新版題庫（新版多篇）

知識擴展 篇一

如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比等於同一個常數，且每一項都不爲0(常數)，這個數列就叫做等比數列。這個常數叫做等比數列的公比，公比通常用字母q表示 [

數列專題 篇二

數列專題

朱立軍

1、設數列{an}的前n項和爲Sn，a1＝1，Sn＝nan－2n(n－1)． (1)求數列{an}的通項公式an；

（2）設數列 

1a 的前n項和爲T1

1n，求證：nan＋15≤Tn＜

42、設數列a

2n1n滿足a1＋3a2＋3a3＋…＋3an

＝n

3，a∈N*。(1)求數列an的通項； (2)設bn

n＝

a，求數列bn的前n項和Sn。 n3、在數列{a*

n}中，a1＝3，an＝－an-1－2n＋1 (n≥2且n∈N)。(1)求a2，a3的值；

（2）證明：數列{an＋n}是等比數列，並求{an}的通項公式； (3)求數列{an}的前n項和Sn.

4、已知數列{a項和S1211*

n}的前nn＝2n

2，數列{bn}滿足bn+2－2bn+1＋bn＝0(n∈N)，且b3＝11，前9

項和爲153.(1)求數列{an}、{bn}的通項公式； (2)設cn＝

3n

－

n

－，數列{cn}的前n項和爲Tn，若對任意正整數n，Tn∈[a，b]，求b－a的最小值．

5、已知點(1,2)是函數f(x)＝ax

(a＞0且a≠1)的圖象上一點，數列{an}的前n項和Sn＝f(n)－1.(1)求數列{an}的通項公式；

（2）若bn＝logaan+1，求數列{anbn}的前n項和Tn.

6、已知數列{aa*

n }中，1=2，對於任意的p,q∈N，都有apqapaq. (1)求數列{an}的通項公式；

（2）令b*

*

n＝ln an (n∈N)，是否存在k(k∈N)，使得bk、bk+

1、bk+2成等比數列？若存在，求出所

有符合條件的k的值，若不存在，請說明理由； (3)令cn＝

1aa，S{c*n

n爲數列n}的前n項和，若對任意的n∈N，不等式tSn

1立，求實數t的取值範圍．

7、已知數列{a滿足：a2n

n}和{bn}1＝λ，an+1＝

3an＋n－4，bn＝（－1）(an－3n＋21)，其中λ爲實數，n爲正整數。(1) 對任意實數λ，證明數列{an}不是等比數列；

（2） 試判斷數列{bn}是否爲等比數列，並證明你的結論。

數列專題答案

1．(1)解 由Sn＝nan－2n(n－1)得an＋1＝Sn＋1－Sn＝(n＋1)an＋1－nan－4n， 即an＋1－an＝4.∴數列{an}是以1爲首項，4爲公差的等差數列， ∴an＝4n－3.

（2）證明 T11111

11n＝a＋…＋＋1

1a2a2a3anan＋11×55×99×13

－

＋

1－***14n－3－14n＋1

＝114

1－4n＋11＜4.

又易知T111

n單調遞增，故Tn≥T1＝5，得5≤Tn

42．解析：(1)a

2an-1

n

1＋3a2＋33＋…＋3an＝3

①

a＋3a＋32aan1n-1

11123＋…＋3n-2 n-1＝3 ②， ①-②得3an =3,所以an3

n(n≥2)。

經過驗證當n=1也成立，因此a1

n3

n.

