向量積分配律的證明(精選多篇)

第一篇：向量積分配律的證明

向量積分配律的證明

三維向量外積(即矢積、叉積)可以用幾何方法證明;也可以借用外積的反對稱性、內積的分配律和混合積性質，以代數方法證明。

下面把向量外積定義爲：

a×b=|a|·|b|·sin.

分配律的幾何證明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明。

下面給出代數方法。我們假定已經知道了：

1)外積的反對稱性：

a×b=-b×a.

這由外積的定義是顯然的。

2)內積(即數積、點積)的分配律：

a·(b+c)=a·b+a·c,

(a+b)·c=a·c+b·c.

這由內積的定義a·b=|a|·|b|·cos，用投影的方法不難得到證明。

3)混合積的性質：

定義(a×b)·c爲矢量a,b,c的混合積，容易證明：

i)(a×b)·c的絕對值正是以a,b,c爲三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負號由a,b,c的定向決定(右手係爲正，左手係爲負)。

從而就推出：

ii)(a×b)·c=a·(b×c)

所以我們可以記a,b,c的混合積爲(a,b,c).

由i)還可以推出：

iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

我們還有下面的一條顯然的結論：

iv)若一個矢量a同時垂直於三個不共面矢a1,a2,a3，則a必爲零矢量。

下面我們就用上面的1)2)3)來證明外積的分配律。

設r爲空間任意矢量，在r·(a×(b+c))裏，交替兩次利用3)的ii)、iii)和數積分配律2)，就有

r·(a×(b+c))

=(r×a)·(b+c)

=(r×a)·b+(r×a)·c

=r·(a×b)+r·(a×c)

=r·(a×b+a×c)

移項，再利用數積分配律，得

r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0

這說明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直於任意一個矢量。按3)的iv)，這個矢量必爲零矢量，即

a×(b+c)-(a×b+a×c)=0

所以有

a×(b+c)=a×b+a×c.

證畢。

三維向量外積(即矢積、叉積)可以用幾何方法證明;也可以借用外積的反對稱性、內積的分配律和混合積性質，以代數方法證明。

下面把向量外積定義爲：

a×b=|a|·|b|·sin.

分配律的幾何證明方法很繁瑣，大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明。

下面給出代數方法。我們假定已經知道了：

1)外積的反對稱性：

a×b=-b×a.

這由外積的定義是顯然的。

2)內積(即數積、點積)的分配律：

a·(b+c)=a·b+a·c,

(a+b)·c=a·c+b·c.

這由內積的定義a·b=|a|·|b|·cos，用投影的方法不難得到證明。

3)混合積的性質：

定義(a×b)·c爲矢量a,b,c的混合積，容易證明：

i)(a×b)·c的絕對值正是以a,b,c爲三條鄰棱的平行六面體的體積，其正負號由a,b,c的定向決定(右手係爲正，左手係爲負)。

從而就推出：

ii)(a×b)·c=a·(b×c)

所以我們可以記a,b,c的混合積爲(a,b,c).

由i)還可以推出：

iii)(a,b,c)=(b,c,a)=(c,a,b)

我們還有下面的一條顯然的結論：

iv)若一個矢量a同時垂直於三個不共面矢a1,a2,a3，則a必爲零矢量。

下面我們就用上面的1)2)3)來證明外積的分配律。

設r爲空間任意矢量，在r·(a×(b+c))裏，交替兩次利用3)的ii)、iii)和數積分配律2)，就有

r·(a×(b+c))

=(r×a)·(b+c)

=(r×a)·b+(r×a)·c

=r·(a×b)+r·(a×c)

=r·(a×b+a×c)

移項，再利用數積分配律，得

r·(a×(b+c)-(a×b+a×c))=0

這說明矢量a×(b+c)-(a×b+a×c)垂直於任意一個矢量。按3)的iv)，這個矢量必爲零矢量，即

a×(b+c)-(a×b+a×c)=0

所以有

a×(b+c)=a×b+a×c.

證畢。

第二篇：12014-向量數量積的運算律

向量數量積的運算律

製作人：張明娟審覈人：葉付國使用時間：2014-5-8編號：12014 學習目標：

1、 掌握平面向量數量積的運算律及其運算；

2、 通過向量數量積分配律的學習，體會類比、猜想、證明的探索性學習 方法；

3、通過解題實踐，體會向量數量積的運算方法.

學習重點：向量數量積的運算律及其應用.

