ac+bc+ab)=(b-a)(ac+bc+ab)
即c^2(a+b)-b^2(c+a)=b^2(c+a)-a^2(b+c)
所以a^2(b+c),b^2(c+a),c^2(a+b)成等差數列
等差:an-(an-1)=常數(n≥2)
等比:an/(an-1=常數(n≥2)
等差:an-(an-1)=d或2an=(an-1)+(an+1),(n≥2)
等比:an/(an-1)=q或an平方=(an-1)*(an+1)(n≥2).
2
我們推測數列{an}的通項公式爲an=5n-4
下面用數學規納法來證明:
1)容易驗證a1=5*1-4=4,a2=5*2-4=6,a3=5*3-4=11,推測均成立
2)假設當n≤k時,推測是成立的,即有aj=5(j-1)-4,(j≤k)
則sk=a1+a2+…ak=5*(1+2+…+k)-4k=5k(k+1)/2-4k=k(5k-3)/2
於是s(k+1)=a(k+1)+sk
而由題意知:(5k-8)s(k+1)-(5k+2)sk=-20k-8
即:(5k-8)*-(5k+2)sk=-20k-8
所以(5k-8)a(k+1)-10sk=-20k-8
即:(5k-8)a(k+1)=5k(5k-3)-20k-8=25k^2-35k-8=(5k-8)(5k+1)
所以a(k+1)=5k+1=5(k+1)-4
即知n=k+1時,推測仍成立。
3
在新的數列中
an=s
=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)
a(n-1)=s
=a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
an-a(n-1)=a(4n-4)+a(4n-3)+a(4n-2)+a(4n-1)+a(4n)-a(4n-8)+a(4n-7)+a(4n-6)+a(4n-5)+a(4n-4)
=4d+4d+4d+4d+4d
=20d(d爲原數列公差)
20d爲常數,所以新數列爲等差數列上,an=5n-4即爲數列的通項公式,故它爲一等差數列。
4
a(n+1)-2an=2(an-2an-1)a(n+1)-2an=3*2^(n-1)兩邊同時除2^(n+1)得-an/2^n=3/4即{an/2^n}的公差爲3/4an除以2的n次方爲首項爲1/2公差爲3/4的等差數列
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證明:
an=sn-sn-1=n(a1+an)/2-(n-1)(a1+an-1)/2
2an=na1+nan-na1-nan-1+a1+an-1
(n-2)an=(n-1)*(an-1)-a1(1)
同理
(n-1)*(an+1)=nan-a1(2)
(1)-(2)
得到
(2n-2)an=(n-1)*(an-1)+(n-1)(an+1)
2an=an-1+an+1
所以an+1-an=an-an-1
所以數列{an}是等差數列
那麼你就設直角三角形地三條邊爲a,a+b,a+2b
於是它是直角三角形得到
a²+(a+b)&su(感謝訪問本站:)p2;=(a+2b)²
所以a²+a²+2ab+b²=a²+4ab+4b²
化簡得a²=2ab+3b²
兩邊同時除以b²
解得a/b=3即a=3b
所以三邊可以寫爲3b,3b+b。3b+2b
所以三邊之比爲3:4:5
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設等差數列an=a1+(n-1)d
最大數加最小數除以二即
/2=a1+(n-1)d/2
{an}的平均數爲
sn/n=/n=a1+(n-1)d/2
得證
第三篇:等差數列證明
設數列{an}的前n項和爲sn,若對於所有的正整數n,都有sn=n(a1+an)/2,求證:{an}是等差數列
解:證法一:令d=a2-a1,下面用數學歸納法證明an=a1+(n-1)d(n∈n*) ①當n=1時,上述等式爲恆等式a1=a1,
當n=2時,a1+(2-1)d=a1+(a2-a1)=a2,等式成立.
②假設當n=k(k∈n,k≥2)時命題成立,即ak=a1+(k-1)d 由題設,有sk?
k(a1?ak)(k?1)(a1?ak?1)
,sk?1?, 22
(k?1)(a1?ak?1)k(a1?ak)
?+ak+1
22
又sk+1=sk+ak+1,所以
將ak=a1+(k-1)d代入上式,
得(k+1)(a1+ak+1)=2ka1+k(k-1)d+2ak+1 整理得(k-1)ak+1=(k-1)a1+k(k-1)d ∵k≥2,∴ak+1=a1+[(k+1)-1]d. 即n=k+1時等式成立.
由①和②,等式對所有的自然數n成立,從而{an}是等差數列. 證法二:當n≥2時,由題設,sn?1?
(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)
,sn?
22
所以an?sn?sn?1?
n(a1?a2)(n?1)(a1?an?1)
? 22
(n?1)(a1?an?1)n(a1?an)
?同理有an?1?
22
從而an?1?an?
(n?1)(a1?an?1)(n?1)(a1?an?1)
?n(a1?an)?
22
整理得:an+1-an=an-an-1,對任意n≥2成立.
從而{an}是等差數列.
評述:本題考查等差數列的基礎知識,數學歸納法及推理論證能力,教材中是由等差數列的通項公式推出數列的求和公式,本題逆向思維,由數列的求和公式去推數列的通項公式,有一定的難度.考生失誤的主要原因是知道用數學歸納法證,卻不知用數學歸納法證什麼,這裏需要把數列成等差數列這一文字語言,轉化爲數列通項公式是an=a1+(n-1)d這一數學符號語言.證法二需要一定的技巧.
