函數極限的性質證明(精選多篇)

第一篇：函數極限的性質證明

函數極限的性質證明

x1=2,xn+1=2+1/xn,證明xn的極限存在，並求該極限

求極限我會

|xn+1-a|<|xn-a|/a

以此類推，改變數列下標可得|xn-a|<|xn-1-a|/a;

|xn-1-a|<|xn-2-a|/a;

……

|x2-a|<|x1-a|/a;

向上迭代，可以得到|xn+1-a|<|xn-a|/(a^n)

2

只要證明{x(n)}單調增加有上界就可以了。

用數學歸納法：

①證明{x(n)}單調增加。

x(2)=√=√5>x(1);

設x(k+1)>x(k)，則

x(k+2)-x(k+1))=√-√(分子有理化)

=/【√+√】>0。

②證明{x(n)}有上界。

x(1)=1<4，

設x(k)<4，則

x(k+1)=√<√(2+3*4)<4。

3

當0

當0

構造函數f(x)=x*a^x(0

令t=1/a，則：t>1、a=1/t

且，f(x)=x*(1/t)^x=x/t^x(t>1)

則：

lim(x→+∞)f(x)=lim(x→+∞)x/t^x

=lim(x→+∞)(分子分母分別求導)

=lim(x→+∞)1/(t^x*lnt)

=1/(+∞)

=0

所以，對於數列n*a^n，其極限爲0

4

用數列極限的定義證明

3.根據數列極限的定義證明：

(1)lim=0

n→∞

(2)lim=3/2

n→∞

(3)lim=0

n→∞

(4)lim0.999…9=1

n→∞n個9

5幾道數列極限的證明題，幫個忙。。。lim就省略不打了。。。

n/(n^2+1)=0

√(n^2+4)/n=1

sin(1/n)=0

實質就是計算題，只不過題目把答案告訴你了，你把過程寫出來就好了

第一題，分子分母都除以n，把n等於無窮帶進去就行

第二題，利用海涅定理，把n換成x，原題由數列極限變成函數極限，用羅比達法則(不知樓主學了沒，沒學的話以後會學的)

第三題，n趨於無窮時1/n=0，sin(1/n)=0

不知樓主覺得我的解法對不對呀limn/(n^2+1)=lim(1/n)/(1+1/n^2)=lim(1/n)/(1+lim(1+n^2)=0/1=0

lim√(n^2+4)/n=lim√(1+4/n^2)=√1+lim(4/n^2)=√1+4lim(1/n^2)=1

limsin(1/n)=lim=lim(1/n)*lim/(1/n)=0*1=0

第二篇：函數極限的性質

§3.2 函數極限的性質

§2函數極限的性質

ⅰ. 教學目的與要求

1.理解掌握函數極限的唯一性、局部有界性、局部保號性、保不等式性，迫斂性定理並會利用這些定理證明相關命題.

2.掌握函數極限四則運算法則、迫斂性定理,會利用其求函數極限.

ⅱ. 教學重點與難點:

重點: 函數極限的性質.

難點: 函數極限的性質的證明及其應用.

ⅲ. 講授內容

在§1中我們引入了下述六種類型的函數極限：

1)limf?x? ；2)limf?x?；3)limf?x?x???x???x???

f?x?；6)limf?x?。 4)limf?x?； 5)lim??x?x0x?x0x?x0

它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4)種類型的極限爲代表來敘述並證明這些性質．至於其他類型極限的性質及其證明，只要相應地作些修改即可.

定理3．2(唯一性)若極限limf?x?存在，則此極限是唯一的． x?x0

證設?,?都是f當x?x0時的極限，則對任給的??0，分別存在正數

?1與?2，使得當0?x?x0??1時有

f?x????? ，(1)當0?x?x0??2時有

f?x????? ，(2)

取??min??1,?2?，則當0?x?x0??時，(1)式與(2)式同時成立，故有

????(f?x???)??f?x????f?x????f?x????2?

