餘弦定理的三種證明方法通用多篇

垂心餘弦定理證明 篇一

用餘弦定理證明

用餘弦定理證明

由正弦定理得cSinB=bSinC

帶入給定的式子得

SinC=SinB(1+2CosA)①

C+A+B=π②

將②帶入①得

Sin(π-A-B)=SinB+2SinBcosA

SinAcosB+SinBcosA=SinB+2SinBcosA

SinAcosB=SinB+SinBcosA

Sin(A-B)=SinB

所以A-B=B或∏-(A-B)=B(舍)

所以A=2B

2

在△ABC中，AB=c、BC=a、CA=b

則c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

a^2=b^2+c^2-2bc*cosA

b^2=a^2+c^2-2ac*cosB

下面在銳角△中證明第一個等式，在鈍角△中證明以此類推。

過A作AD⊥BC於D，則BD+CD=a

由勾股定理得：

c^2=(AD)^2+(BD)^2，(AD)^2=b^2-(CD)^2

所以c^2=(AD)^2-(CD)^2+b^2

=(a-CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2-2a*CD +(CD)^2-(CD)^2+b^2

=a^2+b^2-2a*CD

因爲cosC=CD/b

所以CD=b*cosC

所以c^2=a^2+b^2-2ab*cosC

題目中^2表示平方。

2

談正、餘弦定理的多種證法

聊城二中 魏清泉

正、餘弦定理是解三角形強有力的工具，關於這兩個定理有好幾種不同的證明方法。人教A版教材《數學》(必修5)是用向量的數量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量並對向量的等式作同一向量的數量積，這種構思方法過於獨特，不易被初學者接受。本文試圖通過運用多種方法證明正、餘弦定理從而進一步理解正、餘弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數學中“數”與“形”的完美結合。

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則

(1)(正弦定理) = = ;

(2)(餘弦定理)

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

一、正弦定理的'證明

證法一：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

所以S△ABC=abcsin∠BCA

=bcsin∠CAB

=casin∠ABC.

證法二：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

證法三：如圖2，設CD=2r是△ABC的外接圓

的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設單位向量j與向量AC垂直。

因爲AB=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

因爲jAC=0，

jCB=| j ||CB| cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

二、餘弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知 ，求c。

過A作 ，

在Rt 中， ，

法二：

，即：

法三：

先證明如下等式：

⑴

證明：

故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

結合⑴、有

即 .

同理可證

.

三、正餘弦定理的統一證明

法一：證明：建立如下圖所示的直角座標系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC爲鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根據向量的運算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(1)由 = ：得

asin B=bsin A,即

= .

同理可得： = .

∴ = = .

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

法二：如圖5，

,設 軸、軸方向上的單位向量分別爲 、，將上式的兩邊分別與 、作數量積，可知

，

即

將(1)式改寫爲

化簡得b2-a2-c2=-2accos B.

即b2=a2+c2-2accos B.(4)

這裏(1)爲射影定理，(2)爲正弦定理，(4)爲餘弦定理。

參考文獻：

【1】孟燕平？抓住特徵，靈活轉換？數學通報20第11期。

【2】《中學生數學》(上)203月上

【3】《數學(必修5)》人民教育出版社

餘弦定理證明 篇二

垂心餘弦定理證明

如右圖，在ABC中，三內角A、B、C所對的邊分別是a、b、c . 以A爲原點，AC所在的直線爲x軸建立直角座標系，於是C點座標是(b，0)，由三角函數的定義得B點座標是(ccosA，csinA) . ∴CB = (ccosA-b，csinA).

現將CB平移到起點爲原點A，則AD = CB .

而 |AD| = |CB| = a ，∠DAC = π-∠BCA = π-C ，

根據三角函數的定義知D點座標是 (acos(π-C)，asin(π-C))

即 D點座標是(-acosC，asinC),

∴ AD = (-acosC，asinC) 而 AD = CB

∴ (-acosC，asinC) = (ccosA-b，csinA)

∴ asinC = csinA …………①

-acosC = ccosA-b ……②

由①得 asinA = csinC ，同理可證 asinA = bsinB ，

∴ asinA = bsinB = csinC .

由②得 acosC = b-ccosA ，平方得：

a2cos2C = b2-2bccosA + c2cos2A ，

即 a2-a2sin2C = b2-2bccosA + c2-c2sin2A .

而由①可得 a2sin2C = c2sin2A

∴ a2 = b2 + c2-2bccosA .

同理可證 b2 = a2 + c2-2accosB ，

c2 = a2 + b2-2abcosC .

