切比雪夫不等式證明(精選多篇)

第一篇：切比雪夫不等式證明

切比雪夫不等式證明

一、

試利用切比雪夫不等式證明：能以大小0.97的概率斷言，將一枚均勻硬幣連續拋1000次，其出現正面的次數在400到600之間。

分析:將一枚均勻硬幣連續拋1000次可看成是1000重貝努利試驗,因此

1000次試驗中出現正面h的次數服從二項分佈.

解:設x表示1000次試驗中出現正面h的次數,則x是一個隨機變量,且

~xb(1000,1/2).因此

500

2

1

1000=×==npex,

250)

2

答題完畢，祝你開心!

1

1(

2

1

1000)1(=××==pnpdx,

而所求的概率爲

}500600500400{}600400{<<=<}100100{<<=exxp

}100{<=exxp

975.0

100

1

2

=≥

dx

.

二、

切比雪夫(chebyshev)不等式

對於任一隨機變量x,若ex與dx均存在,則對任意ε>0,

恆有p{|x-ex|>=ε}<=dx/ε^2或p{|x-ex|<ε}>=1-dx/ε^2

切比雪夫不等式說明，dx越小，則p{|x-ex|>=ε}

越小，p{|x-ex|<ε}越大，也就是說，隨機變量x取值基本上集中在ex附近，這進一步說明了方差的意義。

同時當ex和dx已知時，切比雪夫不等式給出了概率p{|x-ex|>=ε}的一個上界，該上界並不涉及隨機變量x的具體概率分佈，而只與其方差dx和ε有關，因此，切比雪夫不等式在理論和實際中都有相當廣泛的應用。需要指出的是，雖然切比雪夫不等式應用廣泛，但在一個具體問題中，由它給出的概率上界通常比較保守。

切比雪夫不等式是指在任何數據集中，與平均數超過k倍標準差的數據佔的比例至多是1/k^2。

在概率論中，切比雪夫不等式顯示了隨機變數的「幾乎所有」值都會「接近」平均。這個不等式以數量化這方式來描述，究竟「幾乎所有」是多少，「接近」又有多接近：

與平均相差2個標準差的值，數目不多於1/4

與平均相差3個標準差的值，數目不多於1/9

與平均相差4個標準差的值，數目不多於1/16

……

與平均相差k個標準差的值，數目不多於1/k^2

舉例說，若一班有36個學生，而在一次考試中，平均分是80分，標準差是10分，我們便可得出結論：少於50分(與平均相差3個標準差以上)的人，數目不多於4個(=36*1/9)。

設(x,σ,μ)爲一測度空間，f爲定義在x上的廣義實值可測函數。對於任意實數t>0，

一般而言，若g是非負廣義實值可測函數，在f的定義域非降，則有

上面的陳述，可透過以|f|取代f，再取如下定義而得：

概率論說法

設x爲隨機變數，期望值爲μ，方差爲σ2。對於任何實數k>0，

改進

一般而言，切比雪夫不等式給出的上界已無法改進。考慮下面例子：

這個分佈的標準差σ=1/k，μ=0。

當只求其中一邊的值的時候，有cantelli不等式：

證明

定義，設爲集的指標函數，有

又可從馬爾可夫不等式直接證明：馬氏不等式說明對任意隨機變數y和正數a有pr(|y|leopeatorname{e}(|y|)/a。取y=(x?μ)2及a=(kσ)2。

亦可從概率論的原理和定義開始證明。

第二篇：切比雪夫不等式的證明(離散型隨機變量)

設隨機變量x有數學期望?及方差?，則對任何正數?，下列不等式成立 2

?2

p?x?e(x)????2 ?

證明：設x是離散型隨機變量，則事件x?e(x)??表示隨機變量x取得一切滿足不等式xi?e(x)??的可能值xi。設pi表示事件x?xi的概率，按概率加法定理得

p?x?e(x)????

xi?e(x)???pi

這裏和式是對一切滿足不等式xi?e(x)??的xi求和。由於xi?e(x)??，即?xi?e(x)?2??2xi?e(x)??，所以有2?2?1。

2?xi?e(x)?又因爲上面和式中的每一項都是正數，如果分別乘以?2，則和式的值將增大。

於是得到

p?x?e(x)????

xi?e(x)???pi?xi?e(x)????xi?e(x)??22pi?1

?2xi?e(x)????xi?e(x)?2pi

因爲和式中的每一項都是非負數，所以如果擴大求和範圍至隨機變量x的一切可能值xi求和，則只能增大和式的值。因此

p?x?e(x)????1

?2??x?e(x)?i

i2pi

上式和式是對x的一切可能值xi求和，也就是方差的表達式。所以，

?2

p?x?e(x)????2 ?

