上學期 3.5等比數列的前n項和多篇

《等比數列前n項和》說課稿 篇一

一、大綱與教材

等比數列前n項和一節是人教社高中數學必修教材試驗修訂本第一冊第三章第五節的內容，教學對象爲高一學生，教學時數2課時。

第三章《數列》是高中數學的重要內容之一，之所以在新大綱裏保留下來，這是由其在整個高中數學領域裏的重要地位和作用決定的。

1、數列有着廣泛的實際應用。例如產品的規格設計、儲蓄、分期付款的有關計算等。

2、數列有着承前啓後的作用。數列是函數的延續，它實質上是一種特殊的函數；學習數列又爲進一步學習數列的極限等內容打下基礎。

3、數列是培養提高學生思維能力的好題材。學習數列要經常觀察、分析、猜想，還要綜合運用前面的知識解決數列中的一些問題，這些都有利於學生數學能力的提高。

本節課既是本章的重點，同時也是教材的重點。等比數列前n項和前面承接了數列的定義、等差數列的知識內容，又是後面學習數列求和、數列極限的基礎。

本節的重點是等比數列前n項和公式及應用，難點是公式的推導。

二、教學目標

1、知識目標：理解等比數列前n項和公式的推導方法，掌握等比數列前n項和公式及應用。

2、能力目標：培養學生觀察問題、思考問題的能力，並能靈活運用基本概念分析問題解決問題的能力，鍛鍊數學思維能力。

3、思想目標：培養學生學習數學的積極性，鍛鍊學生遇到困難不氣餒的堅強意志和勇於創新的精神。

三、教學程序設計

1、導言：

本節課是由印度國王西拉謨與國際象棋發明家的故事引入的，發明者要國王在他的棋盤上的64格中的第 1格放入1粒麥粒，第2格放入2粒麥粒，第3格放入4粒麥粒，第4格放入8粒麥粒……問應給發明家多少粒麥粒？

這樣引入課題有以下三點好處：

(1)利用學生求知好奇心理，以一個小故事爲切入點，便於調動學生學習本節課的趣味性和積極性。

(2)故事內容緊扣本節課教學內容的主題與重點。

(3)有利於知識的遷移，使學生明確知識的現實應用性。

2、講授新課：

本節課有兩項主要內容，等比數列的前n項和公式的推導和等比數列的前n項和公式及應用。

等比數列的前n項和公式的推導是本節課的難點。

依據如下：

(1)從認知領域上講，它在陳述性知識、程序性知識與策略性知識的分類中，屬於學生最高需求層次的掌握策略與方法的策略性知識。

(2) 從學科知識上講，推導屬於學科邏輯中的“瓶頸”，突破這一“瓶頸”則後面的問題迎刃而解。

(3) 從心理學上講，學生對這項學習內容的“熟悉度”不高，原有知識薄弱，不易理解。

突破難點方法：

(1)明確難點、分解難點，採用層層推導延伸法，利用學生已有的知識切入 ，淺化知識內容。比如可以先求麥粒的總數，通過設問使學生得到麥粒的總數爲 ，然後引導學生觀察上式的特點，發現上式中，每一項乘以2後都得它的後一項，即有 ，發現兩式右邊有62項相同，啓發同學們找到解決問題的關鍵是等式左右同時乘以2，相減得和。從而得知求等比數列前n項和 ……+ 的關鍵也應是等式左右各項乘以公比q，兩式相減去掉相同項，得求和公式 ，也掌握了這種常用的數列求和方法——錯位相減法，說明這種方法的用途。

(2)值得一提的是公式的證明還有兩種方法：

方法二：由等比數列的定義得： 運用連比定理，

後兩種方法可以啓發引導學生自行完成。這樣學生從各種途徑，用多種方法推導公式，從而培養學生的創造性思維。

等比數列前n項和公式及應用是本節課的重點內容。

依據如下：

(1)新大綱中有較高層次的要求。

(2)教學地位重要，是教學中全部學習任務中必須優先完成的任務。

(3)這項知識內容有廣泛的實際應用，很多問題都要轉化爲等比數列的求和上來。

突出重點方法：

(1)明確重點。利用高一學生求知積極性和初步具有的數學思維能力，運用比較法來突出公式的內容（彩色粉筆板書）： ，強調公式的應用範圍： 中可知三求二。

(2)運用糾錯法對公式中學生容易出錯的地方，即公式的條件 ，以精練的語言給予強調，並指出q=1時， 。再有就是有些數列求和的項數易錯，例如 的項數是n+1而不是n。