（2） bna=n3n,利用錯位相減法可以得到S(2n1n＝

n)3n13. n

443．(1)解：∵a*

1＝3，an＝－an－1－2n＋1 (n≥2，n∈N)，∴a2＝－a1－4＋1＝－6，a3＝－a2－6＋1＝

1、(2)證明 ∵an＋n－an－1－2n＋＋n

aa

n－1＋－n－1＋n－1

＝－an－1－n＋1a＝－1， n－1＋n－1

∴數列{a＋1＝4，公比爲－1的等比數列。 ∴an－1

n＋n}是首項爲a1n＋n＝4·（－1），即an＝4·（－1）n－1－n，∴{a1)n－1－n (n∈N*

n}的通項公式爲an＝4·(－)。

n

（3）解 ∵{an－1

n}的通項公式爲an＝4·（－1）

－n (n∈N*

)，所以Sn＝∑ak＝

k＝1

n

n

n

n

∑[4·（－1）

k－1

－k] ＝∑[4·（－1）

k－1

]－∑k＝4×

1－－

－

＋

k＝1

k＝1

k＝1

1－－2

＝2[1－（－1）n

]－

12

(n2

＋n) ＝－n＋n－4n

2（－1）。

4．解 (1)因爲S1211

n＝2＋2

n，當n≥2時，an＝Sn－Sn-1＝n＋5，當n＝1時a1＝S1＝6，滿足上式，所以an＝n＋5，又因爲bn+2－2bn-1＋bn＝0， 所以數列{bn}爲等差數列，由S＋b

79＝

153，b3＝11，故b7＝23， 所以公差d＝23－11

7－33，所以bn＝b3＋(n－3)d＝3n＋2，(2)由(1)知c3

n＝

111n

－

n

－

－

＋

212n－12n＋1，所以T1n＝c1＋c2＋…＋cn＝111121－3＋35＋…＋2n－112n＋1

＝11121－2n＋1＝n2n＋1，又因爲Tn＋1nn＋1－Tn＝2n＋32n＋1＝＋

＋

0，所以{T1n}單調遞增，故(Tn)min＝T13

而Tn＝

n2n＋1n2n121312n，Ta的最大值爲1

nn∈[a，b]時3，b的最小值爲12(b－a)＝111min236

5．解 (1)把點(1,2)代入函數f(x)＝ax得a＝2，所以數列{an項和爲Sn

n}的前n＝f(n)－1＝2－1.

當n＝1時，ann－1n-1

1＝S1＝1；當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝2－2＝2，對n＝1時也適合．∴an-1

n＝2.

（2）由a＝2，b＝log，所以an-1

naan+1得bn＝nnbn＝n·2.

T01＋3·22＋…＋n·2n-1

n＝1·2＋2·2，①

2T12＋3·23＋…＋(n－1)·2n－1＋n·2n

n＝1·2＋2·2②

由①－②得：－T0＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n，所以T＝(n－1)2n

n＝2n＋1.

6．解 本題主要考查等差數列、等比數列和利用不等式知識解答恆成立問題等知識，考查運算求解

能力、推理論證能力，以及分類討論的數學思想．解答存在性問題的基本策略是先假設存在，然後結合已知條件展開證明．

（1）令p＝1，q＝n，則有an+1＝an＋a1，故an+1－an＝a1＝2，即數列{an}是以2爲首項，2爲公差的等

差數列，所以數列{a*

n}的通項公式爲an＝2n(n∈N)．

（2)假設存在k(k∈N*），使得b 2*

k、bk+

1、bk+2成等比數列，則bkbk＋2＝bk＋1(k∈N)．

因爲bln a*

n＝n＝ln 2n(n∈N)，所以b＋

kbk+2＝ln 2k·ln 2(k＋2)<ln 2k＋

2＋

2

22＝

22＋<22

＝

[ln 2(k＋1)]2＝b 2b2*

k＋1，這與bkbk+2＝k＋1矛盾．故不存在k(k∈N)，使得bk、bk+

1、bk＋2成等比數列．

（3）因爲c111n＝a＝＝nan＋1＋41n1n＋1 ，所以S＝111n111

23

141－2＋＋…＋nn＋1＝

41－1n＋1

＝n＋n爲偶數時，若對任意的n∈N*，不等式tSn

n

t<＋＋n4n＋9n＋10，而4n＋9n＋10≥4n·9n＋10＝64，當且僅當n＝9

n

n＝3時，等號成立，故t<64；

當n爲奇數時，若對任意的n∈N*，不等式tSn

－＋n

＝4n－9n8，因爲n－99nn的增大而增大，所以當n＝1時，n－n取得最小值－8，此時t需滿足t<－64.