第三篇：經典不等式證明-柯西不等式-排序不等式-切比雪夫不等式-均值不等式

mathwang

幾個經典不等式的關係

一 幾個經典不等式

（1）均值不等式

設a1,a2,?an?0是實數

a?a???a12n ???

111n?+??a1a2an

其中ai?0,i?1,2,?n.當且僅當a1?a2???an時，等號成立.

n

（2）柯西不等式

設a1,a2,?an,b1,b2,?bn是實數，則

?a

21

22?a2???an??b12?b22???bn2???a1b1?a2b2???anbn?

2

當且僅當bi?0(i?1,2,?,n)或存在實數k，使得ai?kbi(i?1,2,?,n)時，等號成立.

（3）排序不等式

設a1?a2???an，b1?b2???bn爲兩個數組，c1，c2，?，cn是b1，b2,?，bn的任一排列，則

a1b1?a2b2???anbn?a1c1?a2c2???ancn?a1bn?a2bn?1???anb1 當且僅當a1?a2???an或b1?b2???bn時，等號成立.

（4）切比曉夫不等式

對於兩個數組：a1?a2???an，b1?b2???bn，有

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?a1bn?a2bn?1???anb1

??????

nnnn????

當且僅當a1?a2???an或b1?b2???bn時，等號成立.

二 相關證明

（1）用排序不等式證明切比曉夫不等式 證明：由

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?

?????

nnn????

?n?a1b1?a2b2???anbn???a1?a2???an??b1?b2???bn?

而

?a1?a2???an??b1?b2???bn??a1b1?a2b2???anbn?a1b2?a2b3???anb1?a1b3?a2b4???anb2?a1b4?a2b5???anb3??

?a1bn?1?a2bn???anbn?2

?a1bn?a2b1???anbn?1

根據“順序和?亂序和”（在n?1個部分同時使用），可得

n?a1b1?a2b2???anbn???a1?a2???an??b1?b2???bn?

即得

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?

?????

nnn????

同理，根據“亂序和?反序和”，可得

?a1?a2???an??b1?b2???bn?a1bn?a2bn?1???anb1

?????

nnn????

綜合即證

（2）用排序不等式證明“幾何—算數平均不等式”

?證明：構造兩個數列：

a1?a2???an

n

aa?aa1aa

,x2?122,?xn?12nn?1 ccc

1c1c21cn

y1??,y2??,?yn???1

x1a1x2a1a2xna1a2?an

x1?

其中c?

.因爲兩個數列中相應項互爲倒數，故無論大小如何，乘積的和：．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

x1y1?x2y2??xnyn

總是兩數組的反序和.於是由“亂序和?反序和”，總有 ．．．．．．．．．

x1yn?x2y1??xnyn?1?x1y1?x2y2??xnyn

於是

aa1a2

????n?1?1???1 ccc

即

a1?a2???an

?n

c

即證

a1?a2???an

?c?n

a1?a2???an（3）用切比曉夫不等式證明“算數—開方平均不等式”

：?

n證明：不妨設a1?a2???an，

222

a1?a2???an?a1?a2???an??a1?a2???an?a1?a2???an

. ???????

nnnn????

由切比曉夫不等式，右邊不等式顯然成立.即證. （4）用切比曉夫不等式證明“調和—算數平均不等式”

n?+??a1a2an

?

a1?a2???an

n

證明：

n111?+??a1a2an

?

a1?a2???an

n

1?11

?+??a1a2an?a1?a2???an??????

nn???

??

111?

a??a????a?12n?a1a2an

??1?.

n?

??

不妨設a1?a2???an，則

111????，由切比曉夫不等式，上式成立.即證. anan?1a1

（5）用均值不等式和切比曉夫不等式證明柯西不等式

證明：不妨設a1?a2???an，b1?b2???bn 由切比曉夫不等式，有

a1b1?a2b2???anbn?a1?a2???an??b1?b2???bn?

?????.

nnn????

由均值不等式，有

a1?a2???an?

nb1?b2???bn?

n所以

a1b1?a2b2???anbn

?

n

兩邊平方，即得?a1b1?a2b2???anbn??a1?a2???an

b

22?b2???bn.即證.