由?的任意性得???，這就證明了極限是唯一的.

定理3。3（局部有限性）若limf?x?存在，則f在x0的某空心鄰域u0?x0?內有界． x?x0

證設limf?x???．取??1，則存在??0使得對一切x?u0?x0;??有 x?x0

f?x????1?f?x???1

這就證明了f在u0?x0;??內有界．

定理3．4(局部保號性)若limf?x????0 (或?0)，則對任何正數r??（或x?x0

r???)，存在u0?x0?，使得對一切x?u0?x0?有

f?x??r?0（或f?x???r?0）

證設??0，對任何r?(0,?)，取????r，則存在??0，使得對一切

x?u0?x0;??

f?x??????r，

這就證得結論．對於??0的情形可類似地證明．

注在以後應用局部保號性時，常取r?a．2

x?x0定理3．5(保不等式性)設limf?x?與都limg?x?都存在，且在某鄰域u0x0;?'內x?x0??

有f?x??g?x?則

limf?x??limg?x?（３）x?x0x?x0

證設limf?x?=?，limg?x?=?，則對任給的??0，分別存在正數?1與?2使x?x0x?x0

得當0?x?x0??1時有

????f?x?， 當0?x?x0??2 時有

g?x?????

令??min?',?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式f?x??g?x?與(4)、(5)兩式同時成立，於是有

????f?x??g?x?????

從而????2?．由?的任意性推出???，即(3)式成立．

定理3．6(迫斂性)設limf?x?=limg?x?=ａ，且在某u0x0;?'內有 x?x0x?x0????

f?x??

則limh?x???． x?x0h?x??g?x?

證按假設，對任給的??0，分別存在正數?1與?2，使得當0?x?x0??1時有，2

????f?x?(7)當0?x?x0??2時有

g?x?????(8)令??min?,?1,?2，則當0?x?x0??時，不等式(6)、(7)、(8)同時成立， 故有

????f?x??h?x??g?x?????

由此得h?x?????，所以limh?x??? x?x0?'?

定理3．7（四則運算法則）若極限limf?x?與limg?x?都存在，則函數 x?x0x?x0

f?g,f?g當x?x0時極限也存在，且

1)lim?f?x??g?x???limf?x??limg?x?； x?x0x?x0x?x0

2）lim?f?x?g?x???x?x0x?x0limf?x?．limg?x?； x?x0

又若limg?x??0，則f|g當x?x0時極限存在，且有 x?x0

3）limx?x0f?x??gxx?x0limf?x?limg?x?． x?x0

這個定理的證明類似於數列極限中的相應定理，留給學生作爲練習．

利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發，計算較複雜的函數極限．

例 1求limx??x?0?x?

解當x?0時有

1?x?x???1， ?x??1? ?1?

?1?x?1?故由迫斂性得：xlim而limx??=1 ?0?x?0??x?

另一方面，當x?0有1?x???1?x，故又由迫斂性又可得：lim x???1 ?x?0?x??x?

綜上，我們求得lim x???1 x?0?x?

3 ?1??1??1??1?

例 2求lim?xtanx?1?

x??

解由xtanx?xsinx及§1例4所得的， cosx

sixn?si?lim

x???442?limcoxs， ?2x?4

並按四則運算法則有

limsinx

?xtanx?1?=limx?lim

x?x??4?4x??

4limcosxx?1=?lim?x?4???1 4

例 3求lim?3??1?3?． x??1x?1x?1??

解 當x?1?0時有

?x?1??x?2??x?213?3?x?1x?1x3?1x2?x?1

故所求的極限等於

x?2?1?2???1 2x??1x2?x?1?1??1?1lim

例4證明lima?1?a?1? x

x?0

證任給??0 (不妨設??1)，爲使

xa?1??（9）

即1???a?1??，利用對數函數loga

loga?1????x?loga?1???

於是，令x（當a?1時）的嚴格增性，只要 ??min?loga?1???,?loga?1????， 則當0?x??時，就有(9)式成立，從而證得結論．

ⅳ 小結與提問:本節要求學生理解掌握函數極限的性質，並利用其討論相關命題.指導學生對定理的應用作總結.

