怎麼證明餘弦定理

第一篇：怎麼證明餘弦定理

怎麼證明餘弦定理

證明餘弦定理：

因爲過c作cd垂直於ab，ad=bcosa;所以(c-bcosa)^2+(bsina)^2=a^2。

又因爲b^2-(bcosa)^2=(bsina)^2，所以(c-x)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，

所以c^2-2cbcosa+(bcosa)^2+b^2-(bcosa)^2=a^2，

所以c^2-2cbcosa+b^2=a^2，

所以c^2+b^2-a^2=2cbcosa，

所以cosa=(c^2+b^2-a^2)/2bc

同理cosb=(a^2+c^2-b^2)/2ac，cosc=(a^2+b^2-c^2)/2ab

2

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對邊爲c，∠b對邊爲b，∠a對邊爲a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右圖，在abc中，三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a爲原點，ac所在的直線爲x軸建立直角座標系，於是c點座標是(b，0)，由三角函數的定義得b點座標是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現將cb平移到起點爲原點a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據三角函數的定義知d點座標是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點座標是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別爲a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別爲,mc,應用餘弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。

第二篇：用複數證明餘弦定理

用複數證明餘弦定理

法一：證明：建立如下圖所示的直角座標系，則a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函數的定義可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc爲鄰邊作平行四邊形abcc′，則∠bac′=π-∠b，

∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb).

根據向量的運算：

=(-acosb,asinb)，

=-=(bcosa-c,bsina),

(1)由=：得

asinb=bsina,即

=.

同理可得：=.

∴==.

(2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccosa.

同理：

c2=a2+b2-2abcosc;

b2=a2+c2-2accosb.

法二：如圖5，

,設軸、軸方向上的單位向量分別爲、，將上式的兩邊分別與、(本站 推薦)作數量積，可知

，

即

將(1)式改寫爲

化簡得b2-a2-c2=-2accosb.

即b2=a2+c2-2accosb.(4)

這裏(1)爲射影定理，(2)爲正弦定理，(4)爲餘弦定理.

2

在△abc中，ab=c、bc=a、ca=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

a^2=b^2+c^2-2bc*cosa

b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。

過a作ad⊥bc於d，則bd+cd=a

由勾股定理得：

c^2=(ad)^2+(bd)^2，(ad)^2=b^2-(cd)^2

所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2

=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*cd

因爲cosc=cd/b

所以cd=b*cosc

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc

題目中^2表示平方。

2

談正、餘弦定理的多種證法

聊城二中魏清泉

正、餘弦定理是解三角形強有力的工具，關於這兩個定理有好幾種不同的證明方法.人教a版教材《數學》(必修5)是用向量的數量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量並對向量的等式作同一向量的數量積，這種構思方法過於獨特，不易被初學者接受.本文試圖通過運用多種方法證明正、餘弦定理從而進一步理解正、餘弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數學中“數”與“形”的完美結合.

定理：在△abc中，ab=c,ac=b,bc=a,則

(1)(正弦定理)==;

(2)(餘弦定理)

c2=a2+b2-2abcosc,

b2=a2+c2-2accosb,

a2=b2+c2-2bccosa.

一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設ad、be、cf分別是△abc的三條高。則有

ad=b•sin∠bca，

be=c•sin∠cab，

cf=a•sin∠abc。

所以s△abc=a•b•csin∠bca

=b•c•sin∠cab

=c•a•sin∠abc.

證法二：如圖1，設ad、be、cf分別是△abc的3條高。則有

ad=b•sin∠bca=c•sin∠abc，

be=a•sin∠bca=c•sin∠cab。

證法三：如圖2，設cd=2r是△abc的外接圓

的直徑，則∠dac=90°，∠abc=∠adc。

證法四：如圖3，設單位向量j與向量ac垂直。

因爲ab=ac+cb，

所以j•ab=j•(ac+cb)=j•ac+j•cb.

因爲j•ac=0，

j•cb=|j||cb|cos(90°-∠c)=a•sinc，

j•ab=|j||ab|cos(90°-∠a)=c•sina.

二、餘弦定理的證明

法一：在△abc中，已知，求c。

過a作，

在rt中，，

法二：

，即：

法三：

先證明如下等式：

⑴

證明：

故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

結合⑴、有

即.