(3)創設條件、充分保證。設置低、中、高三個層次的例題，即公式的直接應用、公式的變形應用和實際應用來突出這一重點。對應用題師生要共同分析討論，從問題中抽象出等比數列，然後用公式求和。

四、習題訓練

本節課設置如下兩種類型的習題：

1． 中知三求二的解答題；

2．實際應用題。

這樣設置主要依據：

(1)練習題與大綱中規定的教學目標與任務及本節課的重點、難點有相對應的匹配關係。

(2)遵循鞏固性原則和傳授——反饋——再傳授的教學系統的思想確立這樣的習題 。

(3)應用題比較切合對智力技能進行檢測，有利於數學能力的提高。同時，它可以使學生在後半程學習中保持興趣的持續性和學習的主動性，。

五、策略、方法與手段

根據高一學生心理特點、教材內容、遵循因材施教原則和啓發性教學思想，本節課的教學策略與方法我採用規則學習和問題解決策略，即“案例—公式—應用”，簡稱“例—規”法。

案例爲淺層次要求，使學生有概括印象。

公式爲中層次要求，由淺入深，重難點集中推導講解，便於突破。

應用爲綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固所學，反饋驗證本節教學目標的落實。

其中，案例是基礎，是學生感知教材；公式爲關鍵，是學生理解教材；練習爲應用，是學生鞏固知識，舉一反三。

在這三步教學中，以啓發性強的小設問層層推導，輔之以學生的分組小討論並充分運用直觀完整的板書、棋盤教具和計算機課件等教輔用具、手段，改變教師講、學生聽的填鴨式教學模式，充分體現學生是主體，教師教學服務於學生的思路，而且學生通過“案例—公式—應用”，由淺入深，由感性到理性，由直觀到抽象，加深了學生理解鞏固與應用，有利於培養學生思維能力，落實好教學任務。

六、個人見解

在提倡教育改革的今天，對學生進行思維技能培養已成了我們非常重要的一項教學任務。研究性學習已在全國範圍內展開，等比數列就是一個進行研究性學習的好題材。在我們學校可以按照Intel未來教育計劃培訓的模式，學完本節課後，教師可以給學生布置一個研究分期付款的課題，讓學生利用網絡資源，多方查找資料，並通過完成多媒體演示文稿和網頁製作來共同解決這一問題。這樣不僅培養了學生主動探究問題、解決問題的能力，而且還提高了他們的 本站 創新意識和團結協作的精神。

策略、方法與手段 篇二

根據高一學生心理特點、教材內容、遵循因材施教原則和啓發性教學思想，本節課的教學策略與方法我採用規則學習和問題解決策略，即“案例—公式—應用”，簡稱“例—規”法。

案例爲淺層次要求，使學生有概括印象。

公式爲中層次要求，由淺入深，重難點集中推導講解，便於突破。

應用爲綜合要求，多角度、多情境中消化鞏固所學，反饋驗證本節教學目標的落實。

其中，案例是基礎，是學生感知教材；公式爲關鍵，是學生理解教材；練習爲應用，是學生鞏固知識，舉一反三。

在這三步教學中，以啓發性強的小設問層層推導，輔之以學生的分組小討論並充分運用直觀完整的板書、棋盤教具和計算機課件等教輔用具、手段，改變教師講、學生聽的填鴨式教學模式，充分體現學生是主體，教師教學服務於學生的思路，而且學生通過“案例—公式—應用”，由淺入深，由感性到理性，由直觀到抽象，加深了學生理解鞏固與應用，有利於培養學生思維能力，落實好教學任務。

教學設計示例 篇三

課題：等比數列前項和的公式

教學目標 篇四

1、知識目標：理解等比數列前n項和公式的推導方法，掌握等比數列前n項和公式及應用。

2、能力目標：培養學生觀察問題、思考問題的能力，並能靈活運用基本概念分析問題解決問題的能力，鍛鍊數學思維能力。

3、思想目標：培養學生學習數學的。積極性，鍛鍊學生遇到困難不氣餒的堅強意志和勇於創新的精神。

教學程序設計 篇五

1、導言：

本節課是由印度國王西拉謨與國際象棋發明家的故事引入的，發明者要國王在他的棋盤上的64格中的第1格放入1粒麥粒，第2格放入2粒麥粒，第3格放入4粒麥粒，第4格放入8粒麥粒……問應給發明家多少粒麥粒？

