機器人座標齊次變換

教學目的及要求

掌握旋轉和平移的齊次變換

教學重點與難點

重點：平移和旋轉齊次變換

難點：平移和旋轉齊次變換

主要教學方法與手段

講授法、啓發互動式

教學內容

教學過程與設計備註

一、複習提問

齊次座標的表示方法以及座標的移動和旋轉的公式？

二、引入新課

對於一個剛體的位姿描述是需要表示其位置和方向，如果用3×4矩陣無法進行描述，因此需要引入4×4齊次矩陣，用其變換進行描述座標的姿態變換。

三、講授新課

3.2 齊次變換

3.2.1 齊次變換矩陣

對於位姿的複合變換可用 表示。

將一個矢量描述從一個座標系變換到另一個座標系。採用是4×4的方陣，稱爲齊次變換矩陣；綜合地表示了平移變換和旋轉變換。用矩陣形式表示上式：

例1： 已知座標系{B}，它繞座標系{A}的z軸旋轉 ，沿xA平移12個單位，再沿yA平移6個單位。已知 ，用齊次變換法求。

3.2.2 平移的齊次變換

算子左右乘規則

若相對固定座標系進行變換，則算子左乘；若相對動座標系進行變換，則算子右乘。

例2：座標系F沿參考座標系的X軸移動2個單位，沿y軸移動7個單位，沿Z軸移動5個單位。求新的座標系位置。其中

3.2.3 旋轉的齊次變換

點A（x，y，z）繞Z 軸旋轉θ角後至A′（x′，y′，z′），A與A′之間的關係爲：

也可簡寫爲a′=Rot（z，θ）a

（1）點在空間直角座標系中繞座標軸的旋轉變換

例3：座標系繞Z軸轉90度後，再繞X軸轉60度，求矢量U=6i+7j+2k的原矢量座標。

（2）點在空間直角座標系中繞過原點任意軸一般旋轉變換

3.2.3 複合變換

平移變換和旋轉變換可以組合在一個齊次變換中，稱爲複合變換。

例4：已知座標系中U的位置矢量u= [7 3 2 1]T，將此點繞Z軸旋轉90°，再繞Y軸旋轉90°後得到點W，點W再作4i-3j+7k的平移得到E點，求變換後所得的點E的列陣表達式。

四、鞏固練習

練習：固連在剛體的座標系上的點 u=5i+2j+3k，將u繞參考座標系x軸旋轉90°得到點v，再將點v繞參考座標系y軸旋轉90°得到點w，求點v、w的座標；在此基礎上再平移（5，-4，7）得到f。

五、小結

1. 平移齊次變換

2. 旋轉齊次變換

3. 複合變換

六、課後作業

P84頁 座標變換類型題、3.2、3.6。

複習提問以及互動探究瞭解並接受新知識 5分鐘

講授齊次變換矩陣的定義及運用方法 15分鐘

講授平移齊次變換及方法15分鐘

講授旋轉的齊次變換及運用方法25分鐘

講授複合變換20分鐘

實例進行鞏固練習15分鐘

課堂小結及作業佈置

5分鐘

七、板書設計

第3章 機器人運動學

3.2 齊次變換

3.2 齊次變換

3.2.1 齊次變換矩陣

對於可以變成齊次表示。

例1：解

代入齊次變換式可得：

3.2.2 平移的齊次變換

算子左右乘規則：相對固定座標系進行變換，則算子左乘；相對動座標系進行變換，則算子右乘。

例2：解

3.2.3 旋轉的齊次變換

1. 旋轉齊次座標變換

點A（x，y，z）繞Z 軸旋轉θ角後至A′（x′，y′，z′），A與A′之間的關係爲：

也可簡寫爲a′=Rot（z，θ）a

例3：解

2. 通用旋轉變換

3.2.3 複合變換

例4：解

練習題：

小結

1. 平移齊次變換

2. 旋轉齊次變換

3. 複合變換

參考資料

1.劉極峯.機器人技術基礎[M]（第三版）.北京:高等教育出版社,2019.

2. 蔡自興.機器人學基礎[M]（第二版）.北京:機械工業出版社,2015.

教學反思