向量法證明不等式(精選多篇)

第一篇：向量法證明不等式

向量法證明不等式

高中新教材引入平面向量和空間向量，將其延伸到歐氏空間上的n維向量，向量的加、減、數乘運算都沒有發生改變.若在歐式空間中規定一種涵蓋平面向量和空間向量上的數量積的運算，則高中階段的向量即爲n=2，3時的情況.

設a，b是歐氏空間的兩向量，且a=(x1，x2，…，xn)，b=(y1，y2，…，yn)(xi，yi∈r，i=1，…，n)

規定a·b=(x1，x2，…，xn)·(y1，y2，…，yn)=x1y1+x2y2+…+xnyn=xiyi.

(注：a·b可記爲(a，b)，表示兩向量的內積)，有

由上，我們就可以利用向量模的和與和向量的模的不等式及數量積的不等式建立一系列n元不等式，進而構造n維向量來證明其他不等式.

一、利用向量模的和與和向量的模的不等式(即

例1設a，b，c∈r+，求證：(a+b+c)≤++≤.

證明：先證左邊，設m=(a，b)，n=(b，c)，p=(c，a)，

則由

綜上，原不等式成立.

點評：利用向量模的和不小於和向量的模建立不等式證明左邊，利用向量數量積建立不等式證明右邊.

作單位向量j⊥ac

j(ac+cb)=jab

jac+jcb=jab

jcb=jab

|cb|cos(π/2-∠c)=|ab|cos(π/2-∠a)

即|cb|sinc=|ab|sina

a/sina=c/sinc

其餘邊同理

在三角形abc平面上做一單位向量i,i⊥bc,因爲ba+ac+cb=0恆成立，兩邊乘以i得i*ba+i*ac=0①根據向量內積定義，i*ba=c*cos(i,ab)=c*sinb,同理i*ac=bcos(i,ac)=b(-sinc)=-bsinc代入①得csinb-bsinc=0所以b/sinb=c/sinc類似地，做另外兩邊的單位垂直向量可證a/sina=b/sinb,所以a/sina=b/sinb=c/sinc

步驟1

記向量i，使i垂直於ac於c，△abc三邊ab,bc,ca爲向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接着得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△abc中，設bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足爲點h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

步驟3.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o於d.連接da.

因爲直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因爲同弧所對的圓周角相等,所以∠d等於∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

類似可證其餘兩個等式。

第二篇：用向量可以證明不等式

運用向量可以證明不等式

向量一章中有兩處涉及到不等式，其一，

?a?a+???b?a?b或-???b?a?b；其二，??a?b??a?b。前者的幾何意義是三角形兩邊之和大於第三邊，兩邊之差小於第三邊，後者是數量積的性質，這兩個結論用於證明不等式，可以使證明思路清晰明快，過程簡單明瞭之功效。

????

一、利用a-b?a?b證明不等式

例1

、函數f(x)?，a?b，求證：

f(a)?f(b)?a?b

解析：f(a)?f(b)?a?b

即??a?b

??

構造兩個向量 a?(1,a),b?(1,b)，?可??以理解爲兩個向量的模的差a?b，那麼a?b表示向量???c?(0,a?b)的模，其中a?b?(1,a)?(1,b)?(0,a?b) 。 ????

因此，原不等式等價於證明a?b?a?b，其中a?b，向量 ??a和b不可能同向，不取等號。

????

二 利用a?b?ab證明不等式

2222例2 、已知實數mnxy滿足m?n?a,x?y?b

（a?b），求mx?ny得最大值

???解析：構造向量a?(m,n),b?(x,y)，

則a?? ??a?b?mx?ny????，因爲a?b?ab，所以mx?ny

?

?my

?nx取最大值。 ?例3、已知a?b?

1,解析： 構造向

量???a?b?1m?，n??

12?2 ???n?(1,1),m?，。 ???

。m?n?????因爲m?n???

m?n

所以，

??????n??n?2。

第三篇：用向量法證明

用向量法證明

步驟1

記向量i，使i垂直於ac於c，△abc三邊ab,bc,ca爲向量a,b,c

∴a+b+c=0

則i(a+b+c)

=i·a+i·b+i·c

=a·cos(180-(c-90))+b·0+c·cos(90-a)

=-asinc+csina=0

接着得到正弦定理

其他

步驟2.

