高二等比數列的概念、通項公式、性質
高二等比數列的概念、通項公式、性質
教學目標:理解掌握等比數列概念;通項公式的應用,類比等差數列體會性質的生成過程,並熟練應用;
教學重、難點:本節重點在於性質的掌握難點在於通項公式和性質的應用;
1.等比數列的定義
如果一個數列從__第2項__起,每一項與它的前一項的比都等於__同一個常數__,那麼這個數列叫做等比數列,這個常數叫做等比數列的__公比__,公比通常用字母__q__表示.
2.等比數列的遞推公式與通項公式
已知等比數列{an}的首項爲a1,公比爲q(q≠0),
填表:
遞推公式 | 通項公式 |
=__q__(n≥2) | an=__a1qn-1__ |
3.等比中項
(1)如果三個數x,G,y組成__等比數列__,則G叫做x和y的等比中項.
(2)如果G是x和y的等比中項,那麼__G2=xy__,即__G=±__.
1 ⇨等比數列的通項公式
例題1已知等比數列{an},若a1+a2+a3=7,a1a2a3=8,求an.
解法二:∵a1a3=a,∴a1a2a3=a=8,∴a2=2.
從而,解之得a1=1,a3=4,或a1=4,a3=1,當a1=1時,q=2;當a1=4時,q=.故an=2n-1,或an=23-n.
⇨等比數列的判定與證明
(1)求證{bn}是等比數列;
(2)求{an}的通項公式.
『規律總結』 判定數列是等比數列的常用方法
(1)定義法:=q(常數)或=q(常數)(n≥2)⇔{an}爲等比數列.
(2)等比中項法a=an·an+2(an≠0,n∈N*)⇔{an}爲等比數列.
(3)通項法:an=a1qn-1(其中a1、q爲非零常數,n∈N*)⇔{an}爲等比數列.
忽視等比中項的符號致錯
等比數列的性質
1.等比數列的項與序號的關係(1)兩項關係通項公式的推廣:an=am·__qn-m__(m、n∈N*).(2)多項關係項的運算性質
若m+n=p+q(m、n、p、q∈N*),則am·an=__ap·aq__.特別地,若m+n=2p(m、n、p∈N*),則am·an=__a__.
2.等比數列的項的對稱性 有窮等比數列中,與首末兩項“等距離”的兩項之積等於首末兩項的積(若有中間項則等於中間項的平方),即a1·an=a2·__an-1__=ak·__an-k+1__=a(n爲正奇數).
3.等比數列的運算數列的性質
(1)若{an}是公比爲q的等比數列,則①{c·an}(c是非零常數)是公比爲__cq__的等比數列;②{|an|}是公比爲__|q|__的等比數列.
(2)若{an}、{bn}分別是公比爲q1、q2的等比數列,則數列{an·bn}是公比爲__q1·q2__的等比數列.4.等比數列的單調性
(1)當a1>0,q>1或a1<0,0<q<1時,等比數列{an}爲遞__增__數列;
(2)當a1>0,0<q<1或a1<0,q>1時,等比數列{an}爲遞__減__數列;
(3)當q=1時,數列{an}是常數列;(4)當q<0時,數列{an}是擺動數列.
『規律總結』 (1)若{an}爲等比數列,則{},{|an|},{a},{pan}(p≠0),{anan+k}均爲等比數列;(2)若{an},{bn}均爲等比數列,則{anbn},{}都是等比數列.
(3)若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則am·an=ap·aq.
(4)若等比數列的下標具有某種規律時,應考慮應用性質求解.
『規律總結』 等比數列中的設項方法與技巧
(1)若三個數成等比數列,可設三個數爲a,aq,aq2或,a,aq.
(2)若四個數成等比數列,可設爲a,aq,aq2,aq3;若四個數均爲正(負)數,可設,,aq,aq3.忽視等比數列中奇數項符號相同、偶數項符號相同而致錯
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