ⅴ 課外作業: p51 2、3、5、7、8、9.

第三篇：§2函數極限的性質

《數學分析》上冊教案第三章函數極限武漢科技學院理學院

§2 函數極限的性質

教學章節：第三章函數極限——§2 函數極限的性質

教學目標：使學生掌握函數極限的基本性質.

教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等. 教學重點：函數極限的性質及其計算.

教學難點：函數極限性質證明及其應用.

教學方法：講練結合.

教學過程：

引言

在§1中我們引進了下述六種類型的函數極限：

1、limf(x)；2、limf(x)；3、limf(x)；4、limf(x);5、limf(x)；6、limf(x).

x???x???x??x?x0x?x0?x?x0?

它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以limf(x)爲代表來敘述並證明這些性質.至

x?x0

於其它類型極限的性質及其證明，只要作相應的修改即可.

一、函數極限的性質

性質1（唯一性） 如果x?a

limf(x)x?alimf(x)存在，則必定唯一. 證法一設?a，x?alimf(x)?b,則

???0,??1?0,當0?|x?a|??1時，

|f(x)?a|??,(1)

??2?0,當0?|x?a|??2時，

|f(x)?b|??.(2)

??min??1,?2?取

因而有 ，則當0?x?a??時（1）和（2）同時成立.

a?b?(f(x)?a)?(f(x)?b)?f(x)?a?f(x)?b?2?,(3)

由?的任意性，（3）式只有當

a?b?0

時，即a?b時才成立.

a?b2

證法二反證,如x?a

0?x?a??

limf(x)

?a

，x?a

limf(x)?b

且a?b，取

?0?

，則???0，使當

時，

f(x)?a??0,f(x)?b??0

,

即

a?b2

?a??0?f(x)?b??0?

a?b2

矛盾.

性質2（局部有界性） 若limf(x)存在，則f在x0的某空心鄰域內有界.

x?x0

limf(x)?a

??1x?x0證明取, 由 , ???0, 當0?x?x0??時, 有f(x)?a?1,

即

f(x)?a?f(x)?a?a?1

，

a?1

說明f(x)在u0(x0;?)上有界，就是一個界.

limf(x)?b

x?a

性質3（保序性） 設，x?a

limg(x)?c

.

0?x?a??0???0

1）若b?c，則0，當時有f(x)?g(x)；

0?x?a??0

2）若

??0?0

，當

時有f(x)?g(x)，則b?c.（保不等式性）

證明1） 取

?0?

b?c2

即得.2）反證，由1）即得.

注若在2）的條件中, 改“f(x)?g(x)”爲“f(x)?g(x)”,未必就有

a?b.以 f(x)?1?x,g(x)?1,x0?0

舉例說明.

推論（局部保號性） 如果x?a

號.

limf(x)?b

0?x?a??0???0

且b?0，則0使當時f(x)與b同

性質4（迫斂性） 設limf(x)?limh(x)?a，且在某u0(x0;??)內有f(x)?g(x)?h(x)，

x?x0

x?x0

則limh(x)?a.

x?x0

證明???0, 由x?x

limh(x)?a

limf(x)?a

，??1?0，使得當0?x?x0??1時，

有f(x)?a??，即 a???f(x)?a??.又由

x?x0

，??2?0，使得當0?x?x0??2時 ，有h(x)?a??，

即a???h(x)?a??.

令??min(?1,?2)，則當0?x?x0??時，有a???f(x)?g(x)?h(x)?a??

limg(x)?a

即g(x)?a??，故 x?x.

性質6（四則運算法則） 若limf(x)和limg(x)都存在，則函數f?g,fg當x?x0時極限

x?x0

x?x0

也存在，且 1）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x)；2）lim?f(x)?g(x)??limf(x)?limg(x).

