關於數學史的論文參考【多篇】

數學史的論文參考 篇一

淺談流形概念的演變與理論發展

一、引 言

流形是 20 世紀數學有代表性的基本概念，它集幾何、代數、分析於一體，成爲現代數學的重要研究對象。 在數學中，流形作爲方程的非退化系統的解的集合出現，也是幾何的各種集合和允許局部參數化的其他對象。〔1〕53物理學中，經典力學的相空間和構造廣義相對論的時空模型的四維僞黎曼流形都是流形的實例。

流形是局部具有歐氏空間性質的拓撲空間，粗略地說，流形上每一點的附近和歐氏空間的一個開集是同胚的，流形正是一塊塊歐氏空間粘起來的結果。 從整體上看，流形具有拓撲結構，而拓撲結構是“軟” 的， 因爲所有的同胚變形會保持拓撲結構不變，這樣流形具有整體上的柔性，可流動性，也許這就是中文譯成流形(該譯名由着名數學家和數學教育學家江澤涵引入)的原因。

流形作爲拓撲空間，它的起源是爲了解決什麼問題？ 是如何解決的？ 誰解決的？ 形成了什麼理論？這是幾何史的根本問題。 目前國內外對這些問題已有一些研究〔1-7〕，本文在已有研究工作的基礎上，對流形的歷史演變過程進行了較爲深入、細緻的分析，並對上述問題給予解答。

二、流形概念的演變

流 形 概 念 的 起 源 可 追 溯 到 高 斯 (s,1777-1855)的內蘊幾何思想 ,黎曼(ann,1826-1866)繼承並發展了的高斯的想法，並給出了流形的描述性定義。 隨着集合論和拓撲學的發展，希爾伯特(ert,1862-1943)用公理化方案改良了黎曼對流形的定義， 最終外爾(,1885-1955)給出了流形的嚴格數學定義。

1. 高斯-克呂格投影和曲紋座標系

十八世紀末及十九世紀初，頻繁的拿破崙戰爭和歐洲經濟的發展迫切需要繪製精確的地圖，於是歐洲各國開始有計劃地實施本國領域的大地測量工作。 1817 年，漢諾威政府命令高斯精確測量從哥廷根到奧爾頓子午線的弧長， 並繪製奧爾頓的地圖，這使得高斯轉向大地測量學的問題與實踐。 高斯在繪製地圖中創造了高斯-克呂格投影， 這是一種等角橫軸切橢圓柱投影，它假設一個橢圓柱面與地球橢球體面橫切於某一條經線上，按照等角條件將中央經線東、西各 3°或 1.5°經線範圍內的經緯線投影到橢圓柱面上， 然後將橢圓柱面展開成平面。

採用分帶投影的方法，是爲了使投影邊緣的變形不致過大。 當大的控制網跨越兩個相鄰投影帶，需要進行平面座標的鄰帶換算。 高斯-克呂格投影相當於把地球表面看成是一塊塊平面拼起來的， 並且相鄰投影帶的座標可以進行換算。 這種繪製地圖的方式給出了“流形”這個數學概念的雛形。

大地測量的實踐導致了高斯曲面論研究的豐富成果。 由於地球表面是個兩極稍扁的不規則橢球面，繪製地圖實際上就是尋找一般曲面到平面的保角映射。 高斯利用複變函數，得出兩個曲面之間存在保角映射的充要條件是兩個曲面的第一類基本量成比例。 高斯關於這一成果的論文《將一給定曲面投影到另一曲面而保持無窮小部分相似性的一般方法》 使他獲得了 1823 年哥本哈根科學院的大獎，也使他注意到當比例常數爲 1 時，一個曲面可以完全展開到另一個曲面上。 高斯意識到這個成果的重要性，在論文的標題下面寫下了一句話：“這些結果爲重大的理論鋪平了道路。 ”〔8〕189這裏重大的理論就是高斯後來建立的內蘊幾何學。

全面展開高斯的內蘊幾何思想的是他 1827 年的論文《關於曲面的一般研究》，這是曲面論建立的標誌性論述。〔2〕163高斯在這篇文章中有兩個重要創舉：第一，高斯曲率只依賴於曲面的度量，即曲面的第一基本形式；第二，測地三角形內角和不一定等於 180°，它依賴於三角形區域的曲率積分。 高斯的發現表明，至少在二維情況下可以構想一種只依賴於第一基本形式的幾何，即曲面本身就是一個空間而不需要嵌入到高維空間中去。〔3〕32,〔4〕308高斯在這兩篇論文中都使用曲紋座標(u,v)表示曲面上的一個點，這相當於建立了曲面上的局部座標系。 突破笛卡爾直角座標的侷限性是高斯邁出的重要一步，但問題是：曲紋座標只適用於曲面的局部，如果想使曲面上所有的點都有座標表示，就需要在曲面上建立若干個局部座標系，那麼這些座標系是否彼此協調一致？ 這是高斯的幾何的基礎。 高斯當時不具備足夠的數學工具來發展他的幾何構想，但高斯對空間的認識深刻地影響了黎曼。

2. 黎曼的“關於幾何基礎的假設”

黎曼在 1851 年的博士論文 《單複變函數的一般理論》中，爲研究多值解析函數曾使用黎曼面的概念，也就是一維複流形，但流形是什麼還沒有定義。 在高斯的幾何思想和赫巴特(art,1776-1841)的哲學思想的影響下 ,黎曼 1854 年在哥廷根做了着名演講《關於幾何基礎的假設》，演講中他分析了幾何的全部假設，建立了現代的幾何觀。〔5〕2全文分三部分，第一部分是 n 維流形的概念，第二部分是適用於流形的度量關係，第三部分是對空間的應用。

黎曼在開篇中提到：“幾何學事先設定了空間的概念， 並假設了空間中各種建構的基本原則。 關於這些概念，只有敘述性的定義，重要的特徵則以公設的形態出現。 這些假設(諸如空間的概念及其基本性質)彼此之間的關係尚屬一篇空白；我們看不出這些概念之間是否需要有某種程度的關聯，相關到什麼地步，甚至不知道是否能導出任何的相關性。 從歐幾里得到幾何學最着名的變革家雷建德，這一領域無論是數學家還是哲學家都無法打破這個僵局。 這無疑是因爲大家對於多元延伸量的概念仍一無所知。 因此我首先要從一般量的概念中建立多元延伸量的概念。 ”〔9〕411從開篇中我們可以看到黎曼演講的目的所在：

