勾股定理的名人故事（精品多篇）

勾股定理 篇一

勾股定理

勾股定理是一個基本的幾何定理，指直角三角形的兩條直角邊的平方和等於斜邊的平方。中國古代稱直角三角形爲勾股形，並且直角邊中較小者爲勾，另一長直角邊爲股，斜邊爲弦，所以稱這個定理爲勾股定理，也有人稱商高定理。勾股定理現約有500種證明方法，是數學定理中證明方法最多的定理之一。勾股定理是人類早期發現並證明的重要數學定理之一，用代數思想解決幾何問題的最重要的工具之一，也是數形結合的紐帶之一。在中國，商朝時期的商高提出了“勾三股四玄五”的勾股定理的特例。在西方，最早提出並證明此定理的爲公元前6世紀古希臘的畢達哥拉斯學派，他用演繹法證明了直角三角形斜邊平方等於兩直角邊平方之和。[1]

中文名 勾股定理 外文名 Pythagoras theorem 別

稱 商高定理、畢達哥拉斯定理、百牛定理 表達式 a²+b²=c² 提出者畢達哥拉斯

趙爽

商高 提出時間 公元前551年 應用學科 幾何學 適用領域範圍 數學，幾何學 適用領域範圍 數學，幾何學 中國記載著作 《周髀算經》《九章算術》 外國記載著作 《幾何原本》 限制條件 直角三角形 在平面上的一個直角三角形中，兩個直角邊邊長的平方加起來等於斜邊長的平方。如果設直角三角形的兩條直角邊長度分別是

和，斜邊長度是，那麼可以用數學語言表達： 勾股定理是餘弦定理中的一個特例。

推導 趙爽弦圖

《九章算術》中，趙爽描述此圖：“勾股各自乘，並之爲玄實。開方除之，即玄。案玄圖有可以勾股相乘爲朱實二，倍之爲朱實四。以勾股之差自相乘爲中黃實。加差實亦成玄實。以差實減玄實，半其餘。以差爲從法，開方除之，復得勾矣。加差於勾即股。凡並勾股之實，即成玄實。或矩於內，或方於外。形詭而量均，體殊而數齊。勾實之矩以股玄差爲廣，股玄併爲袤。而股實方其裏。減矩勾之實於玄實，開其餘即股。倍股在兩邊爲從法，開矩勾之角即股玄差。加股爲玄。以差除勾實得股玄並。以併除勾實亦得股玄差。令並自乘與勾實爲實。倍併爲法。所得亦玄。勾實減並自乘，如法爲股。股實之矩以勾玄差爲廣，勾玄併爲袤。而勾實方其裏，減矩股之實於玄實，開其餘即勾。倍勾在兩邊爲從法，開矩股之角，即勾玄差。加勾爲玄。以差除股實得勾玄並。以併除股實亦得勾玄差。令並自乘與股實爲實。倍併爲法。所得亦玄。股實減並自乘如法爲勾，兩差相乘倍而開之，所得以股玄差增之爲勾。以勾玄差增之爲股。兩差增之爲玄。倍玄

實列勾股差實，見並實者，以圖考之，倍玄實滿外大方而多黃實。黃實之多，即勾股差實。以差實減之，開其餘，得外大方。大方之面，即勾股並也。令並自乘，倍玄實乃減之，開其餘，得中黃方。黃方之面，即勾股差。以差減並而半之爲勾。加差於並而半之爲股。其倍玄爲廣袤合。令勾股見者自乘爲其實。四實以減之，開其餘，所得爲差。以差減合半其餘爲廣。減廣於玄即所求也。”

用現代的數學語言描述就是黃實的面積等於大正方形的面積減去四個朱實的面積。2002年第24屆國際數學家大會（ICM）的會標即爲該圖。

加菲爾德證法

加菲爾德在證出此結論5年後，成爲美國第20任總統，所以人們又稱其爲“總統證法”。在直角梯形ABDE中，∠AEC=∠CDB=90°，△AEC≌△CDB，，∵

加菲爾德證法變式

該證明爲加菲爾德證法的變式。

如果將大正方形邊長爲c的小正方形沿對角線切開，則回到了加菲爾德證 法。相反，若將上圖中兩個梯形拼在一起，就變爲了此證明方法。

大正方形的面積等於中間正方形的面積加上四個三角形的面積，即:

青朱出入圖

青朱出入圖，是東漢末年數學家劉徽根據“割補術”運用數形關係證明勾股定理的幾何證明法，特色鮮明、通俗易懂。劉徽描述此圖，“勾自乘爲朱方，股自乘爲青方，令出入相補，各從其類，因就其餘不動也，合成弦方之冪。開方除之，即弦也。”其大意爲，一個任意直角三角形，以勾寬作紅色正方形即朱方，以股長作青色正方形即青方。將朱方、青方兩個正方形對齊底邊排列，再以盈補虛，分割線內不動，線外則“各從其類”，以合成弦的正方形即弦方，弦方開方即爲弦長。

歐幾里得證法

在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出勾股定理的以下證明。設△ABC爲一直角三角形，其中A爲直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分爲二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。

在這個定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：

如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。

任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。歐幾里得證法 證明的思路爲：從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分爲二，把上方的兩個正方形，通過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。

設△ABC爲一直角三角形，其直角爲∠CAB。

其邊爲BC、AB和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點A之BD、CE的平行線，分別垂直BC和DE於K、L。分別連接CF、AD，形成△BCF、△BDA。

∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A和G共線，同理可證B、A和H共線。∠CBD和∠FBA都是直角，所以∠ABD=∠FBC。因爲AB=FB，BD=BC，所以△ABD≌△FBC。

因爲A與K和L在同一直線上，所以四邊形BDLK=2△ABD。因爲C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF=2△FBC。因此四邊形BDLK=BAGF=AB²。

同理可證，四邊形CKLE=ACIH=AC²。

把這兩個結果相加，AB²+AC²=BD×BK+KL×KC 由於BD=KL，BD×BK+KL×KC=BD(BK+KC)=BD×BC 由於CBDE是個正方形，因此AB²+AC²=BC²，即a²+b²=c²。此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的。由於這個定理的證明依賴於平行公理，而且從這個定理可以推出平行公理，很多人質疑平行公理是這個定理的必要條件，一直到十九世紀嘗試否定第五公理的非歐幾何出現。推廣編輯 勾股數組

勾股數組是滿足勾股定理 例如 就是一組勾股數組。

。，的正整數組，其中的

稱爲勾股數。任意一組勾股數

可以表示爲如下形式：

，其中

均爲正整數，且

定理用途

已知直角三角形兩邊求解第三邊，或者已知三角形的三邊長度，證明該三角形爲直角三角形或用來證明該三角形內兩邊垂直。利用勾股定理求線段長度這是勾股定理的最基本運用。[4] 簡史編輯 中國

公元前十一世紀，周朝數學家商高就提出“勾

三、股

四、弦五”。《周髀算經》中記錄着商高同周公的一段對話。商高說：“„故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”意爲：當直角三角形的兩條直角邊分別爲3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則爲5。以後人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”，根據該典故稱勾股定理爲商高定理。

公元三世紀，三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細註釋，記錄於《九章算術》中“勾股各自乘，並而開方除之，即弦”，趙爽創制了一幅“勾股圓方圖”，用形數結合得到方法，給出了勾股定理的詳細證明。後劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。在中國清朝末年，數學家華蘅芳提出了二十多種對於勾股定理證法。外國

遠在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應用勾股定理，他們還知道許多勾股數組。美國哥倫比亞大學圖書館內收藏着一塊編號爲“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數。古埃及人在建築宏偉的金字塔和測量尼羅河氾濫後的土地時，也應用過勾股定理。公元前六世紀，希臘數學家畢達哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習慣地稱這個定理爲畢達哥拉斯定理。

公元前4世紀，希臘數學家歐幾里得在《幾何原本》（第Ⅰ卷，命題47）中給出一個證明。1876年4月1日，加菲爾德在《新英格蘭教育日誌》上發表了他對勾股定理的一個證法。1940年《畢達哥拉斯命題》出版，收集了367種不同的證法。意義編輯