同理可證

.

三、正餘弦定理的統一證明

法一：證明：建立如下圖所示的直角座標系，則a=(0，0)、b=(c,0)，又由任意角三角函數的定義可得：c=(bcosa,bsina)，以ab、bc爲鄰邊作平行四邊形abcc′，則∠bac′=π-∠b，

∴c′(acos(π-b),asin(π-b))=c′(-acosb,asinb).

根據向量的運算：

=(-acosb,asinb)，

=-=(bcosa-c,bsina),

(1)由=：得

asinb=bsina,即

=.

同理可得：=.

∴==.

(2)由=(b-cosa-c)2+(bsina)2=b2+c2-2bccosa，

又||=a,

∴a2=b2+c2-2bccosa.

同理：

c2=a2+b2-2abcosc;

b2=a2+c2-2accosb.

法二：如圖5，

,設軸、軸方向上的單位向量分別爲、，將上式的兩邊分別與、作數量積，可知

，

即

將(1)式改寫爲

化簡得b2-a2-c2=-2accosb.

即b2=a2+c2-2accosb.(4)

這裏(1)爲射影定理，(2)爲正弦定理，(4)爲餘弦定理.

第三篇：敘述並證明餘弦定理

敘述並證明餘弦定理

餘弦定理(第二餘弦定理)餘弦定理是揭示三角形邊角關係的重要定理，直接運用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個邊求角的問題，若對餘弦定理加以變形並適當移於其它知識，則使用起來更爲方便、靈活。

直角三角形的一個銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個銳角的餘弦值

編輯本段餘弦定理性質

對於任意三角形，任何一邊的平方等於其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的餘弦的兩倍積，若三邊爲a，b，c三角爲a，b，c，則滿足性質——

a^2=b^2+c^2-2·b·c·cosa

b^2=a^2+c^2-2·a·c·cosb

c^2=a^2+b^2-2·a·b·cosc

cosc=(a^2+b^2-c^2)/(2·a·b)

cosb=(a^2+c^2-b^2)/(2·a·c)

cosa=(c^2+b^2-a^2)/(2·b·c)

(物理力學方面的平行四邊形定則中也會用到)

第一餘弦定理(任意三角形射影定理)

設△abc的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是a、b、c，則有

a=b·cosc+c·cosb，b=c·cosa+a·cosc，c=a·cosb+b·cosa。

編輯本段餘弦定理證明

平面向量證法

∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小)∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c^2=a·a+2a·b+b·b∴c^2=a^2+b^2+2|a||b|cos(π-θ)

(以上粗體字符表示向量)

又∵cos(π-θ)=-cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|cosθ(注意：這裏用到了三角函數公式)

再拆開，得c2=a2+b2-2*a*b*cosc

即cosc=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可證其他，而下面的cosc=(c2-b2-a2)/2ab就是將cosc移到左邊表示一下。

平面幾何證法

在任意△abc中

做ad⊥bc.

∠c所對的邊爲c，∠b所對的邊爲b，∠a所對的邊爲a

則有bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

根據勾股定理可得：

ac2=ad2+dc2

b2=(sinb*c)2+(a-cosb*c)2

b2=(sinb*c)2+a2-2ac*cosb+(cosb)2*c2

b2=(sinb2+cosb2)*c2-2ac*cosb+a2

b2=c2+a2-2ac*cosb

cosb=(c2+a2-b2)/2ac

編輯本段作用

(1)已知三角形的三條邊長，可求出三個內角

(2)已知三角形的兩邊及夾角，可求出第三邊。

(3)已知三角形兩邊及其一邊對角，可求其它的角和第三條邊。(見解三角形公式，推導過程略。)

判定定理一(兩根判別法)：

若記m(c1,c2)爲c的兩值爲正根的個數，c1爲c的表達式中根號前取加號的值，c2爲c的表達式中根號前取

減號的值

①若m(c1,c2)=2,則有兩解

②若m(c1,c2)=1,則有一解

③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無解)。

注意：若c1等於c2且c1或c2大於0，此種情況算到第二種情況，即一解。

判定定理二(角邊判別法):