建立空間的概念，因爲這是幾何研究的基礎。 黎曼爲什麼要建立空間的概念？ 這與當時非歐幾何的發展有很大關係。 羅巴切夫斯基(tchevsky,1793-1856) 和波約 (ai,1802-1860) 已經公開發表了他們的非歐幾何論文，高斯沒有公開主張非歐幾何的存在，但他內心是承認非歐幾何並做過深入思考的。 然而就整個社會而言，非歐幾何尚未完全被人們接受。 黎曼的目的之一，是以澄清空間是什麼這個問題來統一已經出現的各種幾何；並且不止如此，黎曼主張一種幾何學的全局觀：作爲任何種類的空間裏任意維度的流形研究。

黎曼在第一部分中引入了 n 維流形的概念。 他稱 n 維流形爲 n 元延伸量，把流形分爲連續流形與離散流形，他的研究重點是把連續流形的理論分爲兩個層次，一種是與位置相關的區域關係，另一種是與位置無關的大小關係。 用現代術語來講，前者是拓撲的理論，後者是度量的理論。 黎曼是如何構造流形呢？他的造法類似於歸納法，n+1 維流形是通過 n 維流形同一維流形遞歸地構造出來的； 反過來，低維流形可以通過高維流形固定某些數量簡縮而成。 這樣每一個 n 維流形就有 n 個自由度，流形上每一點的位置可以用 n 個數值來表示，這 n 個數值就確定了一個點的局部座標。 黎曼這種構造流形的方法顯然是受到赫巴特的影響。 赫巴特在《論物體的空間》中提到：

“ 從一個維度前進到另一個維度所依據的方法，很明顯是一個始終可以繼續發展的方法，然而現在還沒有人會想到按空間的第三個維度去假設空間的第四個維度。 ”〔10〕197可看出黎曼受到赫巴特的啓發並突破了三維的限制按遞歸的方法構造了 n 維流形， 這種構造方法體現了幾何語言高維化的發展趨勢。 從本質上講， 黎曼的 “流形” 概念與當時格拉斯曼 (H. smann,1809-1877) 的 “ 擴張 ” 概念和施萊夫利(L. Schlafli,1814-1895)的 “連續體 ”概念基本一致 .〔6〕83流形應具有哪些特徵呢？ 黎曼提到：

“把由一個標記或者由一條邊界確定的流形中的特殊部分稱爲量塊(Quanta)，這些量塊間數量的比較在離散情形由數數給出，在連續情形由測量給出。 測量要求參與比較的量能夠迭加，這就要求選出一個量，作爲其他量的測量標準。 ”〔9〕413黎曼在此使用的量塊體現了現在拓撲學中的鄰域概念的特徵，“參與比較的量能夠迭加”則是要求兩個量塊重疊的部分有統一的測量標準， 即保證任意兩個局部座標系的相容性，這在後來由希爾伯特發展爲 n 維流形局部與 n 維歐氏空間的同胚。 黎曼這種引入點的座標的方法並不是很清晰的，這種不清晰來自他缺乏用鄰域或開集來覆蓋流形進而建立局部座標系的思想。11〕8在文章第二部分黎曼討論了流形上容許的度量關係。 他在流形的每一點賦予一個正定二次型，藉助高斯曲率給出相應的黎曼曲率概念。 進一步，黎曼陳述了一系列曲率與度量的關係。 曲面上的度量概念， 等價於在每一點定義一個正定的二次型，亦稱爲曲面的第一基本形式。 自高斯以來，第一基本形式的內蘊幾何學幾乎一直佔據着微分幾何的中心位置。 從後來的希爾伯特和外爾的流形的定義可看出，他們都延續了高斯的內蘊幾何思想。

3. 希爾伯特的公理化方法

從 19 世紀 70 年代起，康托爾(G. Cantor,1845-1918)通過系統地研究歐幾里得空間的點集理論，創立了一般集合論，給出了許多拓撲學中的概念。 康托爾的研究爲點集拓撲學的誕生奠定了基礎，這使得希爾伯特能夠利用一種更接近於拓撲空間的現代語言發展流形的概念。 希爾伯特在 1902 年的着作《幾何基礎》中引進了一個更抽象的公理化系統，不但改良了傳統的歐幾里得的《幾何原本》，而且把幾何學從一種具體的特定模型上升爲抽象的普遍理論。在這部着作中他嘗試以鄰域定義二維流形(希爾伯特稱之爲平面， 而把歐氏平面稱爲數平面)，提出了二維流形的公理化定義：

“平面是以點爲對象的幾何， 每一點 A 確定包含該點的某些子集，並將它們叫做點的鄰域。

(1) 一個鄰域中的點總能映射到數平面上某單連通區域，在此方式下它們有唯一的逆。 這個單連通區域稱爲鄰域的像。

(2)含於一個鄰域的像之中而點 A 的像在其內部的每個單連通區域， 仍是點 A 的一個鄰域的像。若給同一鄰域以不同的像，則由一個單連通區域到另一個單連通區域之間的一一變換是連續的。

(3)如果 B 是 A 的一個鄰域中的任一點 ,則此鄰域也是 B 的一個鄰域。

(4)對於一點 A 的任意兩個鄰域 ,則存在 A 的第三個鄰域，它是前兩個鄰域的公共鄰域。

(5)如果 A 和 B 是平面上任意兩點 ,則總存在A 的一個鄰域它也包含 B. ”

〔12〕150可以看出在希爾伯特的定義中，(1)和(2)意味着在平面(二維流形)的任意一點的鄰域到數平面(歐氏平面)的某單連通區域上都能建立同胚映射。 (3)-(5)意圖是要在平面(二維流形)上從鄰域的角度建立拓撲結構。 希爾伯特的定義延續了黎曼指明的兩個方向：流形在局部上是歐氏的(這一點黎曼已經以量塊迭加的方式提出)，在整體上存在一個拓撲結構。 這個拓撲結構希爾伯特顯然要以公理的方法建立 (這一工作後來由豪斯道夫完成，豪斯道夫發展了希爾伯特和外爾的公理化方法，在 1914 年的着作《集論基礎》 中以鄰域公理第一次定義了拓撲空間)，〔13〕249但與豪斯道夫的鄰域公理相比， 他的定義還不完善，比如(3)中描述的實際上是開鄰域。 另外，他沒有提流形須是一個豪斯道夫空間。希爾伯特已經勾勒出流形的基本框架，隨着拓撲學的發展，外爾完善了希爾伯特的工作，給出了流形的現代形式的定義。

4. 外爾對流形的現代形式的定義

(a) 給定一個稱爲”流形 F 上的點“的集合，對於流形 F 中的每一點 p,F 的特定的子集稱爲 F 上點 p 的鄰域。點 p 的每一鄰域都包含點 p,並且對於點 p 的任意兩個鄰域，都存在點 p 的一個鄰域包含於點 p 的那兩個鄰域中的每一個之內。 如果 U0是點 p0的一個鄰域，並且點 p 在 U0內，那麼存在點 p的一個鄰域包含於 U0. 如果 p0和 p1是流形 F 上不同的兩個點， 那麼存在 p0的一個鄰域和 p1的一個鄰域使這兩個鄰域無交，也就是這兩個鄰域沒有公共點。