這樣引入課題有以下三點好處：

（1）利用學生求知好奇心理，以一個小故事爲切入點，便於調動學生學習本節課的趣味性和積極性。

（2）故事內容緊扣本節課教學內容的主題與重點。

（3）有利於知識的遷移，使學生明確知識的現實應用性。

2、講授新課：

本節課有兩項主要內容，等比數列的前n項和公式的推導和等比數列的前n項和公式及應用。

等比數列的前n項和公式的推導是本節課的難點。

依據如下：

（1）從認知領域上講，它在陳述性知識、程序性知識與策略性知識的分類中，屬於學生最高需求層次的掌握策略與方法的策略性知識。

（2）從學科知識上講，推導屬於學科邏輯中的“瓶頸”，突破這一“瓶頸”則後面的問題迎刃而解。

（3）從心理學上講，學生對這項學習內容的“熟悉度”不高，原有知識薄弱，不易理解。

突破難點方法：

（1）明確難點、分解難點，採用層層推導延伸法，利用學生已有的知識切入，淺化知識內容。比如可以先求麥粒的總數，通過設問使學生得到麥粒的總數爲，然後引導學生觀察上式的特點，發現上式中，每一項乘以2後都得它的後一項，即有，發現兩式右邊有62項相同，啓發同學們找到解決問題的關鍵是等式左右同時乘以2，相減得和。從而得知求等比數列前n項和……+的關鍵也應是等式左右各項乘以公比q，兩式相減去掉相同項，得求和公式，也掌握了這種常用的數列求和方法——錯位相減法，說明這種方法的用途。

（2）值得一提的是公式的證明還有兩種方法：

方法二：由等比數列的定義得：運用連比定理，

後兩種方法可以啓發引導學生自行完成。這樣學生從各種途徑，用多種方法推導公式，從而培養學生的創造性思維。

等比數列前n項和公式及應用是本節課的重點內容。

依據如下：

（1）新大綱中有較高層次的要求。

（2）教學地位重要，是教學中全部學習任務中必須優先完成的任務。

（3）這項知識內容有廣泛的實際應用，很多問題都要轉化爲等比數列的求和上來。

突出重點方法：

（1）明確重點。利用高一學生求知積極性和初步具有的數學思維能力，運用比較法來突出公式的內容（彩色粉筆板書）：，強調公式的應用範圍：中可知三求二。

（2）運用糾錯法對公式中學生容易出錯的地方，即公式的條件，以精練的語言給予強調，並指出q=1時，。再有就是有些數列求和的項數易錯，例如的項數是n+1而不是n。

（3）創設條件、充分保證。設置低、中、高三個層次的例題，即公式的直接應用、公式的變形應用和實際應用來突出這一重點。對應用題師生要共同分析討論，從問題中抽象出等比數列，然後用公式求和。

教學目標 篇六

（1）通過教學使學生掌握等比數列前項和公式的推導過程，並能初步運用這一方法求一些數列的前項和。

（2）通過公式的推導過程，培養學生猜想、分析、綜合能力，提高學生的數學素質。

（3）通過教學進一步滲透從特殊到一般，再從一般到特殊的辯證觀點，培養學生嚴謹的學習態度。

習題訓練 篇七

本節課設置如下兩種類型的習題：

1．中知三求二的解答題；

2．實際應用題。

這樣設置主要依據：

（1）練習題與大綱中規定的教學目標與任務及本節課的重點、難點有相對應的匹配關係。

（2）遵循鞏固性原則和傳授——反饋——再傳授的教學系統的思想確立這樣的習題。

（3）應用題比較切合對智力技能進行檢測，有利於數學能力的提高。同時，它可以使學生在後半程學習中保持興趣的持續性和學習的主動性，。

等比數列的前n項和教學設計 篇八

一、教學背景分析

1．教學內容分析

本節課是高中數學（北師大版必修5）第一章第3節第二課時，是“等差數列的前n項和”與“等比數列”內容的延續，與函數等知識有着密切的聯繫，也爲以後學數列的求和，數學歸納法等做好鋪墊。而且公式推導過程中所滲透的類比、化歸、分類討論、整體變換和方程等思想方法，都是學生今後學習和工作中必備的數學素養，如在“分期付款”等實際問題中也經常涉及到。本節以數學文化背境引入課題有助於提升學生的創新思維和探索精神，是提高數學文化素養和培養學生應用意識的良好載體。

2．學情分析

從學生的思維特點看，很容易把本節內容與等差數列前n項和從公式的形成、特點等方面進行類比，這是積極因素，應因勢利導。不利因素是，本節公式的推導與等差數列前n項和公式的推導有着本質的不同，這對學生的思維是一個突破，另外，對於q = 1這一特殊情況，學生往往容易忽視，尤其是在後面使用的過程中容易出錯。教學對象是高二理科班的學生，雖然具有一定的分析問題和解決問題的能力，邏輯思維能力也初步形成，但由於年齡的原因，思維儘管活躍、敏捷，卻缺乏冷靜、深刻，因此片面、不完全。