一當a>bsina時

①當b>a且cosa>0(即a爲銳角)時，則有兩解

②當b>a且cosa<=0(即a爲直角或鈍角)時,則有零解(即無解)

③當b=a且cosa>0(即a爲銳角)時，則有一解

④當b=a且cosa<=0(即a爲直角或鈍角)時,則有零解(即無解)

⑤當b二當a=bsina時

①當cosa>0(即a爲銳角)時,則有一解

②當cosa<=0(即a爲直角或鈍角)時，則有零解(即無解)

三當a例如：已知△abc的三邊之比爲5：4：3，求最大的內角。

解設三角形的三邊爲a,b,c且a:b:c=5:4:3.

由三角形中大邊對大角可知：∠a爲最大的角。由余弦定理

cosa=0

所以∠a=90°.

再如△abc中，ab=2,ac=3,∠a=60度，求bc之長。

解由余弦定理可知

bc2=ab2+ac2-2ab×ac·cosa

=4+9-2×2×3×cos60

=13-12x0.5

=13-6

=7

所以bc=√7.(注：cos60=0.5,可以用計算器算)

以上兩個小例子簡單說明了餘弦定理的作用。

編輯本段其他

從餘弦定理和餘弦函數的性質可以看出，如果一個三角形兩邊的平方和等於第三邊的平方，那麼第三邊所對的角一定是直角，如果小於第三邊的平方，那麼第三邊所對的角是鈍角，如果大於第三邊的平方，那麼第三邊所對的角是銳角。即，利用餘弦定理，可以判斷三角形形狀。同時，還可以用餘弦定理求三角形邊長取值範圍。

解三角形時，除了用到餘弦定理外還常用正弦定理。

第四篇：餘弦定理證明過程

在△abc中，設bc＝a，ac＝b，ab＝c，試根據b，c，a來表示a。 分析：由於國中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題，所以應添加輔助線構造直角三角形，在直角三角形內通過邊角關係作進一步的轉化工作，故作cd垂直於ab於d，那麼在rt△bdc中，邊a可利用勾股定理用cｄ、ｄb表示，而cd可在rt△aｄc中利用邊角關係表示，db可利用ab－ad轉化爲ad，進而在rt△aｄc內求解。

解：過c作cd⊥ab，垂足爲d，則在rt△cｄb中，根據勾股定理可得： a2＝cｄ2＋bｄ2

∵在rt△aｄc中，cｄ2＝b2－aｄ2



又∵bｄ2＝（c－aｄ）2＝c2－2c·aｄ＋aｄ2

∴a2＝b2－aｄ2＋c2－2c·aｄ＋aｄ2＝b2＋c2

－2c·aｄ 又∵在rt△aｄc中，ad＝b·cosa ∴a2＝b2＋c2－2bccosa類似地可以證明b2＝a2＋c2－2accosb，c2＝a2＋b2－2abcosc

第五篇：餘弦定理證明

餘弦定理證明

在任意△abc中,作ad⊥bc.

∠c對邊爲c，∠b對邊爲b，∠a對邊爲a-->

bd=cosb*c，ad=sinb*c，dc=bc-bd=a-cosb*c

勾股定理可知：

ac²=ad²+dc²

b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²

b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb

b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²

b²=c²+a²-2ac*cosb

所以，cosb=(c²+a²-b²)/2ac

2

如右圖，在abc中，三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a爲原點，ac所在的直線爲x軸建立直角座標系，於是c點座標是(b，0)，由三角函數的定義得b點座標是(ccosa，csina).∴cb=(ccosa-b，csina).現將cb平移到起點爲原點a，則ad=cb.而|ad|=|cb|=a，∠dac=π-∠bca=π-c，根據三角函數的定義知d點座標是(acos(π-c)，asin(π-c))即d點座標是(-acosc，asinc),∴ad=(-acosc，asinc)而ad=cb∴(-acosc，asinc)=(ccosa-b，csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc，同理可證asina=bsinb，∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa，平方得：a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a，即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb，c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別爲a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別爲,mc,應用餘弦定理證明:

mb=(1/2)

mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

同理可得：

mb=

mc=

4

ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)

=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)

由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb

得，4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2，代入上述ma表達式：

ma=(1/2)√

=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)

證畢。