1．勾股定理的證明是論證幾何的發端；

2．勾股定理是歷史上第一個把數與形聯繫起來的定理，即它是第一個把幾何與代數聯繫起來的定理；

3．勾股定理導致了無理數的發現，引起第一次數學危機，大大加深了人們對數的理解；

4．勾股定理是歷史上第—個給出了完全解答的不定方程，它引出了費馬大定理；

5．勾股定理是歐氏幾何的基礎定理，並有巨大的實用價值．這條定理不僅在幾何學中是一顆光彩奪目的明珠，被譽爲“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他科學領域也有着廣泛的應用．1971年5月15日，尼加拉瓜發行了一套題爲“改變世界面貌的十個數學公式”郵票，這十個數學公式由著名數學家選出的，勾股定理是其中之首。

勾股定理 篇二

勾股定理

一、教材分析

勾股定理在國中數學中扮演着很重要的角色。在以後的學習中會經常用到有關勾股定理的知識，本節課我們主要來探究勾股定理的由來。

二、教學目標

1．經歷探究勾股定理的過程，發展合情推理的能力，體會數形結合的思想。2．能說出勾股定理並能運用勾股定理解決簡單的問題。

3．經歷多種拼圖方法驗證勾股定理的過程，發展用數學的眼光觀察現實世界和有條理地思考與表達的能力，感受勾股定理的文化價值。

4、掌握勾股定理，能夠熟練地運用勾股定理由直角三角形的任意兩邊求得第三邊．能根據一已知邊和另兩未知邊的數量關係通過方程求未知兩邊。

三、教學重點難點

教學重點：勾股定理的推導的過程內容勾股定理的具體內容 教學難點：勾股定理的內容以及應用

四、教學方法

本節的教學分爲五步：情境引入——定理探索——定理應用——鞏固練習——課堂拓展的模式展開。教師引導學生從已有的知識和生活經驗出發，提出問題並與學生共同探索、討論。讓學生經歷知識的形成與應用的過程，從而更好地理解勾股定理的意義。

五、教具學具

小黑板

正方形和直角三角形的模型若干

六、教學過程

（一）創設情境，設疑激思 如圖，由4個邊長爲a,b,c的直角三角形拼成一個正方形，中間有一個正方形的開口（圖中陰影部分），試用不同的方法計算這個陰影部分的面積，你發現了什麼？

看到這個題目，學

生感到十分的熟悉，這是

七年級下冊學習因式分

解的時候見過的題目。學

生們分組討論，課堂氣氛十分的活躍，不久得出了

答案。

分析：因爲整個圖形是一個邊長爲c 的正方形

所以

S全＝c2 也可以分割求這個圖形的面積

S全＝4S直角△+S陰

＝4×ab+（a-b）2

＝2ab+a2-2ab+b2

= a2+b2

於是有a2+b2＝c2

得到了以上一個結論，此時不急於總結結論從而引出勾股定理，因爲僅僅一個題目不足以說明問題。

於是提出“類似於上面的拼圖問題，你們還記得多少。同學們於是分組討論，另一個類似的拼圖問題。如圖，遊4個邊長分別a,b,c的直角三角形拼成一個正方形用不同的方法，計算這個正方形的面積，你發現了什麼？

S2ab+ c2

所以a+2ab+b＝2ab+ c2

所以a2+b2＝c2

【設計意圖】本段採用小組合作學習方式進行，學生按教師事先分好的小組以小組爲單位進行合作學習，每個小組選擇一種證法進行研究。每個小組有4名成員，位置相鄰，便於所有的人都能參與到明確的集體任務中。小組成員之間相互依賴、相互溝通、相互合作，共同負責，從而達到共同的目標。在集體學習的基礎上，每組推選一位同學代表本組進行學習交流，主要時將本組證法的思路講清，同時同組同學可以補充或糾錯。其他小組此時則通過聆聽對他組的證法進行學習。

