平面向量的數量積及運算律（多篇）

平面向量的數量積及運算律 篇一

教學目的：

1 掌握平面向量的數量積及其幾何意義；

2 掌握平面向量數量積的重要性質及運算律；

3 瞭解用平面向量的數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；

4 掌握向量垂直的條件

教學重點：平面向量的數量積定義

教學難點：平面向量數量積的定義及運算律的理解和平面向量數量積的應用

授課類型：新授課

課時安排：1課時

教    具：多媒體、實物投影儀

內容分析：

本節學習的關鍵是啓發學生理解平面向量數量積的定義，理解定義之後便可引導學生推導數量積的運算律，然後通過概念辨析題加深學生對於平面向量數量積的認識 主要知識點：平面向量數量積的定義及幾何意義；平面向量數量積的5個重要性質；平面向量數量積的運算律

教學過程：

一、複習引入：

1. 向量共線定理  向量 與非零向量 共線的充要條件是：有且只有一個非零實數λ，使 =λ

2.平面向量基本定理：如果 ， 是同一平面內的兩個不共線向量，那麼對於這一平面內的任一向量 ，有且只有一對實數λ1，λ2使 =λ1 +λ2

3.平面向量的座標表示

分別取與 軸、軸方向相同的兩個單位向量 、作爲基底 任作一個向量 ，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數 、，使得

把 叫做向量 的（直角）座標，記作

4.平面向量的座標運算

若 ， ，

則  ，  ，

若 ， ，則

5. ∥  (  )的充要條件是x1y2-x2y1=0

6.線段的定比分點及λ

p1, p2是直線l上的兩點，p是l上不同於p1, p2的任一點，存在實數λ，

使  =λ ，λ叫做點p分 所成的比，有三種情況：

λ>0(內分)      (外分) λ<0 (λ<-1)    ( 外分)λ<0  (-1<λ<0)

7 定比分點座標公式：

若點p1(x1,y1) ，p2(x2,y2)，λ爲實數，且 ＝λ ，則點p的座標爲（ ），我們稱λ爲點p分 所成的比

8 點p的位置與λ的範圍的關係：

①當λ＞0時， 與 同向共線，這時稱點p爲 的內分點

②當λ＜0( )時， 與 反向共線，這時稱點p爲 的外分點

9 線段定比分點座標公式的向量形式：

在平面內任取一點o，設 ＝ ， ＝ ，

可得 =

10.力做的功：w = | || |cos，是 與 的夾角

二、講解新課：

1.兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量 與 ，作 ＝ ， ＝ ，則∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫 與 的夾角

說明：（1）當θ＝0時， 與 同向；

（2）當θ＝π時， 與 反向；

（3）當θ＝ 時， 與 垂直，記 ⊥ ；

（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向量必須是同起點的 範圍0≤≤180

2.平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數量| || |cos叫 與 的數量積，記作  ，即有   = | || |cos，

（0≤θ≤π） 並規定 與任何向量的數量積爲0

探究：兩個向量的數量積與向量同實數積有很大區別

（1）兩個向量的數量積是一個實數，不是向量，符號由cos的符號所決定

（2）兩個向量的數量積稱爲內積，寫成  ；今後要學到兩個向量的外積 × ，而  是兩個向量的數量的積，書寫時要嚴格區分 符號“• ”在向量運算中不是乘號，既不能省略，也不能用“×”代替

（3）在實數中，若a0，且ab=0，則b=0；但是在數量積中，若  ，且  =0，不能推出 =  因爲其中cos有可能爲0

（4）已知實數a、b、c(b0)，則ab=bc  a=c

但是   =       =

如右圖：   = | || |cos = | ||oa|，  = | || |cos = | ||oa|

    =     但  

(5)在實數中，有(aa)c = a(ac)，但是(  )    (  )