綜上知，實數t的取值範圍爲（－∞，－64）。

7．(1)證明 假設存在一個實數λ，使{a2

n}是等比數列，則有a 2＝a1a3，即23－32＝λ49－4



⇔492－4λ＋9＝42

9

λ－4λ⇔9＝0，矛盾，所以{an}不是等比數列。 (2)解 因爲b＝（－1）n+1[an+1n＋1－3(n＋1)＋21] ＝（－1）2

n＋13an－2n＋14

＝－2n

23（－1）·(an－3n＋21) ＝－3

n.

又b*

1＝－（λ＋18），所以當λ＝－18時，bn＝0 (n∈N)，此時{bn}不是等比數列；

當λ≠－18時，b2bn＋12*

1＝－（λ＋18）≠0，由bn＋13n. 可知bn≠0，所以b＝－ (n∈N)。故當λ≠

n3－18時，數列{b2

n}是以－（λ＋18）爲首項，－3爲公比的等比數列。

已知x大於 篇三

已知x大於0，y大於0，且2x+5y=20求lgx+lgy的最大值

方法一：

因爲lgx，lgy有意義

所以x>0,y>0

由均值不等式

2x+5y≥2√(2x*5y)=2√(10xy)

即20≥2√10xy

解得xy≤10

lgx在（0,+∞）上是單調增函數

lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1

所以lgx+lgy的最大值爲1

方法二：

由2x+5y=20的x=(20-5y)/2

xy=(20-5y)(y/2)=-(5/2)(y-2)^2+10

當y=2時，xy有最大值10

即xy≤10

lgx+lgy=lg(xy)≤lg10=1

所以lgx+lgy的最大值是1

已知等差數列 篇四

1、已知等差數列｛an｝滿足a1+a2+a3+…+a101=0,則有

A.a1+a101>0 B.a2+a100<0 C.a3+a99=0 D.a51=51

2、在等差數列｛an｝中，a1+3a8+a15=120,則3a9-a11的值爲____

3、在等差數列｛an｝中，Sn=n平方+3n+C則S5等於

A.15 B.25 C.40 D.不能確定

4、設數列｛an｝是等差數列，Sn是其前n項的和，且S5S8,則下列結論中錯誤的是

5 D.S6和S7均爲Sn的最大值

5、已知在等差數列｛an｝中，a1=1,S3=6,則a5的值爲____

6、已知等差數列｛an｝的通項公式是an=kn-3,並且它的第8項是-7，則它的第14項是____

7、已知等差數列｛an｝的公差爲1，且a1+a2+a3+…+a99=99,則a3+a6+a9+…+a99=____

8、定義“等和數列”：在一個數列中，如果每一項與它的後一項的和都爲同一個常數，那麼這個數列叫做等和數列，這個常數叫做該數列的公和。

已知數列｛an｝是等和數列，且a1=2,公和爲5，那麼a18的值爲____,這個數列的前n項和Sn的計算公式爲_____

1、在等差數列{an}中，已知a5=-1，a8=2求a1於d

2、在等差數列{an}中，若a2+a3+a4+a5=34，且a2×a5=52，求此數列的通項公式

3、設一元二次方程（b-c)x∧2+(c-a)x+a-b有兩個相等的實根。求證：abc互爲等差數列

http:///math/Article_

已知數列 篇五

已知數列{an}的前n項和爲Sn，且an＋Sn＝n.