（二）自己總結，得出結論

引導學生思考問題：是否一般的直角三角形都具有上述特徵呢？

於是我們得到結論：直角三角形兩直角邊的平方和等於斜邊的平方。

如圖：我們有 a2+b2＝c2

2分析：因爲S全＝（a+b）2＝a2+2ab+b2

全

＝4×ab+ c2＝ 教師在此基礎上介紹“勾，股，弦”的含義，進行點題，結合直角三角形，讓學生從中體驗勾股定理蘊含的深刻的數形結合思想。

【設計意圖】八年級學生能獨立思考，有強烈的探究願望，並能在探索的過程中形成自己的觀點，能在交流意見的過程中逐漸完善自己的觀點。故本段設計遵循“構建主義”的學習理念，以學生爲中心，強調學生對知識的主動探索、主動發現和對所學知識意義的主動建構。教師只是給學生提供一定的學習“情景”，在此“情景”中，學生通過“協作”、“會話”和“意義建構”進行有效學習。

（三）勾股定理簡單的應用

1、例題精講

如圖Rt△ABC

∠ACB＝90。以三角形三邊向外作三個正方形。面積分別爲S1,S2,S3,試探索S1,S2,S

3三者之間的關係

分析：因爲Rt△ABC中，∠ACB=900 所以a2+b2=c2（勾股定理）因爲S1=b2,S2=a2,S3=c2 所以S1＋S2＝S3

2、鞏固練習（1）求下列直角三角形中未知邊的長

（2）求下列圖中未知數x,y,z的值

3、拓展與延伸

（1）一個直角三角形的兩條直角邊分別爲3和4，則另一

條

邊

是

（2）一個直角三角形的兩條邊分別爲3和4，則另一條邊是

（3）一個門框的尺寸如圖所示，一塊長3m，寬2.2m的薄木板能否從門框內通過？爲什麼？

（4）將梯子AC斜靠在牆上，BC長爲2.16米，梯子的長爲5.41米。求梯子上端A到牆的底端B的距離。（精確到0.01米）

【設計意圖】課堂從廣義上講是開放的，教師在授課時，不僅要傳授學生必要的知識，更要打開學生的思路，給學生提供更爲廣闊的空間，引領學生課後去探索，從而讓學生真正成爲學習的主人。在當今的網絡社會，學生尤其要善於在網上“淘金”，滿足自己學習的需要。網上學習必將成爲未來的最爲重要的學習方式。

七、課堂小結 這節課你有哪些收穫？你能談談你對這節課的感受嗎？

【設計意圖】一個好的小結，不只是對課堂內容的簡單回顧，還是對所用數學思想、方法的總結，學生通過自己的總結，不僅促進了對知識的理解，培養了數學表達能力和概括能力，而且通過歸納反思，能有效地把握知識的脈搏，找到知識之間的內在聯繫，這對於學生主動構建良好的認知結構大有裨益，也讓學生從中學會感悟數學。

八、課堂作業

書上第47頁習題2.1，2，3 【設計意圖】鞏固勾股定理，進一步體會定理與實際生活的聯繫。促進學生學知識，用知識的意識。新課程標準提倡課題學習（研究性學習），通過課題學習與研究更多地把數學與社會生活和其他學科知識聯繫起來，使學生進一步體會不同的數學知識以及數學與外界之間的聯繫，初步學習研究問題的方法，提高學生的實踐能力和創新意識。

九、教學反思

我認爲，本節課較爲成功之處在於以下幾個轉變：

1、教的轉變

本節課教師的角色從知識的傳授者轉變爲學生學習的組織者、引導者、合作者與共同研究者，在引導學生探索、發現結論後，利用習題加以鞏固，激發學生自覺探究數學問題，體驗發現的樂趣。

2、學的轉變

學生的角色從學會轉變爲會學。本節課學生不是停留在學會課本知識層 面，而是站在研究者的角度深入其境。

3、課堂氛圍的轉變

整節課以“流暢、開放、合作、‘隱’導”爲基本特徵，教師對學生的 思維減少干預，教學過程呈現一種比較流暢的特徵。整節課學生與學生，學生與教師之間以“對話”、“討論”爲出發點，以互助合作爲手段，解決問題爲目的，讓學生在寬鬆的環境中自主探索，獲得成功！