顯然，這是因爲左端是與 共線的向量，而右端是與 共線的向量，而一般 與 不共線

3.“投影”的概念：作圖

定義：| |cos叫做向量 在 方向上的投影

投影也是一個數量，不是向量；當爲銳角時投影爲正值；當爲鈍角時投影爲負值；當爲直角時投影爲0；當 = 0時投影爲 | |；當 = 180時投影爲 | |

4.向量的數量積的幾何意義：

數量積  等於 的長度與 在 方向上投影| | os的乘積

5.兩個向量的數量積的性質：

設 、爲兩個非零向量， 是與 同向的單位向量

1    =    =| |cos

2        = 0

3 當 與 同向時，   = | || |；當 與 反向時，   = | || |

特別的   = | |2或

4  os =

5|  | ≤ | || |

三、講解範例：

例1 判斷正誤，並簡要說明理由

① • ＝ ；②0• ＝0；③ － ＝ ；④｜ • ｜＝｜ ｜｜ ｜；⑤若 ≠ ，則對任一非零 有 • ≠0；⑥ • ＝0，則 與 中至少有一個爲 ；⑦對任意向量 ， ， 都有（ • ） ＝ （ • ）；⑧ 與 是兩個單位向量，則 2＝ 2

解：上述8個命題中只有③⑧正確；

對於①：兩個向量的數量積是一個實數，應有 • ＝0；

對於②：應有0• ＝ ；

對於④：由數量積定義有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜•｜cosθ｜≤｜ ｜｜ ｜，這裏θ是 與 的夾角，只有θ＝0或θ＝π時，纔有｜ • ｜＝｜ ｜•｜ ｜；

對於⑤：若非零向量 、垂直，有 • ＝0；

對於⑥：由 • ＝0可知 ⊥ 可以都非零；

對於⑦：若 與 共線，記 ＝λ

則 • ＝（λ ）• ＝λ（ • ）＝λ（ • ），

∴（ • ）• ＝λ（ • ） ＝（ • ）λ ＝（ • ）

若 與 不共線，則( • ) ≠（ • ）

評述：這一類型題，要求學生確實把握好數量積的定義、性質、運算律

例2 已知｜ ｜＝3，｜ ｜＝6，當① ∥ ，② ⊥ ，③ 與 的夾角是60°時，分別求 •

解：①當 ∥ 時，若 與 同向，則它們的夾角θ＝0°，

∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cos0°＝3×6×1＝18；

若 與 反向，則它們的夾角θ＝180°，

∴ • ＝｜ ｜｜ ｜cos180°＝3×6×（-1）＝－18；

②當 ⊥ 時，它們的夾角θ＝90°，

∴ • ＝0；

③當 與 的夾角是60°時，有

• ＝｜ ｜｜ ｜cos60°＝3×6× ＝9

評述：兩個向量的數量積與它們的夾角有關，其範圍是［0°，180°］，因此，當 ∥ 時，有0°或180°兩種可能

四、課堂練習：

五、小結  通過本節學習，要求大家掌握平面向量的數量積的定義、重要性質、運算律，並能運用它們解決相關的問題

六、課後作業：

七、板書設計（略）

八、課後記及備用資料：

1 概念辨析：正確理解向量夾角定義

對於兩向量夾角的定義，兩向量的夾角指從同一點出發的兩個向量所構成的較小的非負角，因對向量夾角定義理解不清而造成解題錯誤是一些易見的錯誤，如：

1 已知△abc中， ＝5， ＝8，c＝60°，求 •

對此題，有同學求解如下：

解：如圖，∵｜ ｜＝ ＝5，｜ ｜＝ ＝8，c＝60°，

∴ • ＝｜ ｜•｜ ｜cosc＝5×8cos60°＝20

分析：上述解答，乍看正確，但事實上確實有錯誤，原因就在於沒能正確理解向量夾角的定義，即上例中 與 兩向量的起點並不同，因此，c並不是它們的夾角，而正確的夾角應當是c的補角120°

2 向量的數量積不滿足結合律

分析：若有（ • ） ＝ •（ • ），設 、夾角爲 ， 、夾角爲β，則( • ) ＝｜ ｜•｜ ｜cosα• ，

•( • )＝ •｜ ｜｜ ｜cosβ

∴若 ＝ ，α＝β，則｜ ｜＝｜ ｜，進而有：（ • ） ＝ •( • )