(b) 對於流形 F 中每一定點 p0的每一個鄰域U0,存在一個從 U0到歐氏平面的單位圓盤 K0(平面上具有笛卡爾座標 x 和 y 的單位圓盤 x2+y2<1)內的一一映射，滿足(1)p0對應到單位圓盤的中心；(2)如果 p 是鄰域 U0的任意點，U 是點 p 的鄰域且僅由鄰域 U0的點組成， 那麼存在一個以 p 的像 p′作爲中心的圓盤 K, 使得圓盤 K 中的每一點都是 U中一個點的像；(3)如果 K 是包含於圓盤 K0中的一個圓盤，中心爲 p′，那麼存在流形 F 上的點 p 的鄰域 U,它的像包含於 K. ”〔15〕17可以看出，(a)從鄰域基的角度定義了 F 是一個豪斯道夫空間。 (b)中的映射爲一一的、雙向連續的(即同胚)映射，這樣(b)定義了 F 中任意一點都有一個鄰域同胚於歐氏空間中的一個開集)本站○(。 外爾給出的這個定義正是現代形式的流形的定義，儘管外爾的定義是針對二維的情形，但本質上給出了流形精確的數學語言的定義， 並且推廣到高維沒有任何困難。

一般認爲，高維流形的公理化定義由維布倫(en,1880-1960) 和 懷 特 黑 德 (ehead,1861-1947)於 1931 和 1932 年給出，即把流形作爲帶有最大座標卡集和局域座標連續以及各階可微變換的點集。 實際上，這種看法沒有足夠重視外爾1919 年對黎曼講演的註釋， 特別是未能利用外爾1925 年的長文《黎曼幾何思想》。 事實上，除了未對高階微分結構予以明確區分外，外爾的註釋和長文中實質上包含了高維微分流形的定義。

三、流形理論的發展

我們上面提到的流形指拓撲流形，它的定義很簡單，但很難在它上面工作，拓撲流形的一種---微分流形的應用範圍較廣。 微分流形是微分幾何與微分拓撲的主要研究對象，是三維歐氏空間中曲線和曲面概念的推廣。 可以在微分流形上賦予不同的幾何結構(即一些特殊的張量場)，對微分流形上不同的幾何結構的研究就形成了微分幾何不同的分支。 常見的有：

1. 黎曼度量和黎曼幾何

仿緊微分流形均可賦予黎曼度量，且不是惟一的。 有了黎曼度量，微分流形就有了豐富的幾何內容，就可以測量長度、面積、體積等幾何量，這種幾何稱爲黎曼幾何。黎曼這篇《關於幾何學基礎的假設》的就職演說，通常被認爲是黎曼幾何學的源頭。 但在黎曼所處的時代，李羣以及拓撲學還沒有發展起來，黎曼幾何只限於小範圍的理論。 大約在 1925 年霍普夫(,1894-1971)纔開始對黎曼空間的微分結構與拓撲結構的關係進行研究。 隨着微分流形精確概念的確立，特別是嘉當(an,1869-1951)在 20世紀 20 年代開創並發展了外微分形式與活動標架法， 李羣與黎曼幾何之間的聯繫逐步建立了起來，並由此拓展了線性聯絡及纖維叢的研究。

2.近復結構和復幾何

微分流形 M 上的一個近復結構是 M 的切叢TM 的一個自同構，滿足 J·J=-1. 如果近復結構是可積的，那麼就可以找到 M 上的全純座標卡，使得座標變換是全純函數， 這時就得到了一個複流形，複流形上的幾何稱爲復幾何。

3. 辛結構和辛幾何

微分流形上的一個辛結構是一個非退化的閉的二次微分形式，這樣的流形稱爲辛流形，辛流形上發展起來的幾何稱爲辛幾何。 與黎曼幾何不同的是，辛幾何是一種不能測量長度卻可以測量面積的幾何，而且辛流形上並沒有類似於黎曼幾何中曲率這樣的局部概念，這使得辛幾何的研究帶有很大的整體性。 辛幾何與數學中的代數幾何，數學物理，幾何拓撲等領域有很重要的聯繫。

四、結 語

以上談到的是流形的公理化定義的發展歷史，其線索可概括爲高斯---黎曼---希爾伯特---外爾。 導致流形概念誕生的根本原因在於對空間認識的推廣：從平直空間上的幾何，到彎曲空間上的流形概念的歷史演變幾何，再到更抽象的空間---流形上的幾何。 流形概念的一步步完善與集合論和拓撲學的發展，特別是鄰域公理的建立密不可分，(微分) 流形已成爲微分幾何與微分拓撲的主要研究對象，並發展成多個分支，如黎曼幾何、復幾何、辛幾何等。 所以說，幾何學發展的歷史就是空間觀念變革的歷史，伴隨着一種新的空間觀念的出現和成熟，新的數學就會在這個空間中展開和發展。

參考文獻

〔1〕 陳惠勇。流形概念的起源與發展[J].太原理工大學學報，2007(3)：53-57.

〔2〕 ine of a History of Differential Geometry[J],1933(20)：161-191.

〔3〕 concept of manifold,1850 -1950 [C]//ory of erdam:Elsevier Science Publisheres,1999:25-64.

〔4〕 [德]莫里斯·克萊因。古今數學思想：第三冊[M].萬偉勳，石生明，孫樹本，等，譯。上海：上海科學技術出版社，2003.

有關數學史方面的論文參考 篇二

淺析數學史的教育價值與具體應用

隨着數學、科學技術和社會的發展， 人們對數學有了越來越深刻的認識， 對數學和數學教育、數學史與數學教育的關係有了越來越深刻的認識， 對數學教育取向的數學史研究及其教育價值的發揮也越來越重視。 本文就數學教育取向的數學史的學科性質， 它與數學教育的密切聯繫，怎樣通過數學史學習加強數學教育、發揮數學史的教育價值， 以及融數學史與數學教學中存在的困難和問題做初步探討。

1 數學史的學科性質

數學史是研究數學發展歷史的學科， 是數學的一個分支， 也是科學史下屬的一個重要分支。數學史與數學研究的各個分支、社會史、文化史的各個方面都有着密切的聯繫。數學史研究數學原理、概念、思想和方法等的起源與發展， 及其與社會、政治、經濟和一般文化、教育的聯繫， 它不僅追溯數學原理、概念、思想和方法的演變、發展過程， 而且還探索影響這種過程的各種因素， 以及歷史上數學科學的發展對人類文明所帶來的影響。 數學史的研究對象不僅包括具體的數學內容及其發展的歷史分期， 而且涉及歷史學、哲學、文化學、教育學、宗教學等社會科學與人文科學內容。 因此， 數學史是一門綜合性、交叉性學科。