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

又若limg(x)?0，則

x?x0

fg

當x?x0時極限也存在，且有 3）lim

f(x)g(x)

x?x0

?

x?x0

limf(x)

x?x0

limg(x)

.

3）的證明 只要證有

x?x0

lim

1g(x)

b2

?

1b，令

?0?

b2

?0

，由

x?x0

limg(x)?b

b2

0?x?x0??1

，??1?0使得當時，

b2

g(x)?b?

， 即

g(x)?b?g(x)?b?b??

.

g(x)?b?

b2

???0

,仍然由

x?x0

limg(x)?b

??2?0, 使得當0?x?x0??2時，，有

?

.

0?x?x0??

取??min(?1,?2)，則當時，有

1g(x)

?1b?

g(x)?bg(x)b

?

2b

g(x)?b?

2b

?

b2

???

即

x?x0

lim

1g(x)

?

1b.

二、利用函數極限的性質計算某些函數的極限

利用“迫斂性”和“四則運算”，可以從一些“簡單函數極限”出發，計算較複雜函數的極限.已證明過以下幾個極限：

limc?c,limx?x0,limsinx?sinx0,limcosx?cosx0;

x?x0

x?x0

x?x0

x?x0

lim

1x

x??

?0,limarctgx??

x???

?

.（ 注意前四個極限中極限就是函數值 ）

這些極限可作爲公式用.

在計算一些簡單極限時,利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質, 把所求極限化爲基本極限,代入基本極限的值, 即計算得所求極限. 例1 求limx??.

x?0

?x?

?1?

例2 求lim?

(xtgx?1).

x?

例3 求lim(

1x??1

x?1

?

3x3

?1

).

例4lim

5x?3x?73x3

?2x2

?5

.

x??

注關於x的有理分式當x??時的極限.參閱[4]p37. 7

例5lim

x?1n

x

10利用公式x?1

?1

.[a?1?(a?1)(a

n?1

?a

n?2

???a?1)

].

例6lim

x?2x?2?1x?1

x2

?x?2

.

例7lim

2x?

3x?1

x???

3x?5

.

例8lim

xsin(2x?x?10)

3?2x

.

x??

例9lim

?x?1.

x?0

?x?1

例10已知 lim

x?16?a參閱[4]p69.

x?3

x?3

?b.求 a和b.作業教材p51—521 -7，8(1)(2)(4)(5)； 2

補充題已知lim

x?ax?b7.求a和b.(a??

16x?2

x2?4

?b?3

,b?

203

.)

例11lim??2?x2?ax?b?

??0.x????1?x

?求a和b. ?

2解法一

2?x

?ax?ax

1?x

?ax?

2?x1?x

?

?(a?1)x2

?ax?2

1?x

?b,(x??).

?a?1?0,a??1;又 ?a?b,?b?1.

解法二2?x2

1?x?ax?b?x ??? 2?x2?a?b?

?，?x?x

2x? 由x??且原式極限存在(本文 來自本站)， ??

2?x2x?x

?a?b

x?0，即 a?lim??2?x2?b?

???1,b?lim??2?x2?x???1x???. ?x?x2x??x????1?x??