這是一種特殊情形，一般情況則不成立 舉反例如下：

已知｜ ｜＝1，｜ ｜＝1，｜ ｜＝ ， 與 夾角是60°， 與 夾角是45°，則：

( • )• ＝（｜ ｜•｜ ｜cos60°） ＝  ，

•( • )＝（｜ ｜•｜ ｜cos45°） ＝

而  ≠ ，故（ • ）• ≠ •（ • ）

平面向量的數量積及運算律 篇二

（第二課時）

一、教學目標 

1.掌握平面向量的數量積的運算律，並能運用運算律解決有關問題；

2.掌握向量垂直的充要條件，根據兩個向量的數量積爲零證明兩個向量垂直；由兩個向量垂直確定參數的值；

3.瞭解用平面向量數量積可以處理有關長度、角度和垂直的問題；

4.通過平面向量的數量積的重要性質及運算律猜想與證明，培養學生的探索精神和嚴謹的科學態度以及實際動手能力；

5.通過平面向量的數量積的概念，幾何意義，性質及運算律的應用，培養學生的應用意識。

二、教學重點 平面向量的數量積運算律，向量垂直的條件；

教學難點  平面向量的數量積的運算律，以及平面向量的數量積的應用。

三、教學具準備

投影儀

四、教學過程 

1.設置情境

上節課，我們已經給出了數量積的定義，指出了它的（5）條屬性，本節課將研究數量積作爲一種運算，它還滿足哪些運算律？

2.探索研究

（1）師：什麼叫做兩個向量的數量積？

生： （ 與 向量的數量積等式 的模 與 在 的方向上的投影 的乘積）

師：向量的數量積有哪些性質？

生：（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）

師：向量的數量積滿足哪些運算律？

生（由學生驗證得出）

交換律：

分配律：

師：這個式子 成立嗎？（由學生自己驗證）

生： ，因爲 表示一個與 共線的向量，而 表示一個與 共線的向量，而 與 一般並不共線，所以，向量的內積不存在結合律。

（2）例題分析

【例1】求證：

（1）

（2）

分析：本例與多項式乘法形式完全一樣。

證：

注： （其中 、爲向量）

答：一般不成立。

【例2】已知 ， ， 與 的夾角爲 ，求 .