勾股定理 篇三

由“勾股定理”可知

M2—5班

鄭天麒

今天，我來和大家討論一下“勾股定理”這個問題。

首先，我來介紹一下“勾股定理”的發現者：古希臘的畢達哥拉斯和中國周朝時期的商高。

畢達哥拉斯：古希臘數學家、哲學家。無論是解說外在物質世界，還是描寫內在精神世界，都不能沒有數學！最早悟出萬事萬物背後都有數的法則在起作用的，是生活在2500年前的畢達哥拉斯。畢達哥拉斯出生在愛琴海中的薩摩斯島（今希臘東部小島），自幼聰明好學，曾在名師門下學習幾何學、自然科學和哲學。以後因爲嚮往東方的智慧，經過萬水千山來到巴比倫、印度和埃及，吸收了阿拉伯文明和印度文明。

商高：周朝數學家。數學成就據《周髀算經》記載，主要有三方面：勾股定理、測量術和分數運算。《周髀算經》中記載了這樣一件事——一次周公問商高：古時作天文測量和訂立曆法，天沒有臺階可以攀登上去，地又不能用尺寸去測量，請問數是怎樣得來的？商高回答說：數是根據圓和方的道理得來的，圓從方來，方又從矩來。矩是根據乘、除計算出來的。這裏的“矩”原是指包含直角的作圖工具。這說明了“勾股測量術”，即可用3∶4∶5的辦法來構成直角三角形。《周髀算經》並有“勾股各自乘，並而開方除之”的記載，說明當時已普遍使用了勾股定理。勾股定理是中國數學家的獨立發明，在中國早有記載。《周髀算經》還記載了矩的用途：“周公曰：大哉言數！請問用矩之道。商高曰：平矩以正繩，偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠，環矩以爲圓，合矩以爲方。”據此可知，當時善於用矩的商高已知道用相似關係的測量術。“環矩爲圓”，即直徑上的圓周角是直角的幾何定理，這比西方的發現要早好幾百年。

其次，我再來介紹一下“勾股定理”： 在我國，把直角三角形的兩直角邊的平方和等於斜邊的平方這一特性叫做勾股定理或勾股弦定理，又稱畢達哥拉斯定理或畢氏定理（Pythagoras Theorem）。數學公式中常寫作a＋b＝c（兩直角邊分別爲a.b，斜邊爲c）

“勾股定理”的來源：畢達哥拉斯樹是一個基本的幾何定理，傳統上認爲是由古希臘的畢達哥拉斯所證明。據說畢達哥拉斯證明了這個定理後，即斬了百頭牛作慶祝，因此又稱“百牛定理”。《周髀算經》記載了勾股定理的公式與證明，相傳是在商代由商高發現，故又有稱之爲商高定理；三國時代的趙爽對《周髀算經》內的勾股定理作出了詳細註釋，又給出了另外一個證明。法國和比利時稱爲驢橋定理，埃及稱爲埃及三角形。我國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。常用勾股數3，4，5；6，8，10；5，12，13；8，15，17。

畢達哥拉斯樹：畢達哥拉斯樹是由畢達哥拉斯根據勾股定理所畫出來的一個可以無限重複的圖形。又因爲重複數次後的形狀好似一棵樹，所以被稱爲畢達哥拉斯樹。直角三角形兩個直角邊平方的和等於斜邊的平方。兩個相鄰的小正方型面積的和等於相鄰的一個大正方形的面積。利用不等式a^2+b^2≥2ab可以證明下面的結論：三個正方形之間的三角形，其面積小於等於大正方形面積的四分之一，大於等於一個小正方形面積的二分之一。