本文所指的數學史， 不是那種爲歷史而研究歷史的純數學史， 而是爲教育而研究歷史的數學史， 也就是數學教育取向的數學史， 其關注點側重於以對數學發展作出貢獻的着名歷史人物的可歌可泣的、豐滿鮮活的數學創造事蹟爲載體， 追溯數學原理、概念、思想和方法的演變、發展過程， 探索影響這種過程的各種因素， 以及歷史上數學發展對人類文明所帶來的影響。

2 數學史的教育價值

數學是歷史最悠久的人類知識領域之一。 從遠古屈指計數到現代高速電子計算機的發明， 從量地測天到抽象嚴密的公理化體系， 在五千餘年的數學歷史長河中， 重大數學思想的誕生與發展確實構成了科學史上最富有理性魅力的題材。 與自然科學相比， 數學更是積累性科學， 其概念和方法更具有延續性。 數學已經廣泛地影響着人類的生活和思想， 是形成現代文化的主要方面。 因而， 數學史是從一個側面反映的人類文化史， 又是人類文明史的最重要的組成部分。 許多歷史學家也通過數學這面鏡子， 瞭解古代其他主要文化的特徵與價值取向。

數學科學作爲一種文化， 不僅是整個人類文化的重要組成部分， 而且始終是推進人類文明的重要力量。 對於每一個希望瞭解整個人類文明史的人來說， 數學史是必讀的篇章。 可以說不了解數學史就不可能全面瞭解整個數學科學。 數學史在整個人類文明史上的這種特殊地位， 是由數學作爲一種文化的特點決定的。 數學史無論對於深刻認識作爲科學的數學本身， 還是全面瞭解整個人類文明的發展都具有重要意義。

數學史在數學教育中的重要作用早在 19 世紀就已經被一些西方數學家所認識。 法國着名數學家亨利·龐加萊 (J. H. Poincare,1854~1912)指出： “如果我們想要預見數學的未來， 適當的途徑是研究這門科學的歷史和現狀。”[1]數學史家卡約裏(Cajori,1859~1930)說： “數學史的重要性表現在數學爲人類文明所作出的貢獻。

人類進步與科學思想的發展密切相關， 數學與物理的研究乃是智力進步的可靠記錄。”[1]

19 世紀末以後， 歐美衆多着名數學家、數學史家和數學教育家都提倡在數學教學中直接或間接地利用數學史， 數學史的教育價值受到數學家們的大力提倡。[2]

在 1904 年德國海德堡召開的第三屆國際數學家大會上， 美國着名數學史家、數學教育家史密斯(D. E. Smite,1860~1944)與其他國家的幾個數學家、數學史家和數學教育家在提出的一項決議中指出： “數學史在今天已成爲一門具有無可否認的重要性的學科， 無論從數學的角度還是從教學的角度來看， 其作用變得更爲明顯， 因此， 在公衆教育中給與其恰當的位置乃是不可或缺的事。” 該項決議希望在大學裏開設精密科學史課，包括數學與天文學史、物理與化學史、自然科學史、醫學史四部分。 該項決議還建議在中學課程中介紹精密科學的歷史。[3]

到了 20 世紀 70 年代， 數學史對數學教育的重要意義已成爲西方數學教育家們的共識， 數學史與數學教育之間關係的理論研究也引起廣泛關注並提到了國際數學教育的議程中。 1972 年， 在第二屆國際數學教育大會上， 成立了數學史與數學教學關係國際研究小組 （簡稱HPM,1976 年開始隸屬於國際數學教育委員會）， 這標誌着數學史與數學教育關係作爲一個學術研究領域的出現。[3]

在我國， 數學史的教育價值也早已被一些學者所認識。近年來， 論述數學史教育價值的文章不斷增多， 在數學教學中融入數學史的呼聲越來越強烈， 特別是《普通高中數學課程標準（實驗）》的頒行把數學史融入數學教學的行動從幕後推到了前臺。 2005 年 5 月在西安召開了我國第一屆數學史與數學教育會議， 這表明， 數學史與數學教育這一領域已經得到我國數學史與數學教育界的普遍關注。

總之， 數學教育取向的數學史的教育價值早已被人們所認識， 關於數學史與數學教育的關係的研究正在不斷深入， 融數學史於數學教學已經從理念逐步變爲行動， 也成爲通過數學教育對學生進行德、智、美育的切入點。 通過數學教育取向的數學史的學習， 進一步認識數學史與數學教育的內在密切聯繫， 在數學教育教學過程中發揮數學史的教育價值， 優化學習者的知識結構， 提高人才培養質量。

概括而言， 數學教育取向的數學史的教育價值主要在於以下幾個方面：

2.1 給數學教學積累豐富的教育性資料

數學具有嚴謹的邏輯性、高度的抽象性、應用的廣泛性、深刻的文化性、知識的延續性、獨特的優美性等特點。 作爲數學教師， 只有通過數學史積累豐富的教育性資料， 才能獲取相關知識點（如，數學概念、公式、定理和方法等）的教學啓示， 爲豐富和活躍數學教育教學活動打好基礎。

數學史對於數學教師而言不僅是教學中必需的知識， 而且也是形成數學思想和方法以及培養專業精神和科學探索精神的源泉。

荷蘭着名數學史家迪克斯特休 (E. Jan Dijk-sterhuis,1892~1965) 強調數學史在師範教育中的重要作用時指出： “中學數學教師的主要任務是向下一代傳授數學知識， 並且， 如果可能的話， 激起他們對於人類千百年以來在該領域中所取得成就的熱愛與崇敬。 對於這些師範生來說， 關於這門學科歷史演進的知識乃是一種財富， 這種財富不僅是寶貴的， 而且是不可或缺的， 它---自然還需要掌握現代數學知識---將使他們能夠令人滿意地完成自己的職責。 他們經常需要去關心過去數學發展的各個階段， 他們必須把這些階段講得清晰一些， 對孩子有吸引力一些。 孩子們必須通過這種方式得到思維的訓練。”[3]