解：∵

注：與多項式求值一樣，先化簡，再代入求值。

【例3】已知 ， 且 與 不共線，當且僅當 爲何值時，向量 與 互相垂直。

分析：師：兩個向量垂直的充要條件是什麼？

生：

解： 與 互相垂直的充要條件是

即

∵

∴

∴

∴  當且僅當 時， 與 互相垂直。

3.演練反饋（投影）

（1）已知 ， 爲非零向量， 與 互相垂直， 與 互相垂直，求 與 的夾角。

（2） ， 爲非零向量，當 的模取最小值時，

①求 的值；

②求證： 與 垂直。

（3）證明：直徑所對的圓周角爲直角。

參考答案：

（1）

（2）解答：①由

當 時 最小；

②∵

∴ 與 垂直。

（3）如圖所示，設 ， ， （其中 爲圓心， 爲直徑， 爲圓周上任一點）

則

∵  ，

∴   即  圓周角

4.總結提煉

（l）

（2）向量運算不能照搬實數運算律，如結合律數量積運算就不成立。

（3）要學會把幾何元素向量化，這是用向量法證幾何問題的先決條件。

（4）對向量式不能隨便約分，因爲沒有這條運算律。

五、板書設計 

課題：

1.數量積性質

2.數量積運算律

例題

1

2

3

演練反饋

總結提煉

平面向量的數量積及運算律 篇三

（第一課時）

一、教學目標 

1.正確理解平面向量的數量積的概念，能夠運用這一概念求兩個向量的數量積，並能根據條件逆用等式求向量的夾角；

2.掌握平面向量的數量積的重要性質，並能運用這些性質解決有關問題；

3.通過平面向量的數量積的重要性質猜想與證明，培養學生的探索精神和嚴謹的科學態度以及實際動手能力；

4.通過平面向量的數量積的概念，幾何意義，性質的應用，培養學生的應用意識。

二、教學重點 平面向量的數量積概念、性質及其應用

教學難點  平面向量的數量積的概念，平面向量的數量積的重要性質的理解。

三、教學具準備

直尺，投影儀

四、教學過程 

1.設置情境

師：我們學過功的概念：即一個物體在力 的作用下產生位移 ，那麼力 所做的功： ，其中 表示一個什麼角度？

表示力 的方向與位移 的方向的夾角。

我們對上述物理意義下的“功”概念進行抽象，就一般向量 、，來規定 的含義。

2.探索研究

（l）已知兩個非零向量 和 ，在平面上任取一點 ，作 ， ，則 叫做向量 與 的夾角。你能指出下列圖中兩向量的夾角嗎？

① 與 的夾角爲 ，② 與 的夾角爲 ，③ 與 的夾角是 ，④ 與 的夾角是 .

（2）下面給出數量積定義：

師：（板書）已知兩個非零向量 和 ，它們的夾角爲 ，我們把數量 ，叫做向量 與 的數量積或（內積）記作 即

並規定

師：在平面向量的數量積的定義中，它與兩個向量的加減法有什麼本質區別。

生：向量的數量積結果是一個數量，而向量的加法和減法的結果還是一個向量。

師：你能從圖中作出 的幾何圖形嗎？ 表示的幾何意義是什麼？

生：如圖，過 的終點 作 的垂線段 ，垂足爲 ，則由直角三角形的性質得：

所以 叫做向量 在向量 上的投影， 叫做 在 上的投影。

師：因此我們得到 的幾何意義：向量 與 的數量積 等於 的長度 與 在 的方向上的投影 的積。

注意：1°投影也是一個數量，不是向量。

2°當q爲銳角時投影爲正值；

當q爲鈍角時投影爲負值；

當q爲直角時投影爲0；

當q =0°時投影爲 |b|；

當q =180°時投影爲 -|b|。

向量的數量積的幾何意義：

數量積a×b等於a的長度與b在a方向上投影|b|cosq的乘積。

（3）下面討論數量積的性質：

（每寫一條讓學生動手證一條）設 ， 都是非零向量， 是與 的方向相同的單位向量， 是 與 的夾角，則

①

②

③當 與 同向時， ，當 與 反向時， 。

特別地

④

⑤

3.演練反饋（投影）

（通過練習熟練掌握性質）

判斷下列各題是否正確

（1）若 ，則對任意向量 ，有    （    ）

（2）若 ，則對任意非零量 ，有 （    ）

（3）若 ，且 ，則           （    ）

（4）若 ，則 或             （    ）

（5）對任意向量 有                  （    ）

（6）若 ，且 ，則          （   ）

參考答案：（l）√，（2）×，（3）×，（4）×，（5）√，（6）×.

4.總結提煉

（l）向量的數量的物理模型是力的做功。

（2） 的結果是個實數（標量）

（3）利用 ，可以求兩向量夾角，尤其是判定垂直。

（4）二向量夾角範圍 .