（6）補充“調和—幾何平均不等式”的證明

111

????

a?a2???ananaa21

證明

?1中的ai換成.

?1

na

inn

?兩邊取倒數，即得

?+??a1a2an

第四篇：切比雪夫不等式及其應用(摘要)

天津理工大學2014屆本科畢業論文

切比雪夫不等式及其應用

摘要

切比雪夫不等式是概率論中重要的不等式之一。尤其在分佈未知時，估計某些事件的概率的上下界時，常用到切比雪夫不等式。另外，大數定律是概率論極限理論的基礎，而切比雪夫不等式又是證明大數定律的重要途徑。如今，在切比雪夫不等式的基礎上發展起來的一系列不等式都是研究中心極限定理的有力工具。作爲一個理論工具，切比雪夫不等式的地位是很高的。

本文首先介紹了切比雪夫不等式的一些基本理論，引出其概率形式，用現代概率方法證明了切比雪夫不等式並給出了其等號成立的充要條件。其次，從三大方面闡述了其在概率論中的應用，並且給出了切比雪夫大數定律和伯努利大數定律的證明。在充分了解切比雪夫不等式後，最後探索了其在生活中的應用，並且用切比雪夫不等式評價了irr的概率風險分析。

關鍵詞:切比雪夫不等式大數定律irr

the chebyster’s inequality and its applications

abstract

in probability theory, the chebyshev’s inequality is one of the important inequalities. in particular the distribution is unknown, the chebyshev’s inequality is usually used when estimating the boundary from above or below of probability. in addition, the law of large numbers is the basis of the limit theory of probability. the chebyshev’s inequality is an important way to prove it. now, a series of inequalities that are developed on the basis of the chebyshev’s inequality are a powerful tool for the central limit theorem. as a theoretical tool, its status is very high.

first, this article introduces some basic theory of the chebyshev’s inequality, it raises the chebyshev’s inequality’s form of probability and makes a prove for the chebyshev’s inequality with the method of modern probability. furthermore, it gives the necessary and sufficient condition of the establishment of the equal sign.

天津理工大學2014屆本科畢業論文

secondly, we introduces its five application in probability theory and gives theprove of the chebyshev and bernoulli law of large numbers. after the full understanding of the chebyshev’s inequality, finally, we explore its application in the life and give the probabilistic risk assessment of the irr with the chebyshev’s inequality.

key words：chebyshev’s inequalitylaw of large numbersirr

第五篇：應用切比雪夫

應用切比雪夫不等式解題

切比雪夫不等式是解決不等式問題的強力武器之一.本文對該不等式及其應用進行簡單的介紹.

一、切比雪夫不等式及其推論

1?ai?bi n

1 ②若a1?a2?????an,b1?b2?????bn.則有?aibi??ai?bi（切比雪夫不等式） n①若a1?a2?????an,b1?b2?????bn.則有?aibi?

常見的方法是運用排序不等式，但最簡單的證法是通過恆等變形.

證明1：①式左邊爲順序和，記爲s，則

s?a1b1?a2b2?????anbn,s?a1b2?a2b3?????anb1,

s?a1b3?a2b4?????anb2,??????,s?a1bn?a2b1?????anbn?1.將上面n個式子相加，並按列求和即得結論. ②證明同上（左邊反序和不等號反向即可）.

證明2：

推論1設xi?r?(i?1,2,???,n)，實數p,q均不爲零.則

⑴當p,q同號時，?x

i?1

nnp?qi1npnq??xi??xi ni?1i?11npnq??xi??xi. ni?1i?1⑵當p,q異號時，?xi?1p?qi

該推論直接應用切比雪夫不等式即證.

推論2設xi?r?(i?1,2,???,n)，

ns則x?1,r?s?0.x?x?i?i. ?iri?1i?1i?1nnn1nnn1nr?sns1r?snss證明：事實上，?xi??xi?xi??n(?xi)??xi??xi ni?1ni?1i?1i?1i?1i?1r

推論3設a1,a2,???,an,b1,b2,???,bn?r且a1?a2?????an,b1?b2?????bn 或a1?a2?????an,b1?b2?????bn，mi?r?(i?1,2,???,n)

則?m??mab??ma??mb iiiiiiii

i?1i?1i?1i?1nnnn

1nn

證明：事實上，?mi??miaibi??miai??mibi???mimj(ai?aj)(bi?bj)(好 範文網：)?0. 2i?1j?1i?1i?1i?1i?1

推論3是切比雪夫不等式的加權形式.顯然，當m1?m2?????mn時，就是切比雪夫不等式. nnnn

注意：切比雪夫與推論3等號成立的條件均爲a1?a2?????an,b1?b2?????bn中至少一組成立.