2.2 爲數學課程和教學設計提供豐富的史料

近幾年來， 在國內外數學教育改革中， 強調數學的文化價值， 使數學史知識得到廣泛的關注。

數學史已成爲數學課程和數學教學設計的豐富史料， 已成爲數學教學內容的有機組成部分。

《義務教育數學課程標準 （2011 年版）》 指出“數學文化作爲教材的組成部分 ， 應該滲透在整套教材中。 爲此， 教材可以適時地介紹有關背景知識， 包括數學在自然與社會中的應用， 以及數學發展史的有關資料， 幫助學生了解在人類文明發展中數學的作用， 激發學習數學的興趣， 感受數學家治學的嚴謹， 欣賞數學的優美。” 《普通高中數學課程標準（實驗）》把 “數學史選講” 作爲選修課加以開設， 並在理念部分指出： “數學是人類文化的重要組成部分。 數學課程應適當反映數學的歷史、應用和發展趨勢， 數學對推動社會發展的作用， 數學的社會需求， 社會發展對數學發展的推動作用， 數學科學的思想體系， 數學的美學價值， 數學家的創新精神。 數學課程應幫助學生了解數學在人類文明發展中的作用， 逐步形成正確的數學觀。” 在選修課系列 3-1 “數學史選講” 中列出了可供選擇的 11 個專題， 並提出了具體要求： “通過生動、豐富的事例， 瞭解數學發展過程中若干重要事件、重要人物與重要成果， 初步瞭解數學產生與發展的過程， 體會數學對人類文明發展的作用， 提高學習數學的興趣，加深對數學的理解， 感受數學家的嚴謹態度和鍥而不捨的探索精神。”“完成一個學習總結報告。 對數學發展的歷史軌跡、自己感興趣的歷史事件與人物， 寫出自己的研究報告。”“本專題由若干個選題組成， 內容應反映數學發展的不同時代的特點， 要講史實， 更重要的是通過史實介紹數學的思想方法， 選題的個數以不少於 6 個爲宜。” 這將會大力推動數學史和數學教學的融合， 進一步發揮數學史的教育價值。[4][5]

2.3 深化對數學原理、概念、思想和方法的理解

數學有產生髮展的特定歷史過程。 只有懂得數學發展史， 才能深刻理解數學。 在數學教學中融入數學史內容， 讓數學教學鮮活起來， 有助於學生對數學概念、方法和原理的理解與認識的深化， 幫助學生理解數學及其價值， 形成正確的數學觀。 數學家研究數學的時候帶着激情在思考，一旦研究有了確切結果， 呈現在我們面前的則是冰冷的美麗學術形式。 因此， 我們要通過數學史的學習， 瞭解當時的數學家爲什麼和如何研究數學。 一個數學原理、一個具體的數學概念， 一個有效的數學思想方法究竟是怎樣產生的？ 一個數學符號是怎樣演變形成的？ 爲什麼古希臘人要用公理化方法展開數學， 從而形成演繹幾何體系？

他們所處的時代背景如何？ 中國古代數學的特點和古希臘數學的特徵有何不同？ 等等。 弄清這些問題， 對學生理解數學很有好處。 在這方面， 值得研讀的數學名着之一是美國着名數學史家 M·克萊因（Kline Morris,1908~1992)1972 年出版的着作《古今數學思想》(1979 年有中譯本）等。

丹麥數學家、數學史家鄒騰 (H. G. Zeuthen,1839~1920) 早在 1876 年的一篇數學史論文中就強調數學專業的學生學習數學史的必要性， 他指出： “學生不僅獲得了一種歷史感， 而且， 通過從新的角度看數學學科， 他們將對數學產生更加敏銳的理解力和鑑賞力。”[3]對於一個數學教師而言， 如果沒有數學史方面的知識積累和修養， 很難把數學課上好。

2.4 激發學習興趣和愛國熱情

融數學史於數學教學， 使學生了解數學與人類文明發展的密切關係， 可以激發學生的學習興趣， 活躍課堂氣氛， 提高教學效果。 數學史可以使學生了解數學的發展， 瞭解中國古代數學的輝煌成就， 瞭解中國近代數學落後的原因和中國現代數學研究發展的現狀， 充分介紹中國現代數學家的貢獻， 以激發學生的愛國熱情， 培養胸懷寬廣的奉獻精神， 振興民族科學。華羅庚 (1910~1985)、陳景潤 (1933 ~1996)、陳省身 (1911~2004)等着名數學家的光輝事蹟， 中學物理教師陸家羲(1935~1983) 在數學研究上取得的成就和獻身精神等等， 不僅是進行數學專業教育的典型材料，而且是進行思想教育、啓發人格成長的良好材料。實現數學教育的德育功能， 數學教育取向的數學史學習是不可缺少的內容。數學是全人類的共同財富。 在科學發現上，各個國家和各個民族應該彼此借鑑， 互相學習，共同提高。 要把外國的一切優秀文化， 包括數學成就都充分尊重， 吸收過來。 “洋爲中用”， 爲祖國建設服務， 實際上就是愛國主義教育。

人類的數學文明最早起源於巴比侖， 其次是埃及。 巴比侖的泥板、埃及的紙草書上的數學記載都在公元前 1000 年以上。 即便是後來的古希臘的數學文明也遠早於中國。 中國古代數學雖然出現得比地中海文明要遲許多， 但是具有自己的特點， 同樣爲人類作出了重要貢獻。 我國着名數學家吳文俊院士曾經十分深刻地指出， 中國古代數學的優秀傳統是“算法數學”。中國算學雖然缺乏古希臘式的公理化演繹體系， 卻十分準確地用算法的形式表達出來。20 世紀 70 年代， 吳文俊從研究中國古算受到啓發， 並結合現代計算機技術進行思考， 發展出了世界領先的“數學定理機器證明”方法（世稱“吳方法”）。 這樣的古爲今用， 纔是真正的愛國主義， 才能真正激發起民族自豪感。

2.5 強化應用和創新意識

提高學生對數學的宏觀認識， 數學教師的任務不僅要把書本上的內容講清楚， 還要對數學發展的來龍去脈有清楚的介紹。 一個優秀的教師，不僅要授人以業， 還要授人以法， 進而授人以道。

教師要掌握這些“法”和“道”， 必須宏觀地理清數學發展的脈絡， 深入理解數學的本質。 對於進行數學創新來說， 數學史研究更具有指引作用。 數學史中記載了許多數學家發明發現的生動過程，向學生介紹這些過程， 有助於學生理解掌握創造的方法、技巧， 從而增強其創造力。 如公元 263年， 劉徽對我國數學古籍《九章算術》的註釋中提出了計算圓周長的 “割圓” 思想。 “割之彌細， 所失彌少， 割之又割， 以至於不可割， 則與圓周合體， 而無所失矣”， 這些對極限思想的樸素生動的描寫， 對後人是一種創新激勵。 大量的數學史料， 對於培養學生堅韌不拔的探索精神， 形成良好的認知結構和知識結構都具有重大意義。