（5）五條屬性要掌握。

五、板書設計 

課題

1.“功”的抽象

2.數量積的定義

3.（5）條性質

（1）

（2）

（3）

（4）

（5）

4.演練反饋

5.總結提煉

平面向量的數量積及運算律 篇四

教學目的：

1 掌握平面向量數量積運算規律；

2 能利用數量積的5個重要性質及數量積運算規律解決有關問題；

3 掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，會證明兩向量垂直，以及能解決一些簡單問題

教學重點：平面向量數量積及運算規律

教學難點：平面向量數量積的應用

授課類型：新授課

課時安排：1課時

教    具：多媒體、實物投影儀

內容分析：

啓發學生在理解數量積的運算特點的基礎上，逐步把握數量積的運算律，引導學生注意數量積性質的相關問題的特點，以熟練地應用數量積的性質  

教學過程：

一、複習引入：

1.兩個非零向量夾角的概念

已知非零向量 與 ，作 ＝ ， ＝ ，則∠aob＝θ（0≤θ≤π）叫 與 的夾角

2.平面向量數量積（內積）的定義：已知兩個非零向量 與 ，它們的夾角是θ，則數量| || |cos叫 與 的數量積，記作  ，即有   = | || |cos，

（0≤θ≤π） 並規定 與任何向量的數量積爲0

3.“投影”的概念：作圖

定義：| |cos叫做向量 在 方向上的投影

投影也是一個數量，不是向量；當爲銳角時投影爲正值；當爲鈍角時投影爲負值；當爲直角時投影爲0；當 = 0時投影爲 | |；當 = 180時投影爲 | |

4.向量的數量積的幾何意義：

數量積  等於 的長度與 在 方向上投影| |cos的乘積

5.兩個向量的數量積的性質：

設 、爲兩個非零向量， 是與 同向的單位向量

1   =   =| |cos；2       = 0

3當 與 同向時，   = | || |；當 與 反向時，   = | || |

特別的   = | |2或

4cos =  ；5|  | ≤ | || |

6.判斷下列各題正確與否：

1若  =  ，則對任一向量 ，有   = 0                 ( √ )

2若    ，則對任一非零向量 ，有    0             ( × )

3若    ，   = 0，則  =                           ( × )

4若   = 0，則  、至少有一個爲零                 ( × )

5若    ，   =   ，則  =                           ( × )

6若   =   ，則  =  當且僅當    時成立           ( × )

7對任意向量 、、，有(  )    (  )               ( × )

8對任意向量 ，有 2 = | |2                           ( √ )

二、講解新課：

平面向量數量積的運算律

1.交換律：     =   

證：設 ， 夾角爲，則     = | || |cos，     = | || |cos

∴     =   

2.數乘結合律：(  )  = (  ) =  (  )

證：若 >0，(  )  = | || |cos，  (  ) = | || |cos， (  ) = | || |cos，

若 < 0，(  )  =|  || |cos() =  | || |(cos) = | || |cos，

(  ) = | || |cos，

(  ) =| ||  |cos() =  | || |(cos) = | || |cos

3.分配律：(  +  )  =  c +  

在平面內取一點o，作 =  ,  =  ， = ，

∵  +   （即 ）在 方向上的投影等於 、在 方向上的投影和，

即   |  +  | cos = | | cos1 + | | cos2

∴|   | |  +  | cos =| | | | cos1 + | | | | cos2

∴ (  +  ) =    +        即：(  +  ) =    +  

說明：（1）一般地，( • ) ≠ （ • ）

（2） • ＝ • ， ≠   ＝

（3）有如下常用性質： 2＝｜ ｜2，

（ ＋ ）（ ＋ ）＝ • ＋ • ＋ • ＋ •

( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2

三、講解範例：

例1 已知 、都是非零向量，且  + 3 與7   5 垂直，   4 與7   2 垂直，求 與 的夾角

解：由(  + 3 )(7   5 ) = 0  7 2 + 16   15 2 = 0    ①

(   4 )(7   2 ) = 0  7 2  30   + 8 2 = 0    ②

兩式相減：2   =  2

代入①或②得： 2 =  2

設 、的夾角爲，則cos =    ∴ = 60

例2 求證：平行四邊形兩條對角線平方和等於四條邊的平方和

解：如圖： abcd中， ， ， =

∴| |2=

而 =

∴| |2=

∴| |2 + | |2 = 2 =

例3 四邊形abcd中， ＝ ， ＝ ， ＝ ， ＝ ，且 • ＝ • ＝ • ＝ • ，試問四邊形abcd是什麼圖形？

分析：四邊形的形狀由邊角關係確定，關鍵是由題設條件演變、推算該四邊形的邊角量

解：四邊形abcd是矩形，這是因爲：

一方面：∵ ＋ ＋ ＋ ＝0，

∴ ＋ ＝－（ ＋ ），∴( ＋ )2＝（ ＋ ）2

即｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋2 • ＋｜ ｜2

由於 • ＝ • ，

∴｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2①

同理有｜ ｜2＋｜ ｜2＝｜ ｜2＋｜ ｜2②

由①②可得｜ ｜＝｜ ｜，且｜ ｜＝｜ ｜即四邊形abcd兩組對邊分別相等

∴四邊形abcd是平行四邊形

另一方面，由 • ＝ • ，有 （ － ）＝0，而由平行四邊形abcd可得 ＝－ ，代入上式得 •(2 )＝0

即 • ＝0，∴ ⊥ 也即ab⊥bc

綜上所述，四邊形abcd是矩形

評述：(1)在四邊形中， ， ， ， 是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即 ＋ ＋ ＋ ＝ ，應注意這一隱含條件應用；