第四篇：2 函數極限的性質

§2 函數極限的性質

在§1中我們引入了下述六種類型的函數極限：

1）；2）；3）；

4）；5）；6）。

它們具有與數列極限相類似的一些性質，下面以第4）種類型的極限爲代表來敘述並證明這些性質。

至於其他類型極限的性質及其證明，只要相應的作些修改即可。

定理3.2（唯一性）若極限

證設與、都是當 存在，則此極限是唯一的。 時的極限，則對任給的，

分別存在正數，使得當

時有

（1）

當

時有

（2） 取，則當時，（1）式與 (2) 式同時成立，故有

由的任意性得。這就證明了極限是唯一的。

定理3.3（局部有界性） 若極限

內有界。存在，則在某空心鄰域

證設

。取，則存在，使得對一切

。

有

這就證明了在內有界。

定理3.4（局部保號性）若（或

），存在，使得對一切

有

（或），則對任何正數

（或

證 設

有

，這就證得結論。對於，對任何

，取

，則存在

）。

，使得對一切

的情形可類似地證明。

定理3.5（保不等式性）設

內有

，則

與

都存在，且在某鄰域

。（3）

證 設，使得當

，時

，則對任給的，分別存在正數與

（4）

當

時有

（5）

令

，則當

時，不等式

與（4）,

（5）式同時成立，於是

有式成立。

，從而

。由的任意性得

，即（3）

定理3.6（迫斂性）設==，且在某內有

（6）

則

。

證 按假設，

對任給的

，分別存在正數

與

，使得當

時

（7）

當

時有

（8）

令

式同時成立，故有

，則當

時，不等式（6）、（7）、（8）

，由此得

，所以。

定理3.7（四則運算法則）若極限，

當

與

都存在，則函數

時極限也存在，且

1）

=

2）

=

又若，則當時極限也存在，且有

）

這個定理的證明類似於數列極限中的相應定理，留給讀者作爲練習。 利用函數極限的迫斂性與四則運算法則，我們可從一些簡單的函數極限出發計算較複雜的函數極限。

例1求。

解 由第一章§3習題13，當 時有

，而

，故由迫斂性得

。

另一方面，當時有

，故由迫斂性又可得

。

綜上，我們求得

。

例2 求。

解由

及§1例4所得的

並按四則運算法則有

=

例3 求

解 當 時有

。

故所求極限等於

。

例4證明證任給

（不妨設

），爲使

（9）

即

，利用對數函數

（當

時）的嚴格增性，只要

於是，令

成立，從而證得結論。

，則當時，就有（9）式

第五篇：函數極限的證明

函數極限的證明

(一)時函數的極限：

以時和爲例引入.

介紹符號:的意義,的直觀意義.

定義(和.)

幾何意義介紹鄰域其中爲充分大的正數.然後用這些鄰域語言介紹幾何意義.

例1驗證例2驗證例3驗證證……

(二)時函數的極限：

由考慮時的極限引入.

定義函數極限的“”定義.

幾何意義.

用定義驗證函數極限的基本思路.

例4驗證例5驗證例6驗證證由=

爲使需有爲使需有於是,倘限制,就有

例7驗證例8驗證(類似有(三)單側極限:

1.定義：單側極限的定義及記法.

幾何意義:介紹半鄰域然後介紹等的幾何意義.

例9驗證證考慮使的2.單側極限與雙側極限的關係:

th類似有:例10證明:極限不存在.

例11設函數在點的某鄰域內單調.若存在,則有

=§2函數極限的性質(3學時)

教學目的：使學生掌握函數極限的基本性質。

教學要求：掌握函數極限的基本性質：唯一性、局部保號性、不等式性質以及有理運算性等。

教學重點：函數極限的性質及其計算。

教學難點：函數極限性質證明及其應用。

教學方法：講練結合。

一、組織教學：

我們引進了六種極限:,.以下以極限爲例討論性質.均給出證明或簡證.

二、講授新課：

(一)函數極限的性質:以下性質均以定理形式給出.

1.唯一性:

2.局部有界性:

3.局部保號性:

4.單調性(不等式性質):

th4若和都存在,且存在點的空心鄰域,使，都有證設=(現證對有)

註:若在th4的條件中,改“”爲“”,未必就有以舉例說明.

5.迫斂性:

6.四則運算性質:(只證“+”和“”)

(二)利用極限性質求極限：已證明過以下幾個極限：

(注意前四個極限中極限就是函數值)

這些極限可作爲公式用.在計算一些簡單極限時,有五組基本極限作爲公式用,我們將陸續證明這些公式.

利用極限性質，特別是運算性質求極限的原理是：通過有關性質,把所求極限化爲基本極限,代入基本極限的值,即計算得所求極限.

例1(利用極限和)

例2例3註:關於的有理分式當時的極限.

例4

例5例6例7