二、切比雪夫不等式的應用

1、構造兩組數證明不等式.此類問題最關鍵、也是最難的步驟就是構造，選擇兩組數時往往需要很強的技巧.

例1、已知0?a?b?c?d?e,例2、設xi?r?(i?1,2,???,n)，

n

n

?(n?1)i?1

ad?cd?cb?be?ea?.求證：. a?1?5

?x

i?1

n

i

?1

求證：

i?1

例3、設xi?r?(i?1,2,???,n)，k?1.

n

1n1nxik?1

求證：?（2014，女子數學奧林匹克） xi??k???1?xx1?xi?1i?1ii?1ii?1i

n

2、去分母.能用切比雪夫不等式去分母的分式不等式，往往當變量排序後，分式的值也可以排序.一般的，當分母的值與分式的值都能排序時，可考慮用這種方法.

ak3

?（第四屆中國東南） 例4、設a,b,c?0,abc?1.求證：對整數k(k?2),?

b?c2

例5、設a,b,c?0,a?b?c?1.求證：

?

1bc?a?

1a

?

27

（2014，塞爾維亞） 31

例6、a,b,c?0，

?a?b?1?1.求證：a?b?c?ab?bc?ca（2014，羅馬尼亞）

12

3、極值問題中的化簡作用.在多元極值問題中，恰當地運用切比雪夫不等式可以將代數式簡化，有助於問題的解決.

例7、給定實數c?(,1).求最小的常數m，使得対任意的整數n?2及實數

nnm

1n

只要滿足?kak?c?ak，總有?ak?m?ak，其中，0?a1?a2?????an，m??cn?

nk?1k?1k?1k?1

爲不超過實數cn的最大整數.（2014，中國數學奧林匹克）. 例8、給定正整數r,s,t，滿足1?r?s?t，對滿足條件

xjxj?1

?1?

s?t

(j?1,2,???,n)的所j?t

?j(j?1)???(j?s?1)x

有正實數x1,x2,???,xn，求m?

n

j

?(j?r)???(j?s?1)x

j?1

j?1n

的最小值.

j

練習題

x33

1、 設x,y,z?r?,xyz?1.求證：??（第39屆imo預選題）

(1?y)(1?z)4

（提示：利用切比雪夫去分母，在用均值不等式及切比雪夫不等式推論）

2、 設設爲u，v，w正實數，滿足條件u?vwu??1，試求u+v+w的最小值． （2014 第三屆女子 五）

（提示：由切比雪夫不等式得3、 設a,b,c?0,

??

u?.

?3

a???a,a?b?c求證：ab2c3?1

1222cba23222c（提示：abc?abc??abc(??)由切比雪夫得 a3abc

1222cba122211112

abc(??)?abc(c?a?b)(??)?(ab?bc?ca)） 3abc9abc9

4、 設k是給定的非負整數.求證：對所有滿足x?y?z?1的正實數x,y,z，不等式

xk?21

??xk?1?yk?zk7成立，並給出等號成立的條件.

（2014塞爾維亞數學奧林匹克）

（提示：當k?0時易證.當k?1時，不妨設x?y?z，則不難得到

xk?2yk?2zk?2?k?1k?k?1k

k?1kkkx?y?zy?z?xz?x?yk

，

xk?1?yk?zk?yk?1?zk?xk?zk?1?xk?yk由切比雪夫及其推論可證）

5、 設x1,x2,???,xn是n(n?2,n?n?)個非負實數，且求x1?4x2?????nxn的最大值. （提示：設si?

?x

i?1

n

i

?n,?ixi?2n?2

i?1

n

?x

j?i

n

j

.則x1?4x2?????nxn?s1?3s2?????(2n?1)sn由切比雪夫得

(n2?1)(s2?????sn).所以，最大值爲n2?2 n?1

n?2n?2

,x2?x3?????xn?1?0,xn?當x1?n?時，取得等號） n?1n?13s2?????(2n?1)sn?

（補）在銳角三角形中，證明：

?sina??sin2a