畢達哥拉斯樹

所以說，發現“勾股定理”的確是數學界的一大傑出貢獻。最後，我還是要說明，世界上最早運用“勾股定理”的實際上是古巴比倫人，因爲：1945年，人們在研究古巴比倫人遺留下的一塊數學泥板時，驚訝的發現上面竟然刻有15組能夠成“勾股定理”的三邊數，其年代遠遠早於商高之前。

勾股定理 篇四

勾股定理

勾股定理，又稱“畢達哥拉斯定理”，是初等幾何中的一個基本定理。這個定理有十分悠久的歷史，兩千多年來，人們對勾股定理的證明頗感興趣，因爲這個定理太貼近人們的生活實際，以至於古往今來，上至帝王總統，下至平民百姓，都願意探討和研究它的證明。它是幾何學中一顆閃亮的明珠。

所謂勾股，就是古人把彎曲成一個直角三角形模樣的手臂，上臂（即直角三角形的底邊）稱爲“勾”，前臂（即直角三角形的高）稱爲“股”，所以稱之爲“勾股”。也許是因爲勾股定理十分實用，所以便反覆被人們論證。1940年出版過一本名爲《畢達哥拉斯命題》的勾股定理證明專輯。從勾股定理的發現到現在，大約3000年裏，勾股定理的證明方法多種多樣：有的簡潔明瞭，有的略微複雜，有的十分精彩……本文將會帶着大家一起來證明勾股定理並解決一些實際問題。

勾股定理、證明、解決實際問題 什麼是勾股定理？

又稱商高定理，而更普遍地則稱爲勾股定理。中國古代把直角三角形中較短的直角邊叫做勾，較長的直角邊叫做股，斜邊叫做弦。

勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱爲“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有着極爲廣泛的應用。正因爲這樣，世界上幾個文明古國都已發現並且進行了廣泛深入的研究，因此有許多名稱。

中國是發現和研究勾股定理最古老的國家之一。中國古代數學家稱直角三角形爲勾股形，較短的直角邊稱爲勾，另一直角邊稱爲股，斜邊稱爲弦，所以勾股定理也稱爲勾股弦定理。還有的國家稱勾股定理爲“畢達哥拉斯定理”。

在陳子後一二百年，希臘的著名數學家畢達哥拉斯發現了這個定理，因此世界上許多國家都稱勾股定理爲“畢達哥拉斯”定理。爲了

慶祝這一定理的發現，畢達哥拉斯學派殺了一百頭牛酬謝供奉神靈，因此這個定理又有人叫做“百牛定理”。

蔣銘祖定理：蔣銘祖是公元前十一世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，是奴隸社會時期。在中國古代大約是戰國時期西漢的數學著作《蔣銘祖算經》中記錄着商 高同周公的一段對話。蔣銘祖說：“…故折矩，勾廣三，股修四，經隅五。”蔣銘祖那段話的意思就是說：當直角三角形的兩條直角邊分別爲3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則爲5。以後人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。這就是著名的蔣銘祖定理，關於勾股定理的發現，《蔣銘祖算經》上說：“故禹之所以治天下者，此數之所由生也；”“此數”指的是“勾三股四弦五”。這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關係是在大禹治水時發現的。勾股定理的發現

相傳畢達哥拉斯在在一次散步中，偶然看見了地上由幾塊三角形瓷磚拼成的一個長方形瓷磚，如圖：

畢達哥拉斯靈機一動，用手在上面比劃了起來。大家看，以直角三角形各邊爲正方形的邊長，可拼出不同的正方形。以直角三角形斜邊爲正方形邊長，可拼出一個這樣的正方形：

其面積爲：直角三角形斜邊的平方

其中有四塊直角三角形。

以直角三角形底和高做正方形邊長，可拼出一個這樣的正方形： 其面積爲：底邊（高）的平方 其中有兩塊直角三角形。

因爲長方形瓷磚面積不變，所以所有第二種正方形面積和與所有第一種正方形面積和相等。因此畢達哥拉斯得出這樣一個結論：在一個直角三角形中，底邊的平方+高的平方=斜邊的平方。這就是勾股定理。