二．教學目標

依據新課程標準及教材內容，結合學生的認知發展水平和心理特點，確定本節課的。教學目標如下：

1、知識與技能目標: 理解等比數列前n項和公式推導方法；掌握等比數列前n項和公式並能運用公式解決一些簡單問題。

2．過程與方法目標：感悟並理解公式的推導過程，感受公式探求過程所蘊涵的從特殊到一般的思維方法，滲透方程思想、分類討論思想及轉化思想，優化思維品質，初步提高學生的建模意識和探究、分析與解決問題的能力。

3、情感與態度目標：通過經歷對公式的探索過程，對學生進行思維嚴謹性的訓練，激發學生的求知慾，鼓勵學生大膽嘗試、勇於探索、敢於創新，磨練思維品質，從中獲得成功的體驗，感受數學的奇異美、結構的對稱美、形式的簡潔美和數學的嚴謹美。

三．重點，難點

教學重點：等比數列前“等比數列的前n項和”項和公式的推導及其簡單應用。

教學難點：公式的推導思想方法及公式應用中q與1的關係。

四．教學方法

啓發引導，探索發現，類比。

五． 教學過程

（一）藉助數學文化背境提出問題

在古印度，有個名叫西薩的人，發明了國際象棋，當時的印度國王大爲讚賞，對他說：我可以滿足你的任何要求。西薩說：請給我棋盤的64個方格上，第一格放1粒小麥，第二格放2粒，第三格放4粒，往後每一格都是前一格的兩倍，直至第64格。國王令宮廷數學家計算，結果出來後，國王大吃一驚。爲什麼呢？

【設計意圖】：設計這個數學文化背境目的是在引入課題的同時激發學生的興趣，調動學習的積極性。故事內容也緊扣本節課的主題與重點。

問題1：同學們，你們知道西薩要的是多少粒小麥嗎？

引導學生寫出麥粒總數“等比數列的前n項和”

（二）師生互動，探究問題

問題2：“等比數列的前n項和”

有些學生會說用計算器來求（老師當然肯定這種做法，但學生很快發現比較難求。）

問題3：同學們，我們來分析一下這個和式有什麼特徵？

（學生會發現，後一項都是前一項的2倍）

問題4：如果我們把（1）式每一項都乘以2，就變成了它的後一項，那麼我們若在此等式兩邊同以2，得到（2）式：

“等比數列的前n項和”

比較（1）(2）兩式，你有什麼發現？（學生經過比較發現：（1）、（2）兩式有許多相同的項）

問題5：將兩式相減，相同的項就消去了，得到什麼呢？。（學生會發現：“等比數列的前n項和”

【設計意圖】：這五個問題層層深入，剖析了錯位相減法中減的妙用，使學生容易接受爲什麼要錯位相減，經過繁難的計算之後，突然發現上述解法，也讓學生感受到這種方法的神奇。

問題6：老師指出這就是錯位相減法，並要求學生縱觀全過程，反思爲什麼（1）式兩邊要同乘以2呢？

【設計意圖】：經過繁難的計算之苦後，突然發現上述解法，讓學生對錯位相減法有一個深刻的認識，也爲探究等比數列求和公式的推導做好鋪墊。

（三）類比聯想，構建新知

這時我再順勢引導學生將結論一般化。

問題7：如何求等比數列“等比數列的前n項和”的前“等比數列的前n項和”項和“等比數列的前n項和”：

即:“等比數列的前n項和”

（學生相互合作，討論交流，老師巡視課堂，並請學生上臺板演。）

注：學生已有上面問題的處理經驗，肯定有不少學生會想到“錯位相減法”，教師可放手讓學生探究。

將“等比數列的前n項和”兩邊同時乘以公比“等比數列的前n項和”後會得到“等比數列的前n項和”，兩個等式相減後，哪些項被消去，還剩下哪些項，剩下項的符號有沒有改變？這些都是用錯位相減法求等比數列前“等比數列的前n項和”項和的關鍵所在，讓學生先思考，再討論，最後師在突出強調，加深印象。