到此正弦定理和餘弦定理證明完畢。

2

正、餘弦定理是解三角形強有力的工具，關於這兩個定理有好幾種不同的證明方法。人教A版教材《數學》(必修5)是用向量的數量積給出證明的，如是在證明正弦定理時用到作輔助單位向量並對向量的等式作同一向量的數量積，這種構思方法過於獨特，不易被初學者接受。本文試圖通過運用多種方法證明正、餘弦定理從而進一步理解正、餘弦定理，進一步體會向量的巧妙應用和數學中“數”與“形”的完美結合。

定理：在△ABC中，AB=c,AC=b,BC=a,則

(1)(正弦定理) = = ;

(2)(餘弦定理)

c2=a2+b2-2abcos C,

b2=a2+c2-2accos B,

a2=b2+c2-2bccos A.

一、正弦定理的證明

證法一：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的三條高。則有

AD=bsin∠BCA，

BE=csin∠CAB，

CF=asin∠ABC。

所以S△ABC=abcsin∠BCA

=bcsin∠CAB

=casin∠ABC.

證法二：如圖1，設AD、BE、CF分別是△ABC的3條高。則有

AD=bsin∠BCA=csin∠ABC，

BE=asin∠BCA=csin∠CAB。

證法三：如圖2，設CD=2r是△ABC的外接圓

的直徑，則∠DAC=90°，∠ABC=∠ADC。

證法四：如圖3，設單位向量j與向量AC垂直。

因爲AB=AC+CB，

所以jAB=j(AC+CB)=jAC+jCB.

因爲jAC=0，

jCB=| j ||CB|cos(90°-∠C)=asinC，

jAB=| j ||AB|cos(90°-∠A)=csinA .

二、餘弦定理的證明

法一：在△ABC中，已知 ，求c。

過A作 ，

在Rt 中， ，

法二：

，即：

法三：

先證明如下等式：

⑴

證明：

故⑴式成立，再由正弦定理變形，得

結合⑴、有

即 .

同理可證

.

三、正餘弦定理的統一證明

法一：證明：建立如下圖所示的直角座標系，則A=(0，0)、B=(c,0)，又由任意角三角函數的定義可得：C=(bcos A,bsin A)，以AB、BC爲鄰邊作平行四邊形ABCC′，則∠BAC′=π-∠B，

∴C′(acos(π-B),asin(π-B))=C′(-acos B,asin B).

根據向量的運算：

=(-acos B,asin B)，

= - =(bcos A-c,bsin A),

(1)由 = ：得

asin B=bsin A,即

= .

同理可得： = .

∴ = = .

(2)由 =(b-cos A-c)2+(bsin A)2=b2+c2-2bccos A，

又| |=a,

∴a2=b2+c2-2bccos A.

同理：

c2=a2+b2-2abcos C;

b2=a2+c2-2accos B.

法二：如圖5，

,設 軸、軸方向上的單位向量分別爲 、，將上式的兩邊分別與 、作數量積，可知

，

即

將(1)式改寫爲

化簡得b2-a2-c2=-2accos B.

即b2=a2+c2-2accos B.(4)

這裏(1)爲射影定理，(2)爲正弦定理，(4)爲餘弦定理。

用餘弦定理證明 篇三

三角形餘弦定理的公式：

對於邊長爲a、b、c而相應角爲A、B、C的三角形，有：

a2=b2+c2-bc·cosA

b2=a2+c2-ac·cosB

c2=a2+b2-ab·cosC

也可表示爲：

cosC=(a2+b2-c2)/ab

cosB=(a2+c2-b2)/ac

cosA=(c2+b2-a2)/bc

這個定理也可以通過把三角形分爲兩個直角三角形來證明。

如果這個角不是兩條邊的夾角，那麼三角形可能不是唯一的`(邊-邊-角)。要小心餘弦定理的這種歧義情況。

三角形餘弦定理的證明：

平面向量證法(覺得這個方法不是很好，平面的向量的公式a·b=|a||b|Cosθ本來還是由余弦定理得出來的，怎麼又能反過來證明餘弦定理)∵如圖，有a+b=c(平行四邊形定則：兩個鄰邊之間的對角線代表兩個鄰邊大小)

∴c·c=(a+b)·(a+b)

∴c2=a·a+2a·b+b·b∴c2=a2+b2+2|a||b|Cos(π-θ)

(以上粗體字符表示向量)

又∵Cos(π-θ)=-Cosθ

∴c2=a2+b2-2|a||b|Cosθ(注意：這裏用到了三角函數公式)

再拆開，得c2=a2+b2-2abcosC

即cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b

同理可證其他，而下面的cosC=(c2-b2-a2)/2ab就是將cosC移到左邊表示一下。

平面幾何證法

在任意△ABC中

做AD⊥BC.

∠C所對的邊爲c，∠B所對的邊爲b，∠A所對的邊爲a

則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c

根據勾股定理可得：

AC2=AD2+DC2

b2=(sinBc)2+(a-cosBc)2

b2=(sinB*c)2+a2-2accosB+(cosB)2c2

b2=(sinB2+cosB2)c2-2accosB+a2

b2=c2+a2-2accosB

cosB=(c2+a2-b2)/2ac