在銳角△abc中，設bc=a,ac=b,ab=c。作ch⊥ab垂足爲點h

ch=a·sinb

ch=b·sina

∴a·sinb=b·sina

得到a/sina=b/sinb

同理，在△abc中，

b/sinb=c/sinc

步驟3.

證明a/sina=b/sinb=c/sinc=2r：

任意三角形abc,作abc的外接圓o.

作直徑bd交⊙o於d.連接da.

因爲直徑所對的圓周角是直角,所以∠dab=90度

因爲同弧所對的圓周角相等,所以∠d等於∠c.

所以c/sinc=c/sind=bd=2r

類似可證其餘兩個等式.希望對你有所幫助!

2

設向量ab=a,向量ac=b，向量am=c向量bm=d,延長am到d使am=dm，連接bd,cd,則abcd爲平行四邊形

則向量a+b=2c(a+b)平方=4c平方a平方+2ab+b平方=4c

平方(1)

向量b-a=2d(b-a)平方=4d平方a平方-2ab+b平方=4d

平方(2)

(1)+(2)2a平方+2b平方=4d平方+4c平方

c平方=1/2(a+b)-d平方

am^2=1/2(ab^2+ac^2)-bm^2

3

已知ef是梯形abcd的中位線，且ad//bc，用向量法證明梯形的中位線定理

過a做ag‖dc交ef於p點

由三角形中位線定理有：

向量ep=½向量bg

又∵ad‖pf‖gc且ag‖dc∴向量pf=向量ad=向量gc(平行四邊形性質)

∴向量pf=½(向量ad+向量gc)

∴向量ep+向量pf=½(向量bg+向量ad+向量gc)

∴向量ef=½(向量ad+向量bc)

∴ef‖ad‖bc且ef=(ad+bc)

得證

4

先假設兩條中線ad,be交與p點

連接cp,取ab中點f連接pf

pa+pc=2pe=bp

pb+pc=2pd=ap

pa+pb=2pf

三式相加

2pa+2pb+2pc=bp+ap+2pf

3pa+3pb+2pc=2pf

6pf+2pc=2pf

pc=-2pf

所以pc,pf共線，pf就是中線

所以abc的三條中線交於一點p

連接od,oe,of

oa+ob=2of

oc+ob=2od

oc+oc=2oe

三式相加

oa+ob+oc=od+oe+of

od=op+pd

oe=op+pe

of=op+pf

oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op+1/2ap+1/2bp+1/2cp

由第一問結論

2pa+2pb+2pc=bp+ap+cp

2pa+2pb+2pc=0

1/2ap+1/2bp+1/2cp

所以oa+ob+oc=3op+pd+pe+pf=3op

向量op=1/3(向量oa+向量ob+oc向量)

第四篇：構造法證明不等式

構造法證明不等式

由於證明不等式沒有固定的模式，證法靈活多樣，技巧性強，使得不等式證明成爲中學數學的難點之一.下面通過數例介紹構造法在證明不等式中的應用.

一、構造一次函數法證明不等式

有些不等式可以和一次函數建立直接聯繫，通過構造一次函數式，利用一次函數的有關特性，完成不等式的證明.

例1設0≤a、b、c≤2，求證：4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.

證明：視a爲自變量，構造一次函數

=4a+b+c+abc-2ab-2bc-2ca=(bc-2b-2c+4)a+(b+c-2bc)，

由0≤a≤2，知表示一條線段.又=b+c-2bc=(b-c)≥0，

=b+c-4b-4c+8=(b-2)+(c-2)≥0，

可見上述線段在橫軸及其上方，∴≥0，即4a+b+c+abc≥2ab+2bc+2ca.

二、構造二次函數法證明不等式

對一些不等式證明的題目，若能巧妙構造一元二次函數，利用二次函數的有關特性，可以簡潔地完成不等式證明.

例2實數a、b、c滿足(a+c)(a+b+c)<0，求證：(b-c)>4a(a+b+c).

證明：由已知得a=0時，b≠c，否則與(a+c)(a+b+c)<0矛盾，

故a=0時，(b-c)>4a(a+b+c)成立.