第四篇:等差數列的證明
一、 等差數列的證明 利用等差(等比)數列的定義
在數列{an}中,若an?an?1?d
二.運用等差中項性質
an?an?2?2an?1?{an}是等差數列
三.通項與前n項和法
若數列通項an能表示成an?an?b(a,b爲常數)的形式,則數列?an?是等差數列; 若數列?an?的前n項和sn能表示成sn?an2?bn (a,b爲常數)的形式,則數列?an?等差數列;
例1.若sn是數列?an?的前n項和,sn?n2,則?an?是().
a.等比數列,但不是等差數列b.等差數列,但不是等比數列c.等差數列,而且也是等比數列d.既非等比數列又非等差數列
練習:已知數列前n項和sn?n2?2n,求通項公式an,並說明這個數列是否爲等差數列。
練習:設數列?an?的前n項的和sn?n2?2n?4,?n?n??,
⑴寫出這個數列的前三項a1,a2,a3;
⑵證明:數列?an?除去首項後所成的數列a2,a3,a4?是等差數列。
例2:已知數列?an?滿足a1?1,an?2an?1?2
(ⅰ)求證:數列?n?n?2?, ?an?是等差數列; n?2??
(ⅱ)求數列?an?的通項公式。
練習:已知數列?an?滿足a1?2,an?1?an, 1?2an(ⅰ)求證:數列??1??是等差數列; a?n?(ⅱ)求數列?an?的通項公式。
第五篇:已知數列{an}是等差數列,設bn=a2n 1-a2n證明:數列{bn}是等差數列
已知數列{an}是等差數列,設bn=a2n+1-a2n證明:數列{bn}是等差數列
思路:這個題的方法和上課講的方法是一致的,你沒有做出來,是因爲忽略了數列{an}是等差數列這個條件,這個條件就以爲着對於{an}來說,前後兩項的差爲常數
證明:設等差數列{an}的公差爲d
bn?1?bn
2222?(an?2?an?1)?(an?1?an)
?(an?2?an?1)(an?2?an?1)?(an?1?an)(an?1?an)
?d(an?2?an?1)?d(an?1?an)
?d(an?2?an?1?an?1?an)
?d(an?2?an)
?d?2d
?2d2
⊙已知函數f﹙x)=x3+x,g(x)=(x2+ax+4)÷x (1)若對任意的x1屬於【1,3】,存在x2屬於【1,3】,使得f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值範圍。
(2)若對任意的x1,x2屬於【1,3】都有f(x1)≥g(x2)成立,求a的取值範圍。思路:第2問是恆成立問題,你說的對,第一個問不是。因爲是“存在x2”,所
以應該滿足的條件是f(x)的最大值大於等於g(x)的最大值,f(x)的最小值大於等於g(x)的最小值,
解:f(x)通過求導可求得值域爲f(x1)?[2,30],g(x2)?x?4?a?[4?a,5?a] x
?30?5?a所以(1)解不等式?,解不等式即可 2?4?a?
(2)2?5?a,解不等式即可
⊙設m屬於r,在平面直角座標系中,已知向量a=(mx,y+1),向量b=(x,y-1),向量a⊥向量b,動點m(x,y)的軌跡爲e。
已知m=1/4,證明:存在圓心在原點的圓,使得該圓的任意一條切線與軌跡e恆有兩個交點a,b,且oa⊥ob(o爲座標原點),並求出該圓的方程。
思路:該題就是一個“直線和圓錐曲線相交”的問題,方法是韋達定理法。關於解析幾何的大題,我會在寒假的時候,重點訓練大家的,這種題的特點是運算量大,思路倒是沒有什麼問題。先根據向量垂直,求出m的軌跡方程爲橢圓。然後在根據圓的性質:切點與圓心的連線與切線垂直,切點與圓心的距離等於半徑,再加上向量垂直,即可求解。
?12x2
222?y2?1 解:?b?x?y?1?0?x?4y?4?44
設圓的切線的切點座標爲p(x0,y0),則k0p?y0x,因爲op和ab垂直,所以kab??0,x0y0則設直線ab的方程:y?y0??x0(x?x0)帶入到橢圓方程中,得: y0
2(y0?4x0)x?8x0rx?4r?4y0?0?x1?x2?222248x0r2
y0?4x022,x1x2?4r4?4y0y0?4x0222
r2?x0x1r2?x0x2又因爲0a?0p?x1x2?y1y2?0?x1x2?()()?0y0y0
?x1x2?r2?x0(x1?x2)?0
將上面求得的x1?x2?8x0r2
y0?4x022,x1x2?4r4?4y0y0?4x0222帶入到上式中,整理可求得
r2?4422,即圓的方程爲x?y? 55
⊙設a>1,則雙曲線x2÷a2-y2÷(a+1)2=1的離心率e的取值範圍是? a2?(a?1)21解:e??2a??2?5 aa
總結;最後求範圍是根據對勾函數求的,如果不懂,可以參考函數課程中的“分式函數”這節課。
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