2.6 提高人文修養

許多數學家都是文理兼修的飽學之士， 他們都具有辯證的認知結構和文理貫通的知識結構。因而， 歷史上數學家的業績與品德也會在青少年的人格培養上發揮十分重要的作用。 在高等學校裏， 通過數學史學習， 可以使數學系的學生在接受數學專業訓練的同時， 獲得人文科學方面的修養， 文科或其它專業的學生通過數學史的學習可以瞭解數學概貌， 獲得數理方面的修養。 通過數學史學習可以對學生進行人文教育， 進行美育薰陶。 在中國小數學教育中恰當地融入數學教育取向的數學史， 對學生進行人文教育和美育薰陶，是數學課程改革中值得重視的一個重要課題。

3 在數學教學中融入數學史應注意的問題

如何在基礎教育數學教學中滲透數學教育取向的數學史， 是一個國際數學教育界共同關心的問題。 1998 年， 國際數學教育委員會在法國馬賽組織了一次 “數學史與數學教育” 的專題研討會。

這次會議的主題是數學文化， 要求數學教學充分反映數學的文化底蘊， 從課程內容， 概念形成，證明方法，習題配置等各個方面， 全方位地使數學史融入、豐富和促進數學教學。

數學文化觀念下的數學史教學， 要把握各民族文化發展的歷史進程， 看到世界各國的科學技術是如何各自發展， 又如何彼此融合， 互相促進。

數學是人類追求真理的文化結晶。 我們要從數學史中汲取對我們今天有用的文化內涵。

3.1 融數學史於數學教學應重視科學性 、實用性、趣味性和廣泛性

（1） 科學性是指教師向學生傳授的數學史知識必須是正確的。 應該尊重歷史， 尊重事實， 既不可隨意編造， 也不能無端拔高， 更不可進行藝術加工， 不可把數學史當作故事， 隨意虛構。

（2） 實用性是指所講的數學史對學生的數學學習及將來工作有直接幫助作用。 例如， 初等數學中的數的起源與記法、發現無理數的過程、圓周率、勾股定理、笛卡爾對直角座標系的貢獻等等； 高等數學中的微積分的概念、函數的概念、非歐幾何的創立， 不僅史料豐富， 而且內容精彩， 非常適合於課堂教學， 對學生理解所學的知識有很大的幫助。 但受課時的限制， 所選內容要精當， 要有所側重。

（3） 趣味性是指課堂教學要有趣味， 學習內容可以激發學生的學習興趣。 數學史上驚心動魄、引人人勝的例子不勝枚舉， 教師應恰當選材， 使課堂教學娓娓動聽。 講授時要合理地運用語言，全身心地投入表達， 語調與情節配合， 知識性與趣味性共生， 應避免照本宣科或譁衆取寵， 要寓教於樂， 注重實際效果。

（4） 廣泛性是指選取的數學史知識要涉及面廣。 數學是幾千年來全人類孜孜以求、不斷探索、歷盡千辛萬苦共同取得的理性財富。 在整個數學科學發展長河中， 數學是在人類社會變革推動之下， 各國數學家相互交流學習， 共同探索的結果。因此， 在進行數學教育取向的數學史教學時注意選擇不同時期、不同國度的史料。 這樣才能全面地、真正地、準確地展示數學史的全貌。

3.2 融數學史於數學教育關鍵在教師

（1） 教師應有廣博的數學史知識以及政治 、經濟、哲學、文化、歷史、地理等多方面的知識， 教師應加強數學史知識的學習和多學科知識的充實， 豐富自己的閱歷。 這樣講課才能得心應手， 將課講活講透。 不能將數學史知識生搬硬套地應用到數學教育中。

（2） 數學史知識是穿插在授課內容中的， 不能喧賓奪主， 應以完成授課計劃爲主。 在授課過程中自然引出， 不應過分渲染， 忽視了正常的教學內容。 正確把握好數學史和課堂教學內容的主次。

（3） 除課堂教學外， 應爲學生提供適當的參考文獻， 引導學生閱讀課外讀物， 例如， 各種專題論述、人物介紹、學科進展等， 使學生開闊眼界， 啓發和引導學生進行正確閱讀， 繼而進行自學， 使學生終身受益。

（4） 數學史中教書育人的作用是其他數學課無法取代的。 這要求教師應有積極主動的態度，爲人師表， 在理想、道德、情操方面爲學生樹立榜樣， 提高學生的數學素質和思想素質， 要把愛國主義和國際意識統一起來。

3.3 努力改變 “高評價， 低應用” 的現象

如何將數學史融入數學教學， 是近幾年來國際 上 數 學 史 與 數 學 教 學 關 系 國 際 研 究 小 組(HPM) 關注的中心話題， 一些國際知名的 HPM研究者相繼對數學史融入數學教學的層次、過程、形式和途徑進行了深入探討。 但是， 由於數學教育的複雜性及其現實條件， 真正具有普遍推廣價值的研究結果比較少。 在我國， 儘管有很多學者大聲呼籲“應該講點數學史”， 而探討如何去做的實質性試驗研究明顯偏少。 於是， 世界各地在融數學史於數學教學方面不同程度地都存在“高評價，低應用”的相悖現象。 這個問題在我國進行基礎教育數學新課程改革的今天顯得更加突出。

究其原因， 從數學教師的角度來看， 主要有 “四無”， 即手頭無資料， 胸中無知識， 課程中無設計， 課堂上無時間； 從考試的“指揮棒”作用上來看， 主要有 “三不”， 即考試不要求，平時不檢查， 學生不願意花時間； 從教學資源方面來看，主要有 “二少”， 即研究投入少， 教學案例少。 因而導致教學資源（包括顯性的和隱性的）不足， 進而影響學生綜合素質的提高。因此， 我們要增強教學資源開發意識， 加強試驗研究， 努力改變 “高評價， 低應用” 的相悖現象。 國家數學課程標準的頒行， 考試製度的改革， 將會對融數學史於數學教學、發揮數學史的教育價值有一個實質性的推進。

參考文獻：

[1] 杜瑞芝 。 數學史辭典 [M]。 濟南 : 山東教育出版社 ，2000, 8.

[2] 汪曉勤 ， 歐陽躍。 HPM 的歷史淵源 [J]。 數學教育學報， 2003, 12(3)： 24-27.

[3] 張維忠 ， 汪曉勤 ， 唐恆鈞 ， 等。 文化傳統與數學教育現代化 [M]。 北京： 北京大學出版社， 2006, 4.

[4] 教育部。 義務教育數學課程標準（2011 年版 ） [M]。 北京： 北京師範大學出版社， 2012, 1.

[5] 教育部。 普通高中數學課程標準 （實驗 ）[M]。 北京 : 人民教育出版社， 2003, 4.

[6] 李文林 。 數學史教程 [M]。 高等教育出版社 ， 紐約 :施普林格出版社， 2000, 8.

