餘弦定理證明(精選多篇)
目錄
第一篇:餘弦定理證明過程第二篇:餘弦定理證明第三篇:餘弦定理證明過程第四篇:餘弦定理的證明方法第五篇:大學聯考考餘弦定理證明更多相關範文正文
第一篇:餘弦定理證明過程
在△abc中,設bc=a,ac=b,ab=c,試根據b,c,a來表示a。 分析:由於國中平面幾何所接觸的是解直角三角形問題,所以應添加輔助線構造直角三角形,在直角三角形內通過邊角關係作進一步的轉化工作,故作cd垂直於ab於d,那麼在rt△bdc中,邊a可利用勾股定理用cd、db表示,而cd可在rt△adc中利用邊角關係表示,db可利用ab-ad轉化爲ad,進而在rt△adc內求解。
解:過c作cd⊥ab,垂足爲d,則在rt△cdb中,根據勾股定理可得: a2=cd2+bd2
∵在rt△adc中,cd2=b2-ad2
又∵bd2=(c-ad)2=c2-2c·ad+ad2
∴a2=b2-ad2+c2-2c·ad+ad2=b2+c2
-2c·ad 又∵在rt△adc中,ad=b·cosa ∴a2=b2+c2-2bccosa類似地可以證明b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc
第二篇:餘弦定理證明
餘弦定理證明
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c對邊爲c,∠b對邊爲b,∠a對邊爲a-->
bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知:
ac²=ad²+dc²
b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²
b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb
b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²
b²=c²+a²-2ac*cosb
所以,cosb=(c²+a²-b²)/2ac
2
如右圖,在abc中,三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a爲原點,ac所在的直線爲x軸建立直角座標系,於是c點座標是(b,0),由三角函數的定義得b點座標是(ccosa,csina).∴cb=(ccosa-b,csina).現將cb平移到起點爲原點a,則ad=cb.而|ad|=|cb|=a,∠dac=π-∠bca=π-c,根據三角函數的定義知d點座標是(acos(π-c),asin(π-c))即d點座標是(-acosc,asinc),∴ad=(-acosc,asinc)而ad=cb∴(-acosc,asinc)=(ccosa-b,csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc,同理可證asina=bsinb,∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa,平方得:a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a,即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別爲a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別爲,mc,應用餘弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得:
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
第三篇:餘弦定理證明過程
餘弦定理證明過程
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
2
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c對邊爲c,∠b對邊爲b,∠a對邊爲a-->
bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知:
ac²=ad²+dc²
b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²
b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb
b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²
b²=c²+a²-2ac*cosb
所以,cosb=(c²+a²-b²)/2ac
2
如右圖,在abc中,三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a爲原點,ac所在的直線爲x軸建立直角座標系,於是c點座標是(b,0),由三角函數的定義得b點座標是(ccosa,csina).∴cb=(ccosa-b,csina).現將cb平移到起點爲原點a,則ad=cb.而|ad|=|cb|=a,∠dac=π-∠bca=π-c,根據三角函數的定義知d點座標是(acos(π-c),asin(π-c))即d點座標是(-acosc,asinc),∴ad=(-acosc,asinc)而ad=cb∴(-acosc,asinc)=(ccosa-b,csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc,同理可證asina=bsinb,∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa,平方得:a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a,即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別爲a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別爲,mc,應用餘弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述m(更多好範文請關注:)a表達式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得:
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
第四篇:餘弦定理的證明方法
餘弦定理的證明方法
在△abc中,ab=c、bc=a、ca=b
則c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
a^2=b^2+c^2-2bc*cosa
b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
下面在銳角△中證明第一個等式,在鈍角△中證明以此類推。
過a作ad⊥bc於d,則bd+cd=a
由勾股定理得:
c^2=(ad)^2+(bd)^2,(ad)^2=b^2-(cd)^2
所以c^2=(ad)^2-(cd)^2+b^2
=(a-cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2-2a*cd+(cd)^2-(cd)^2+b^2
=a^2+b^2-2a*cd
因爲cosc=cd/b
所以cd=b*cosc
所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosc
在任意△abc中,作ad⊥bc.