學習難點：向量數量積分配律的證明.

重點知識回顧：

1、兩個向量的夾角的範圍是：；

2、向量在軸上的正射影

正射影的數量爲；

??3、向量的數量積（內積）：a·b=；

4、兩個向量的數量積的性質：

??（1）a?b?；

（2）a?aa

（3）cos?=；

向量數量積的運算律

1（）a?b?b?a;

(2)(?

(3)(a???a)?b?a?(?b)??(a?b)??a?b;?b)?c?a?c?b?c

22 平面向量數量積的常用公式

(1)(a2

(2)(a?b)(a

證明：（1）

（2）

?b)?a?2a?b?b?b)?a?b22

典例剖析：

例????1、已知a=6，b=4，a與b的夾角爲600，

??求：（1）b在a方向上的投影；

??（2）a在b方向上的投影；

（3）a ?2b?a?3b??

例????02、已知a與b的夾角爲120，a=2，b=3，求：

22 （）a?b；（2）a?

b；（3）（2a 1

（4?5

? ?b）（?a?3b）

??1,a與b夾角爲120，問t取何值0

?t

例

????????a3、已知=3，b=4，（且a與b不共線），當且僅當k爲何值時，向量a?kb與a?kb 互相垂直？

???????變式：已知a=1, b=2, a與a?b垂直.求a與b的夾角.

練習題:求證菱形的對角線互相垂直.

例

???????04、已知a=2，b=4，a,b?120，求a與a?b的夾角.

課堂小結：

跟蹤練習：

1、下列運算不正確的是（）

a.??a??b??c??a????b?c??b.???a?b??c??a??c???b?c?

c.m???a???b?ma??mbd. ?a???b??c??a????b?c??

2、設e?、e?，則?2e????

12是兩個單位向量，它們的夾角爲6001?e2????3e1?2e2??（

a.?99

2b. 2c.?8d.8

3、已知?a??7, ?b?7，a???b?7，則a?與b的夾角爲（）；

4、已知：向量a?與?b的夾角爲1200，且a??4， ?b?2，求：

（1）a???b；（2）3a???4b；（3）?a???b???a???2b

）

第三篇：平面向量的數量積及運算律的教案說明

《平面向量的數量積及運算律》的教案說明

新疆石河子第一中學曹麗梅

一、教學內容的本質：

本教案是人教版高中數學第一冊（下）第五章平面向量的第六節內容，整個課題按照課程標準分兩個課時，這是第一課時的教案。

平面向量數量積第一課時的教學，通常要求形成數量積的概念，得出數量積運算的公式，並把培養學生的探究精神和應用意識的目標，有機地融入知識學習和技能形成的過程之中。平面向量數量積是平面向量的重點內容之一，也是難點之一，這一節主要介紹兩個向量的數量積是兩個向量之間的一種乘法，是中學代數中從未遇到過的一種新的乘法，與數的乘法有區別，同時這一節與下一節平面向量的數量積的座標表示有着緊密聯繫。由於向量既能體現“形”的直觀位置特徵，又具有“數”的良好運算性質，是數形結合和轉換的橋樑。而這一切之所以能夠實現，平面向量的數量積功不可沒。通過對這一節的學習，既可以讓學生掌握平面向量的數量積，幾何意義，重要性質及運算律，又可使學生了解用平面向量的數量積可以處理有關長度，角度，和垂直問題，而且爲平面向量的數量積的座標表示的學習做了充分準備，對後面正，餘弦定理的證明起到至關重要的作用，因此本節課的教學內容起着承前啓後的作用。

根據“平面向量的數量積及運算律”在高中數學中的地位與作用，並且考慮到學生已有的認知結構心理特徵，我認爲本節課的教學目標應以人爲本注重對學生自主能力的培養，啓發引導學生髮現問題，觀察問題，進而得以解決問題，在這一過程中希望能充分調動學生的積極性，不斷激發學生學數學的興趣。

二、教學內容的應用及滲透

平面向量作爲一種工具，重在應用，而且今後用向量方法特別便於研究空間裏涉及直線和平面的各種問題；而平面向量的數量積作爲一種特殊的運算也有它不可替代的作用，如：求向量的模長，夾角，推導正、餘弦定理等。