當a≠0時，構造二次函數=ax+(b-c)x+(a+b+c)，則有

=a+b+c，=2(a+c)，而·=2(a+c)(a+b+c)<0，

∴存在m，當-1

第五篇：不等式的證明(一)(比較法)測試

不等式的證明（一）（比較法）

點擊要點

1．作差比較法證明不等式的步驟是：、、變形是手段，判斷差的符號纔是目的．常用的變形方法有：配方法、通分法、因式分解法等．有時把差變形爲常數，有時變形爲常數與幾個數平方和的形式，有時變形爲幾個因式積的形式等．總之，變形到能即可．

2．商比法：若b＞0，欲證a≥b，只需證

步驟：；；判斷商值與的大小關係．

指數不等式常用證明．有時要用到指數函數的性質．如若a＞1，且x＞0，則等． 學習策略

解答本節習題應把握以下幾個方面：（1）準確理解比較法的概念；（2）綜合應用作差比較法、作商比較法證明不等式；（3）要注意等價轉化的思想、化歸思想的應用；（4）本節知識易錯點是不能合理運用因式分解和正確使用指數函數的性質解題。

大學聯考展望

本節知識在大學聯考中以考查比較法證明不等式爲主，考點有比較法證明不等式，經常與一次函數、二次函數、對數函數等知識結合考查，多以選擇題、填空題爲主。

練好你的基本功！

1．已知a、b、c∈r，那麼，下列命題正確的是()

ab??22 a．a＞b?ac＞bcb．cca＞b

c．a3＞b3且ab＞0?1111???22abd．a＞b且ab＞0ab

2．設a、b∈r，下面的不等式成立的是()

a．a2＋3ab＞b2b．ab－a＞b＋ab

aa?1?bb?1d．a2＋b2≥2(a－b－1) c．

3．在橫線上填寫恰當的符號(＞，≥，＝，＜，≤)

2x

2(1)若x∈r，且x≠1，那麼，1?x．

(2)若0＜a＜1，那麼(1－a)－a)． 1413

(3)若a＞0，a≠1，那麼loga(1＋a)_____loga(1＋a)．

(4)當x≥1時，那麼x5＋x4＋x32＋x＋1．

4．設p＝a2b2＋5，q＝2ab－a2－4a，若p＞q，則實數a，b滿足的條件爲________．

5．設a＞0，b＞0，則下面兩式的大小關係爲2lg(1＋ab)_____lg(1＋a)＋lg(1＋b)．提升你的能力！基礎鞏固題

1．設0＜a＜2，下列不等式成立的是()

1111?1?a2?1?a2?1?a2??1?a2?1?ab．1?a1?a a．1?a

c．1?a2?1111??1?a2?1?a2??1?a21?a1?a1?ad．1?a

2．若a＜b＜0，則下列不等式關係中不能成立的是()

11?a．ab

11?b．a?ba

c．｜a｜＞｜b｜

d．a2＞b2

3．若a＞0，b＞0，m＞0，且a＜b，則下列不等式中恆成立的是()

aa?maa?m??1?a．bb?mb．bb?(收藏好 範 文，請便下次訪問)m

aa?ma?ma??11??b?mb c．bb?md．

4．設a、b∈r，用不等號連接下列兩個式子，a2＋b2＋ab＋1_____a＋b．

5．已知a＞b＞c，求證：a2b＋b2c＋c2a＞ab2＋bc2＋ca2

綜合應用題

11?1．a，b∈r，那麼ab成立的一個充分非必要條件是()

a．a＞bb．ab(a－b)＜0c．0＜a＜bd．a＜b

2．設0＜a＜b＜1，則a＋b，2ab，a2＋b2，2ab中最大的值是()

ab a．a2＋b2b．a＋bc．2abd．2

3．已知a＞b＞0，則下列不等式成立的是()

a．a＞b＞2＞abb．a＞2＞ab＞b

a?ba?b

c．a＞2＞b＞abd．a＞ab＞2＞b

4．若x爲正數，且x3－x＝2，則x與5的大小關係爲_____．

a2b2

5． 設a>b>c，求證：a?b+b?c>a+2b+c.

6．已知a＞b＞c＞0，求證:aabbcc＞(abc)1(a?b?c)3

探索創新題

1x?1

1．11．設a＞0，a≠1，x＞0，比較2logax與loga2的大小，並證明你的結論．

2．12．甲、乙兩個糧油公司，同時在某地按同一批發價格購進糧食，他們各購糧兩次，已知每次批發價格互不相同，甲公司每次購糧爲1萬千克，乙公司每次用1萬元購糧，試比較這兩種購糧方法，哪一種購糧方法購得的糧食平均批發價格較低，並證明你的結論．試試你的身手！1．

2．