∠c對邊爲c,∠b對邊爲b,∠a對邊爲a-->
bd=cosb*c,ad=sinb*c,dc=bc-bd=a-cosb*c
勾股定理可知:
ac²=ad²+dc²
b²=(sinb*c)²+(a-cosb*c)²
b²=sin²b*c²+a²+cos²b*c²-2ac*cosb
b²=(sin²b+cos²b)*c²-2ac*cosb+a²
b²=c²+a²-2ac*cosb
所以,cosb=(c²+a²-b²)/2ac
2
如右圖,在abc中,三內角a、b、c所對的邊分別是a、b、c.以a爲原點,ac所在的直線爲x軸建立直角座標系,於是c點座標是(b,0),由三角函數的定義得b點座標是(ccosa,csina).∴cb=(ccosa-b,csina).現將cb平移到起點爲原點a,則ad=cb.而|ad|=|cb|=a,∠dac=π-∠bca=π-c,根據三角函數的定義知d點座標是(acos(π-c),asin(π-c))即d點座標是(-acosc,asinc),∴ad=(-acosc,asinc)而ad=cb∴(-acosc,asinc)=(ccosa-b,csina)∴asinc=csina…………①-acosc=ccosa-b……②由①得asina=csinc,同理可證asina=bsinb,∴asina=bsinb=csinc.由②得acosc=b-ccosa,平方得:a2cos2c=b2-2bccosa+c2cos2a,即a2-a2sin2c=b2-2bccosa+c2-c2sin2a.而由①可得a2sin2c=c2sin2a∴a2=b2+c2-2bccosa.同理可證b2=a2+c2-2accosb,c2=a2+b2-2abcosc.到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。3△abc的三邊分別爲a,b,c,邊bc,ca,ab上的中線分別爲,mc,應用餘弦定理證明:
mb=(1/2)
mc=(1/2)ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
同理可得:
mb=
mc=
4
ma=√(c^2+(a/2)^2-ac*cosb)
=(1/2)√(4c^2+a^2-4ac*cosb)
由b^2=a^2+c^2-2ac*cosb
得,4ac*cosb=2a^2+2c^2-2b^2,代入上述ma表達式:
ma=(1/2)√
=(1/2)√(2b^2+2c^2-a^2)
證畢。
第五篇:大學聯考考餘弦定理證明
從大學聯考考餘弦定理證明談起【題1】 敘述並證明勾股定理(1979年全國卷,四題). 【說明】 這道大題,在總分爲110分的考卷上,理科佔6分,文科佔9分.理科的評分標準是:(1)敘述勾股定理(2分);(2)證明勾股定理(4分).
【題2】 (1980·理科四題(滿分8分))寫出餘弦定理(只寫一個公式即可),並加以證明
【插話】 對這道題目,人們雖然不感到新鮮,但有一個期待,期待着標準答案中有“新鮮東西”出現.後來一看,非常“失望”,該題對餘弦定理的證明,依賴的仍然是勾股定理.
【題3】(2014年四川)
(文)(19)(本小題滿分12分)
;
2由推導兩角和的正弦公式
,求.(ⅰ)1證明兩角和的餘弦公式(ⅱ)已知
解:(1)①如圖,在執教座標系xoy內做單位圓o,並作出角α、β與-β,使角α的始邊爲ox,交⊙o於點p1,終邊交⊙o於p2;角β的始邊爲op2,終邊交⊙o於p3;角-β的始邊爲op1,終邊交⊙o於p4.
則p1(1,0),p2(cosα,sinα)
p3(cos(α+β),sin(α+β)),p4(cos(-β),sin(-β))
由p1p3=p2p4及兩點間的距離公式,得
[cos(α+β)-1]+sin(α+β)=[cos(-β)-cosα]+[sin(-β)-sinα]
展開並整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.?②由①易得cos(
sin(α+β)=cos[
=cos(-(α+β)]=cos[(-α)+(-β)] -α)=sinα,sin(-α)=cosα 2222-α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)
=sinαcosβ+cosαsinβ??????????????6分
(2)∵α∈(π,),cosα=-
∴sinα=-
∵β∈(,π),tanβ=-
∴cosβ=-,sinβ=
cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ
=(-)×(-)-(-
)× = (理)(19)(本小題滿分12分)
(ⅰ)1證明兩角和的餘弦公式
2由推導兩角和的正弦公式
,且,求cosc. ; . (ⅱ)已知△abc的面積
解:(1)①如圖,在執教座標系xoy內做單位圓o,並作出角α、β與-β,使角α的始邊爲ox,
交⊙o於點p1,終邊交⊙o於p2;角β的始邊爲op2,終邊交⊙o於p3;角-β的始邊爲op1,終邊交⊙o於p4.
則p1(1,0),p2(cosα,sinα)p3(cos(α+β),sin(α+β)),p4(cos(-β),sin(-β))
由p1p3=p2p4及兩點間的距離公式,得
[cos(α+β)-1]2+sin2(α+β)=[cos(-β)-cosα]2+[sin(-β)-sinα]2
展開並整理得:2-2cos(α+β)=2-2(cosαcosβ-sinαsinβ)
∴cos(α+β)=cosαcosβ-sinαsinβ.????????4分
②由①易得cos(
sin(α+β)=cos[
=cos(-α)=sinα,sin(-(α+β)]=cos[(-α)=cosα -α)+(-β)] -α)cos(-β)-sin(-α)sin(-β)
=sinαcosβ+cosαsinβ??????????????6分
(2)由題意,設△abc的角b、c的對邊分別爲b、c
則s=bcsina=
=bccosa=3>0
∴a∈(0,
2 ),cosa=3sina 2又sina+cosa=1,∴sina=,cosa=
由題意,cosb=,得sinb
=
∴cos(a+b)=cosacosb-sinasinb= 故cosc=cos[π-(a+b)]=-cos(a+b)=-
【題4】(2014年陝西) ??????????12分
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