構造函數在導數解證不等式中的應用

構造函數在導數解證不等式中的應用

汕頭市潮南區臚溪中學   胡小霞

解決不等式問題是中學數學中的一個難點，有些不等式問題採用常規方法難以解決，若能巧妙地構造函數將不等式問題轉化爲函數問題，使問題獲得較好解決。本文就近幾年大學聯考題中與不等式有關的幾道試題予以簡要剖析，以此體會導數法解決不等式證明問題及恆成立問題有效性.通過構造新函數成爲解證不等式的良好“載體”，以下通過具體實例加以說明。

一、利用導數證明不等式

根據不等式的特點構造函數，通過新函數的導數來證明單調性,然後再利用新函數的最值達到證明不等式的目的。即把證明不等式問題轉化爲函數問題。具體有如下幾種形式：

1、 直接作差“構造函數”證明不等式

題目：已知函數，求證：當時，恆有

分析：本題是雙邊不等式，其右邊直接從已知函數證明，左邊構造函數，從其導數入手即可證明。

證明： 

∴當時，，即在上爲增函數；

當時，，即在上爲減函數，故函數的單調遞增區間爲，單調遞減區間。於是函數在上的最大值爲。

因此，當時，，即∴ （右邊得證），

現證左面，構造新函數

時，；時，。即在上爲減函數，在上爲增函數，故函數在上的最小值爲，

∴當時，，即∴（左邊得證）

綜上可知，當 

本題首先根據題意作差“構造函數”，通過導數判斷新函數的單調性，利用最值，從而達到證明不等式的目的。

2、適當放縮後再“構造函數”證明不等式

題目：已知函數其中n∈N*,爲常數.當時，證明：當n爲奇數時,當時，有.

分析：對當n爲奇數時的進行放縮處理，再移項作差“構造函數”，利用導數判斷其單調性。

證明：因爲a=1,所以   因爲n爲奇數，時，＜0，

要證, 所以只需證,令,

,所以當時，單調遞增，

又， 所以當時，恆有,

即命題成立. 綜上所述，當n爲奇數時,當時，有.

本題與直接“構造函數”不同，在當n爲奇數時,先進行了適當放縮後再進行構造，使本來複雜的函數變得簡單容易處理，較爲簡捷；但放縮要注意恰到好處。

3、利用式子的相似來“構造函數”證明不等式

題目：對任意實數a和b,成立不等式

分析：根據不等式中式子的結構特點,形狀相似於函數在相應幾個點的函數值

證明：構造函數

所以內嚴格遞增。於是

由得

即 ，又因爲

即證得

這個分式不等式中的絕對值不便於去掉，所以通過分析不等式左右兩邊各式的相似之處，將相似的量當做是所構造的函數的兩個取值點，然後利用函數的單調性來證明。

二、利用導數解決不等式恆成立問題

不等式恆成立問題，一般都會涉及到求參數範圍，往往把變量分離後可以轉化爲 (或)恆成立，從而把不等式恆成立問題轉化爲函數求最值問題．因此，利用導數求函數最值是解決不等式恆成立問題的一種重要方法

題目：已知函數的最大值爲0，若不等式對任意的都成立（其中e是自然對數的底數）.求的最大值.

解析:不等式等價於不等式

由知,所以   ,換元令，

構造函數：  

由已知得構造函數，

所以當得在上爲減函數.

故函數在上的最小值爲，所以的最大值爲。

本題主要是先兩邊取對數再進行參數分離並進行構造新函數轉化利用單調性求最小值解決問題；值得注意的是本題在當導數的符號難以直接判斷時可以考慮進行二次構造新函數，是典型的用“構造函數”轉化並解決問題的好例。

總之，不論是證明不等式還是解不等式恆成立問題，只要我們仔細研究不等式的結構特徵，聯想到“構造函數”再結合導數的知識來證明不等式或解決恆成立問題，這類問題的解決就會變得輕車熟路。這種解題方法也是轉化與化歸思想在中學數學中的重要體現。