(2)由已知條件產生數量積的關鍵是構造數量積，因爲數量積的定義式中含有邊、角兩種關係

四、課堂練習：

1 下列敘述不正確的是（   ）

a 向量的數量積滿足交換律     b 向量的數量積滿足分配律

c 向量的數量積滿足結合律     d  • 是一個實數

2 已知| |=6,| |=4, 與 的夾角爲60°，則( +2 )•( -3 )等於（    ）

a 72           b -72           c 36        d -36

3 | |=3,| |=4,向量 +  與 -  的位置關係爲（    ）

a平行         b 垂直        c 夾角爲   d 不平行也不垂直

4 已知| |=3,| |=4,且 與 的夾角爲150°，則( + )2＝

5 已知| |=2,| |=5, • =-3,則| + |=______,| - |=

6 設| |=3,| |=5,且 +λ 與 －λ 垂直，則λ＝

參考答案：1 c  2 b  3 b  4 2 5 －1+2   5     6 ±

五、小結  通過本節學習，要求大家掌握平面向量數量積的運算規律，掌握兩個向量共線、垂直的幾何判斷，能利用數量積的5個重要性質解決相關問題

六、課後作業

1 已知| |=1,| |= ,且( - )與 垂直，則 與 的夾角是（    ）

a 60°         b 30°          c 135°         d 45°

2 已知| |=2,| |=1, 與 之間的夾角爲 ，那麼向量 ＝ -4 的模爲

a 2            b 2           c 6            d 12

3 已知 、是非零向量，則| |=| |是( + )與( - )垂直的（    ）

a 充分但不必要條件               b 必要但不充分條件

c 充要條件                          d 既不充分也不必要條件

4 已知向量 、的夾角爲 ，| |=2,| |=1,則| + |•| - |=

5 已知 + =2 -8 , - =-8 +16 ,其中 、是直角座標系中x軸、y軸正方向上的單位向量，那麼 • =

6 已知 ⊥ 、與 、的夾角均爲60°，且| |=1,| |=2,|  |=3,則( +2 - )2＝______

7 已知| |=1,| |= ,(1)若 ∥ ,求 • ;(2)若 、的夾角爲60°，求| + |；(3)若 - 與 垂直，求 與 的夾角

8 設 、是兩個單位向量，其夾角爲60°，求向量 =2 + 與 =2 -3 的夾角 

9 對於兩個非零向量 、，求使| +t |最小時的t值，並求此時 與 +t 的夾角

參考答案：1 d  2 b  3 c  4    5  –63   6  11

7 (1)-    (2)   (3)45° 8  120°  9  90°

七、板書設計（略）

八、課後記及備用資料：

1 常用數量積運算公式：在數量積運算律中，有兩個形似實數的完全平方和(差)公式在解題中的應用較爲廣泛

即( ＋ )2＝ 2＋2 • ＋ 2，（ － ）2＝ 2－2 • ＋ 2

上述兩公式以及( ＋ )( － )＝ 2－ 2這一類似於實數平方差的公式在解題過程中可以直接應用

2 應用舉例

例1 已知｜ ｜＝2，｜ ｜＝5， • ＝－3，求｜ ＋ ｜，｜ － ｜

解：∵｜ ＋ ｜2＝（ ＋ ）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝22＋2×（－3）＋52＝23

∴｜ ＋ ｜＝ ，∵（｜ － ｜）2＝（ － ）2＝ 2－2 • ＋ 2＝22－2×（－3）×52＝35，

∴｜ － ｜＝ .

例2 已知｜ ｜＝8，｜ ｜＝10，｜ ＋ ｜＝16，求 與 的夾角θ(精確到1°)

解：∵（｜ ＋ ｜）2＝（ ＋ ）2＝ 2＋2 • ＋ 2＝｜ ｜2＋2｜ ｜•｜ ｜cosθ＋｜ ｜2

∴162＝82＋2×8×10cosθ＋102，

∴cosθ＝ ，∴θ≈55°