兩式作差得到“等比數列的前n項和”時，肯定會有學生直接得到“等比數列的前n項和”，不忙揭露錯誤，後面再反饋這個易錯點，從而掌握公式的本質。

【設計意圖】：在教師的指導下，讓學生從特殊到一般，從已知到未知，步步深入，讓學生自己探究公式，從而體驗到學習的成就感。增強學習數學的興趣和學好數學的信心。

問題8:由 “等比數列的前n項和” 得 “等比數列的前n項和”對不對呢？這裏的“等比數列的前n項和”能不能等於1呀？等比數列中的公比能不能爲1？那麼“等比數列的前n項和”時是什麼數列？此時“等比數列的前n項和”？你能歸納出等比數列的前n項和公式嗎？ （這裏引導學生對“等比數列的前n項和” 進行分類討論，得出公式，同時爲後面的例題教學打下基礎。）

再次追問：結合等比數列的通項公式“等比數列的前n項和” ，如何把“等比數列的前n項和” 用“等比數列的前n項和” 、“等比數列的前n項和” 、“等比數列的前n項和” 表示出來？（引導學生得出公式的另一形式）

公式：

“等比數列的前n項和”

注：公式的理解

知三求二：n q a1 an Sn ；

n的含義：項數（通項公式是qn－1）；

q的含義：公比（注意q=1，分類討論）；

錯位相減法：乘公比（作用是構造許多相同項）後錯開一項後再減。

【設計意圖】：通過反問學生歸納，一方面使學生加深對知識的認識，完善知識結構，另一方面使學生由簡單地模仿和接受，變爲對知識的主動認識，從而進一步提高分析、類比和綜合的能力。這一環節非常重要，儘管僅僅幾句話，然而卻有畫龍點睛之妙用。

（四）討論交流，延伸拓展

問題9: 探究等比數列前n項和公式，還有其它方法嗎？

“等比數列的前n項和”（學生討論交流，老師指導。依學生的認知水平可能會有以下幾種方法）

（1）錯位相減法

“等比數列的前n項和”（2）提出公比q

“等比數列的前n項和”（3）累加法

【設計意圖】：以疑導思，激發學生的探索慾望，營造一個讓學生主動觀察、思考、討論的氛圍。 這有非常重要的研究價值，是研究性學習和課外拓展的極佳資源，它源於課本，又高於課本，對學生的思維發展有促進作用。

（五） 應用公式，深化理解

例1：在等比數列{ an }中，

（1）已知a1＝3，q＝2，n＝6，求Sn；

（2）已知a1=8，q=1/2，an =1/2，求Sn；

（3）已知a1=－1.5，a4=96，求q與S4；

（4）已知a1=2，S3＝26，求q與a3。

【設計意圖】：初步應用公式，理解等比數列的基本量也可“知三求二”，體會方程思想。

例2：等比數列{ an }中，已知a3＝3/2，S3＝9/2，求a1與q。

【設計意圖】：注意公式中的分類討論思想。

例3：求數列{n+ }的前n項和。

【設計意圖】：將未知問題轉化爲已知問題，進一步體會等比數列前n項和公式的應用。

練習1：求等比數列“等比數列的前n項和”前8項和；

練習2：a3= ，S9= ，求a1和q；

練習3：求數列{n+an}的前n項和。

（先由學生獨立求解，然後抽學生板演，教師巡視、指導，講評學生完成情況，尋找學生中的閃光點，給予適時的表揚。)

【設計意圖】：通過練習，深化認識，增加思維的梯度的同時，提高學生的模式識別能力，滲透轉化思想．

（六）總結歸納，加深理解

問題10:這節課你有什麼收穫？學到了哪些知識和方法？

【設計意圖】：以問題的形式出現，引導學生回顧公式、推導方法，鼓勵學生積極回答，然後老師再從知識點及數學思想方法等方面總結。以此培養學生的口頭表達能力，歸納概括能力。

（學生小結歸納，不足之處老師補充說明。）

1．公式：等比數列前n項和

當q≠1時，Sn= =

當q=1時， Sn=na1

2．方法：錯位相減法（乘以公比）

3．思想：分類討論（公式選擇）

（七）故事結束，首尾呼應

最後我們回到故事中的問題，可以計算出國王獎賞的小麥約爲1.84×1019粒，大約7000億噸，用這麼多小麥能從地球到太陽鋪設一條寬10米、厚8米的大道，大約是全世界一年糧食產量的459倍，顯然國王兌現不了他的承諾了。

【設計意圖】：把引入課題時的懸念給予釋疑，有助於學生克服疲倦、繼續積極思維。

（八）課後作業，分層練習

（1）閱讀本節內容，預習下一節內容；

（2） 書面作業：習題P30 8 。10；

（3）拓展作業：求和：“等比數列的前n項和”

【設計意圖】：出選作題的目的是注意分層教學和因材施教，讓學有餘力的學生有思考的空間。