勾股定理的證明

勾股定理證明方法有很多，下面這種是一位名叫茄菲爾德的美國總統證明的：

勾股定理的運用

說了這麼多，也許有人會問“勾股定理有什麼用呢？”

其實，勾股定理對我們的生活幫助可不小！尤其是在測量、建築方面。下面，讓我們來解決一下實際問題吧！

有一座山，高500米。在山腳下，有兩個登山口，它們之間的距離是2400米。登山路沿着山的斜面修建（如圖），我們從左面的登山口上山，到山頂的距離是多少？

這道題看似與勾股定理沒什麼關係，但是仔細看圖，這是一個直角三角形！

已知直角三角形的斜邊是2400米，要求其中一條直角邊，我們應先做輔助線，將這座山分成兩半：

這樣，問題就轉化成了求這左邊這半直角三角形的斜邊。原底邊的長度是2400，現在是一半，即爲1200，另一條直角邊是500。根據勾股定理，底邊²+高²=斜邊²，計算時，把1200寫成12，把500寫成5，即12²+5²=25+144=169，多少的平方是169呢？答案是13，因爲前面的1200和500縮小了100倍，所以13要擴大100倍，即1300。所以登山路的長度是1300米。總結

這就是勾股定理的妙用，還不止這些。尤其是測量三個地方之間的距離時，勾股定理是我們的一大幫手。總之，勾股定理，是幾何學中一顆光彩奪目的明珠，被稱爲“幾何學的基石”，而且在高等數學和其他學科中也有着極爲廣泛的應用。它的主要意義有：

1、勾股定理是聯繫數學中最基本也是最原始的兩個對象——數與形的第一定理。

2、勾股定理導致不可通約量的發現，從而深刻揭示了數與量的區別，即所謂“無理數"與有理數的差別，這就是所謂第一次數學危機。

3、勾股定理開始把數學由計算與測量的技術轉變爲證明與推理的科學。

4、勾股定理中的公式是第一個不定方程，也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引導到各式各樣的不定方程，另一方面也爲不定方程的解題程序樹立了一個範式。

勾股定理故事 篇五

勾股定理故事

商高是公元前十一世紀的中國人。當時中國的朝代是西周，處於奴隸社會時期。在中國古代大約是西漢的數學著作《周髀算經》中記錄着商高同周公的一段對話。周公問商高：“天不可階而升，地不可將盡寸而度。”天的高度和地面的一些測量的數字是怎麼樣得到的呢？商高說：“故折矩以爲勾廣三，股修四，經隅五。”即我們常說的勾三股四弦五。什麼是“勾、股”呢？在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱爲“勾”，下半部分稱爲“股”。商高答話的意思是：當直角三角形的兩條直角邊分別爲3（短邊）和4（長邊）時，徑隅（就是弦）則爲5。以後人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”。由於勾股定理的內容最早見於商高的話中，所以人們就把這個定理叫做“商高定理”。

關於勾股定理的發現，《周髀算經》上說：“故禹之所以治天下者，此數之所由生也。”“此數”指的是“勾三股四弦五”，這句話的意思就是說：勾三股四弦五這種關係是在大禹治水時發現的。

歐洲人則稱這個定理爲畢達哥拉斯定理。畢達哥拉斯（PythAgorAs）是古希臘數學家，他是公元前五世紀的人。希臘另一位數學家歐幾里德（Euclid，是公元前三百年左右的人）在編著《幾何原本》時，認爲這個定理是畢達哥達斯最早發現的，因而國外一般稱之爲“畢達哥拉斯定理”。並且據說畢達哥拉斯在完成這一定理證明後欣喜若狂，而殺牛百隻以示慶賀。因此這一定理還又獲得了一個帶神祕色彩的稱號：“百牛定理”。所以他就把這個定理稱爲“畢達哥拉斯定理”，以後就流傳開了。

儘管希臘人稱勾股定理爲畢達哥拉斯定理或“百牛定理”，法國、比利時人又稱這個定理爲“驢橋定理”，但據推算，他們發現勾股定理的時間都比我國晚。我國是世界上最早發現勾股定理這一幾何寶藏的國家！