由於向量來源於物理，並且兼具“數”和“形”的特點，所以它在物理和幾何中具有廣泛的應用，衆所周知，物理與數學是密不可分的，而向量在物理中的應用比比皆是，舉不勝舉，反過來物理又可爲某些數學知識作有效的解釋。比如：本課時的引入就是以物體在力的作用下所做的功爲模型，事實上這也就是平面向量數量積的物理意義，這樣可以更貼近生活，使學生更容易理解平面向量數量積的概念，符合學生的認知習慣。同時解析幾何也往往將向量作爲有力的解題工具。

三、教學分析

《數學課程標準》中強調：“數學課程要實現：人人學有價值的數學；人人都獲得必需的數學；不同的人在數學上得到不同的發展。”同時，她倡導的“關注過程”“強調本質”“體現數學的文化價值”“發展數學的應用意識”等都向我們昭示出高中數學課程的價值取向。

爲使《數學課程標準》得以順利實施，教師理應不斷更新教學觀念，努力成爲數學學習活動的組織者、引導者、合作者。通過精心設計、實踐與反思，不斷改進教學方法和教學手段??以優化課堂教學，提高課堂教學的效率。課程設計必須從學生的角度出發，要與學生的經歷和經驗相聯繫，關注學生的體驗、感悟和實踐過程。

基於以上認識，對於“平面向量數量積及運算律”引入，我進行了這樣的

教學設計： 首先演示一個外力作功的實驗：w=|f| |s|cosθ，並揭示這個物理模型的實質，即：力與位移的數量積。

其次，具體分析平面向量的夾角，向量的數量積、重要性質等概念，並鞏固練習。 再者，基本概念均簡明有效的給出，爲之後學生深入學習、探究提供了時間上的保證，從定義出發推導運算律也變得簡單易行。隨後，從特殊到一般，得出數量積的幾何表示。在教師爲主導、學生爲主體的教學模式中，學習活動進展順利，學生們都顯得遊刃有餘。在教學過程中，學生對平面向量數量積的定義及運算律的理解有些難度，總的感覺是：在覈心問題上的處理不太容易把握，學生需要較多的時間去探究和體驗。

結合多年教學發現學生對數量積的結果是數量重視不夠，解題中往往忽略，

?學生容易忽略；書寫中符號“?”學生容易省略不寫，教學和作業中發現問題教師應時常提醒學生及時糾正，避免重複錯誤；運算律中消去律和結合律不能亂用，要給學生講清楚一定不能與實數的運算律混淆，這些地方應反覆給學生強調。

最後，在有效落實教學目標的同時，如何讓學生的“學”更輕鬆些，讓教師的“教”更順暢些，使“數量積”的概念形成更具一般性，更能揭示“數量積”的本質內含就顯得尤爲重要。

四、教法及教學反思

教學過程中採用啓發引導式與講練相結合，並藉助多媒體教學手段，使學生理解平面向量數量積的定義，理解定義之後引導學生推導數量積的性質，通過例題和練習加深學生對平面向量數量積定義的認識，初步掌握平面向量數量積定義的運用。這一切主要是通過課堂教學來實現的，因此，要精於課堂教學設計，並在實踐中進行反思和再設計，形成一系列適合學生認知、發展的教學方案。同時，在教學中要注意引導學生不斷增強自主性、探索性、合作性和思辨性，促使他們成爲學習的主人。而貫徹數形結合思想是克服難點的有效舉措．通過例題、練習的分析講評和學生積極主動的解題實踐，運用(敬請期待本站更好文章：)知識解決問題的能力將得到提高。由於課堂教學準備的較充分，基本能達到預定目標。

教學反思，是教師對自身教學工作的檢查與評定，是整理教學中的反饋信息，適時總結經驗教訓、找出教學的成功與不足的重要過程。因此教學後適時的反思有利於促進教學，以上就是我對本節課的理解和反思。

第四篇：用正弦定理證明三重向量積

用正弦定理證明三重向量積

作者：光信1002班 李立

內容：通過對問題的討論和轉化，最後用正弦定理來證明三重向量積的公式——(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b。

首先，根據叉乘的定義，a、b、a?b可以構成一個右手系，而且對公式的觀察與分析我們發現，在公式中，a與b是等價的，所以我們不妨把a、b、a?b放在一個空間直角座標系中，讓a與b處於oxy面上，a?b與z軸同向。如草圖所示：

其中，向量c可以沿着z軸方向與平行於oxy平面的方向分解，即：

c?cz?cxy

將式子帶入三重向量積的公式中，發現，化簡得：

（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b這兩個式子等價

現在我們考慮(a?b)?c剛好被a與b反向夾住的情況，其他的角度情況以此類推。

由圖易得，(a?b)?c與a、b共面，a與b不共線，不妨設(

a?b)?c?xa?yb，

a,cxy

?(

?