[7] 李永新， 等。 中學數學教育學概論 [M]。 北京： 科學出版社， 2012, 6.

[8] 張楚廷。 數學文化 [M]。 北京：高等教育出版社， 2000, 7.

數學的論文 篇三

試談開展農村國小數學活動課的策略

一、現狀

自從國家教育部頒佈了《九年義務教育初級中學課程計劃》(試行)活動課正式納入課程設置之中後，一些學校也開始了數學活動課的嘗試。但在我們農村國小，許多教師對數學活動課的概念尚模糊，認爲數學活動課就是數學課外活動，而且由於條件限制，許多教師在教學時還是爲考試而教，學生爲考試而學，不注重學生數學素質與能力的培養，數學活動課的開展更無從談起。這些都說明，在農村國小開展數學活動課是迫切需要的，對提高農村國小數學教學質量起到積極的推動作用。

二、對策

1.改變以往單一的教學理念，提高認識，明確國小數學活動課在國小數學教育中的地位和作用

只開設數學學科是不能完全實現國小數學教學目標的，換句話說開設活動課能更好地實現國小數學教學目標。對於數學活動課程的開設，有的老師擔心，學生的負擔本來就很重， 再加一門活動課，不是更重了嗎？這種擔心是不必要的，因爲設立數學活動課不是增加一門新的學科課程，而是將數學學習中難以有效進行的一些內容通過活動課來完成。實踐證明，以主題形式設計的學習內容，和以小組、個人等形式爲主的教學組織，有利於發揮學生的學習積極性和自主性。因此，它不僅不會加重學生的學習負擔反而會有效地促進學生綜合能力的提高，對提高學生的學習質量產生積極的影響。從筆者曾參加過的數學活動課來看，學生對數學活動課不僅沒有負擔感，而且表現出很大的興趣和積極主動性，他們動手操作，動腦思考，交流信息，觀察分析，歸納概括，聯想創新，能輕鬆地達到教學目標。同時也是國小活動課的重要組成部分，對於全面培養提高學生素質，實現義務教育的培養目標是不可缺少的重要活動之一。

2.根據農村地方不同特點，探索行之有效、豐富多彩的開展數學活動課的方式，讓學生充分發揮其主動性、積極性和創造性

雖然已經認識到國小數學活動課的重要意義，但要設計好國小數學活動課，使其發揮更大的作用，還必須選擇好活動內容及形式，做到精選內容、形式恰當。而農村國小數學活動課的形式也應根據設計活動課的目標、主題、特點不同而選擇適當的方法，筆者認爲常見的活動課有以下幾種形式：

2.1探究型活動課：對日常生活中蘊涵的數與形的現象，通過老師或學生提出問題，學生自主活動，探索其數量關係或空間形式的規律，建立數學模型，運用數學方法，解釋或解決這一現象。

2.2演講型活動課：結合有關數學知識的教學，通過故事演講活動的形式，讓學生更多地瞭解數學歷史、數學知識，增長知識，激發學生熱情。

2.3才藝展示型活動課：這是以文藝和遊戲爲主要形式的數學活動課。通過文藝演出和遊戲活動，使學生在玩中樂、樂中學，可以有效地達到教學目的。

2.4動手操作型活動課：數學實踐活動它在形式上絕不是單純的戶外活動，而是融合於各個領域的學習內容之中，是整個教學過程的一部分。它可以表現爲課堂內的經歷探索；也可以表現爲課內外相結合；還可以是完全置身於社會這個大環境下的調查活動。如學生通過做一做、折一折、拼一拼、量一量、剪一剪等具體操作活動，在做中學、學中做，教、學、做合一，既能鞏固所學知識，又能培養學生的操作能力和運用所學知識解決實際問題的能力，培養了學生的創新意識。

2.5總結匯報型活動課：即指導學生撰寫數學學習小論文進行彙報的活動課。撰寫的小論文包括學習數學課程的心得體會、對數學概念的理解、數學定理的應用、解題方法等。然後讓學生在班上進行交流彙報。它能加深學生對數學課程的理解，發揮他們的才能，增強創新意識和開拓精神。

3.在各環節加強開展數學活動課的學習、探索、研究和管理，確保數學活動課的教學質量。有了對數學活動課的正確認識，明確了開展數學活動課的常見內容和方式，還應在開展數學活動課的各個環節中加強探索、管理，使數學活動課的開展收到良好的效果，必須做好以下幾方面工作：

3.1制定好活動課的教學計劃，並認真貫徹執行。

每學期初，教研組和老師應在認真研究教學計劃和教材內容的基礎上，結合學生實際， 內容、時間和形式。在開展中要認真貫徹執行教學計劃，避免隨意性及應付思想等。

3.2認真進行課前準備。

準備工作可由教師和學生分頭進行。教師應根據活動課計劃寫出活動課教案，根據活動課內容，結合教材，認真分析學生現有的實際水平，選擇恰當的方法，設計活動程序，還要考慮到活動中遇到的問題，準備好對策。同時教師也應讓學生明確該準備工作，活動課的成功與否，很大程度取決於活動課前的準備工作，因此，教師一定要做好周密細緻的安排。

3.3精心組織教學過程。

與學科教學過程一樣，活動課教學過程中，也以學生爲主體，教師發揮主導作用。但其中的“主體”和“主導”作用體現在以學生的“活動”爲中心的教師的“導演”中。這就要求教師有較高的組織才能和高超的“導”的藝術，對教師的素質、責任心等提出了很高的要求。

3.4及時總結，並嚴格進行評價考覈。

每次活動後，教師應及時對學生活動情況進行評析，評析應準確、精練、有趣，讓學生在充滿收穫的喜悅中結束活動，並作好記錄，寫出活動小結。一個學期結束時，要對每個學生上活動課的情況進行考覈，還要評定成績，記入學生檔案，使每位同學認識到它的重要性。

總之，在農村國小開設並上好數學活動課，是符合素質教育要求的。它能給學生創造開闊的空間，打破課堂教學的框框，利用豐富多彩的形式，引導學生向實踐、生活、社會學習知識，既增加知識，開闊眼界，提高鑑別和欣賞能力。同時，它對提高教師的業務水平、提高教學質量，都有很大的促進作用。

數學的論文 篇四

淺談國中數學教學中學生創新能力培養

前言

在新時代的背景下，各種高新科學技術和社會經濟文化水平迅猛發展。在人們的物質需求和文化需求逐漸增加的同時，社會對於人的知識儲備和整體素質能力也有了更高的要求。社會要求人應該具備高知識水平和良好的創新能力。而知識和個人綜合能力包括創新能力的提高，在很大程度上都要依賴於教育。作爲九年制義務教育的最後階段，國中教育在其中起着很大的作用。如何提高培養國中數學教學中學生的創新能力，這是值得研究的問題。