（1）設cn＝an－1，求證：{cn}是等比數列；

已知數列{an}，則“an，an＋1，an＋2（n∈N*）成等比數列”是“a2n＋1＝anan＋2”的()

A．充分不必要條件B．必要不充分條件

C．充要條件D．既不充分也不必要條件

a2n＋1若數列{an}滿足＝p（p爲正常數，n∈N*），則稱數列{an}爲“等方比數列”．甲：數an

列{an}是等方比數列；乙：數列{an}是等比數列，則甲是乙的()

A．充分不必要條件

B．必要不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件

已知數列{an}的前n項和爲Sn，且Sn＝4an－3（n∈N*）．

（1）證明：數列{an}是等比數列；

1．（2012·大綱全國卷）已知數列{an}的前n項和爲Sn，a1＝1，Sn＝2an＋1，則Sn＝()

A．2n1－3n－1B.2

1－22n－1C.3

已知數列{an}是等差數列,設bn=a2n 1-a2n證明：數列{bn}是等差數列 篇六

已知數列{an}是等差數列，設ｂｎ＝ａ²n+1－ａ²n證明：數列｛ｂn｝是等差數列

思路：這個題的方法和上課講的方法是一致的，你沒有做出來，是因爲忽略了數列{an}是等差數列這個條件，這個條件就以爲着對於{an}來說，前後兩項的差爲常數

證明：設等差數列{an}的公差爲d

bn1bn

2222(an2an1)(an1an)

(an2an1)(an2an1)(an1an)(an1an)

d(an2an1)d(an1an)

d(an2an1an1an)

d(an2an)

d2d

2d2

⊙已知函數ｆ﹙ｘ）＝ｘ3＋ｘ，ｇ（ｘ）＝（ｘ2＋ａｘ＋4）÷ｘ （1）若對任意的ｘ1屬於【1，3】，存在ｘ2屬於【1，3】，使得ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求ａ的取值範圍。

（2）若對任意的ｘ1，ｘ2屬於【1，3】都有ｆ（ｘ1）≥ｇ（ｘ2）成立，求ａ的取值範圍。思路：第2問是恆成立問題，你說的對，第一個問不是。因爲是“存在ｘ2”，所

以應該滿足的條件是f(x)的最大值大於等於g(x)的最大值，f(x)的最小值大於等於g(x)的最小值，解：f(x)通過求導可求得值域爲f(x1)[2,30]，g(x2)x4a[4a,5a] x

305a所以（1）解不等式，解不等式即可 24a

（2）25a，解不等式即可

⊙設ｍ屬於Ｒ，在平面直角座標系中，已知向量ａ＝（ｍｘ，ｙ＋1），向量ｂ＝（ｘ，ｙ－1），向量ａ⊥向量ｂ，動點Ｍ（ｘ，ｙ）的軌跡爲Ｅ。

已知ｍ＝1／4，證明：存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌跡Ｅ恆有兩個交點Ａ，Ｂ，且ＯＡ⊥ＯＢ(Ｏ爲座標原點），並求出該圓的方程。

思路：該題就是一個“直線和圓錐曲線相交”的問題，方法是韋達定理法。關於解析幾何的大題，我會在寒假的時候，重點訓練大家的，這種題的特點是運算量大，思路倒是沒有什麼問題。先根據向量垂直，求出M的軌跡方程爲橢圓。然後在根據圓的性質：切點與圓心的連線與切線垂直，切點與圓心的距離等於半徑，再加上向量垂直，即可求解。

12x2

222y21 解：bxy10x4y444

設圓的切線的切點座標爲P(x0,y0)，則k0Py0x，因爲OP和AB垂直，所以kAB0，x0y0則設直線AB的方程：yy0x0(xx0)帶入到橢圓方程中，得： y0

2(y04x0)x8x0rx4r4y00x1x2222248x0r2

y04x022,x1x24r44y0y04x0222

r2x0x1r2x0x2又因爲0A0Px1x2y1y20x1x2（)(）0y0y0

x1x2r2x0(x1x2)0

將上面求得的x1x28x0r2

y04x022,x1x24r44y0y04x0222帶入到上式中，整理可求得

r24422，即圓的方程爲xy 55

⊙設ａ＞1，則雙曲線ｘ²÷ａ²－ｙ²÷（ａ＋1）²＝1的離心率ｅ的取值範圍是？ a2(a1)21解：e2a25 aa

總結；最後求範圍是根據對勾函數求的，如果不懂，可以參考函數課程中的“分式函數”這節課。