,?),b,cxy

?(0,

?

)，所以：

在三角形中使用正弦定理，得

a?b）?csin[?-a,b]

?sin[

xa

?

yb

sin[a,cxy?

?k]

?

?b,cxy?

又因爲a?b）?c?abcsina,b

所以，解得k=abc， 於是解得：

x= bcxycosb,cxyy??acxycosa,cxy

?b?cxy ??a?cxy

由圖示和假定的條件，(a?b)?c在a和b方向上的投影皆爲負值，所以x，y都取負值，

所以，

（a?b）?cxy??(cxy?b)a?(cxy?a)?b

其他的相對角度關係，以此類推，也能得到相同的答案，所以：

(a?b)?c??(c?b)a?(c?a)b，命題得證。

小結論：當直觀解答有困難時，可以通過分析轉化的方法來輕鬆地解決。

第五篇：兩個向量的數量積

8、《兩個向量的數量積》說課稿

尊敬的各位評委老師：

大家好！今天我說課的內容是《兩個向量的數量積》。現代教育理論指出學生是教學的主體，教師的教應本着從學生的認知規律出發、以學生活動爲主線、在原有認知結構基礎上、建構新的知識體系。本節課的教學設計中，我將此理念貫穿於整個教學過程中。下面就從教材分析、教學目標分析、重難點分析、教法分析、學法分析、教學設計、板書設計及教學評價等方面進行說明。

一、教材分析

《兩個向量的數量積》是現行人教版高中數學第二冊下第九章第5節的內容。在本節之前，同學們已經學習了空間向量的一些知識，包括空間向量的座標運算、共線向量和共面向量、空間向量基本定律，這些知識是學習本節的基礎。

向量概念的引入是數學學習的一個捷徑，同時也引入了一種新的解決數學問題的方法：座標法，同時也引入了一種新的數學思想：數形結合的思想。同時，兩個向量之間的位置關係可以通過數量積來表示。因此，研究兩個向量的數量積是高中數學的一個重點知識。

二、教學目標

根據上述教材結構與內容分析，考慮到學生已有的認知結構心理特徵，制定如下教學目標：

1．基礎知識目標：掌握空間向量夾角和模的概念及表示方法，掌握兩個向量數量積的概念、性質、計算方法及運算律；

2．能力訓練目標：掌握兩個向量數量積的主要用途，會用它解決立體幾何中的一些簡單問題。

3．個性品質目標：訓練學生分析問題、解決問題的能力，瞭解數量積在實際問題中的初步應用。

4．創新素質目標：培養學生數形結合的思想。

三、重難點分析

教學的重點是兩個向量數量積的計算方法及其應用，在此基礎上應該讓學生理解兩個向量數量積的幾何意義，這也就是本節課的難點。

下面，爲了講清重點、難點，使學生能達到本節設定的教學目標，我將從教法和學法上進行講解。

四、教法

教學過程是教師和學生共同參與的過程，啓發學生自主性學習，充分調動學生的積極性、主動性；有效地滲透數學思想方法，提高學生素質。根據這樣的原則和所要完成的教學目標，併爲激發學生的學習興趣，採用採用引導式、講練結合法進行講解。

五、學法

教給學生方法比教給學生知識更重要，本節課注重調動學生積極思考、主動探索，儘可能地增加學生參與教學活動的時間和空間，我進行了以下學法指導：

(1)聯想法：要求學生聯想學過的向量知識，特別加深理解數學知識之間的相互滲透性。1

(2)觀察分析法：讓學生要學會觀察問題，分析問題和解決問題新。

(3)練習鞏固法：讓學生知道數學重在運用，從而檢驗知識的應用情況，找出未掌握的內容及其差距。

下面，我將具體談談這堂課的教學過程。

六、教學程序及設想

七、板書設計

板書要基本體現整堂課的內容與方法，體現課堂進程，能簡明扼要反映知識結構及其相互聯繫；能指導教師的教學進程、引導學生探索知識；同時不完全按課本上的呈現方式來編

排板書。即體現系統性、程序性、概括性、指導性、啓發性、創造性的原則；（原則性）

以上就是我說課的內容，希望各位老師對本堂課的說課提出寶貴的意見。 謝謝。

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