一、國中數學教學現狀和創新能力作用

隨着時代的發展，信息時代的來臨，機器化和工業化固然重要，然而如何更好地運用好機器、工業甚至資源和資本，都有賴於人的創新能力。人在社會發展中佔據主導地位，因爲人的知識儲備、具備的綜合能力和創新能力可以更好的適應當代社會的發展，從而更好的推動社會的發展。單就發明專利數量而言，中國雖然科研人員的人數衆多，然而專利數卻遠遠落後於其他國家，且質量水平較低。新華社2003年的一項調查報告顯示，我國青少年參與科學探究的比率低於百分之三十，對科學創新也不知道如何實施，這樣的情況是很嚴峻的，這顯示了我們國家在對青少年的基礎教育培養中沒有重視對於學生的創新能力培養。因此，提高青少年的創新能力對我國國情而言，刻不容緩。

信息化飛速發展的社會需要大量的創新型人才，而我國傳統教育卻往往重視對學生理論知識的灌輸而不夠重視實踐，重視教師的教程教案而不夠重視學生的自主學習，而系統的學習和學生的學習創新能力卻極度缺乏。“應試教育”很大程度上阻礙了學生的自我發展和創新能力培養。而國中教學在對於青少年整個的接受教育生涯中起着基礎性的作用

而研究表明，在十幾歲的年紀，青少年的創新能力是逐漸提高的，而在接受教育的條件下，對於提高其創新能力的幫助也是顯著的。創造力是可以培養的，並且國中生在創新創造這方面比起成年人有着更大的主動性和興趣，因此，通過國中課堂教學尤其是數學教學，有利於培養起學生對於科學學習的興趣以及培養學生的創新能力。學生在教師的指導之下進行有益的自我探索式學習，積累科學知識，不把課本和教師當成絕對的權威，而是主動思考科學知識的由來，對知識有一個深入的探究，尋找新思路、新方法。創新能力的本質是在教學活動中學生的創新思維品質，脫離基礎教學，空談創新能力毫無意義。

數學本身具有抽象性和嚴密的邏輯性，學習數學有利於學生對於現實世界的把握和探索，在學習的過程中形成自己的思維邏輯，擁有自己思考形成的一套方法和準則。在教師教學的過程中，從實際出發，脫離那些被固化的解題模板，從本源出發，發散思維，通過思考、實踐、交流探索來進行有效的學習探索，因此對於培養學生的思維能力和創新能力是至關重要的。

創新能力的本質是在教學活動中學生的創新思維品質，脫離基礎教學，空談創新能力毫無意義。國中數學的基礎教學是創新能力培養的重要途徑，培養學生的創新能力也是國中數學教學的基礎任務。

二、提高學生創新能力的方法對策

目前在國中數學教學過程中，確實存在許多問題，阻礙了學生的創新能力的培養和發展。比如說“應試教育”的功利性較強，一方面會導致教師在教授知識的過程中會加強理論知識的灌輸和解題技巧的培養，另一方面學生也會更注重對於試卷上題目的解答能力和卷面分數高低，而忽略了數學思維的培養

另外，教學內容的簡單化和教學方式的單一化也使得對於探索式學習的進行遇到阻礙。課堂教育中灌入式的教學方式和大量習題的運作量，以及對於作業和考試的重視遠遠大於對知識本身的渴求，學生不是學習的主體，反而是被動接受。這樣的現狀需要改變，除了要提高教師的專業素質，還要：

1.加強對教師專業素質的培養提高，需要教師樹立好正確的教育理念，正確意識到自身社會責任和保持良好的道德。除了單純的技巧教學，不照本宣科而是以創新的意識、創新的方式，多角度發散思維教學，培養學生的創新能力。

2.教材對於課堂教學起的是基礎性作用。要運用合理科學的教材，符合時代和社會的發展。另外是教師和學生對於教材的運用，也要有科學的方式，將實踐和課本理論有效結合，引導學生主動學習，提高創新能力。

3.創新意識不僅僅只是“意識”，不是天馬行空的想象，而是合乎情理的新發現，合乎邏輯的思維發散。教師和學生都要樹立起對創新能力的正確認識。教師要做的是引導，學生要做的是思考，敢於質疑權威、批判傳統，培養起科學的意識，主動去發現問題，分析、解決問題。

4.實現教學的創新模式，發展新型平等的師生關係，營造課堂和課下的創新氛圍，教師樹立新的教學觀、學生樹立新的學習觀念，發展創新素質，實現教學組織的創新、教學內容的創新、教學方式的創新，從實際出發，結合科學合理的創新模式，使學生真正學會學習學會思考，提高創新能力。

數學史的論文參考 篇五

淺析清末民國對數教育情況

6 至 17 世紀，各學科知識高速發展，尤其是天文、航海及近代力學需要進行大量數學計算。爲簡化運算，提高運算速度，許多數學家花費了大量心血。 蘇格蘭數學家納皮爾等人通過多年的研究，發明了“ 對數”. 這一發明影響深遠，它不僅使“ 天文學家壽命倍增”[1]137( 拉普拉斯語) ,也使伽利略“ 利用時間、空間和對數，就可創造一個宇宙”[2]1,更不愧於恩格斯將其列爲 17 世紀三大數學發現之一。

一、清末對數教育情況

清末從同治元年( 1862)京師同文館設立起，至辛亥革命( 1911)推翻清政府止，數學教育近代化經歷了近五十年的歷程。 在此過程中，前期表現爲數學課程普遍設置並進行了教學方法的改革，後期主要是學制的頒佈與實施及教育行政機構的設立。 1867 年，京師同文館增設天算館。 由於沒有頒佈相應的教學大綱或課程標準，但根據《 同文館題名錄》所載課程( 1876)及同文館活字本《 算學課藝》的內容可推斷其課程包括代數學、平三角、弧三角等。 據《 同文館算學課藝》( 1880)卷二中涉及對數題目 1 道。 第 46 題“ 瓜豆共生”,該題與《 九章算術》中的“ 蒲莞共生”,“ 兩鼠對穿”同類，但解法卻不是應用盈不足術求解，而改用指數與對數求解[4]46. 此足可說明對數已成爲京師同文館的教學內容。

清末，教會學校盛行。 由傳教士組織的“ 學校教科書委員會”編譯了大量數學教科書，其中《 筆算數學》、《 代數備旨》、《 形學備旨》、《 八線備旨》 、《 代形合參》 等書流傳甚廣，且編有細草，編者又不止一人。《 八線備旨》四卷，原着美國羅密士，美國傳教士潘慎文選譯，謝洪賚校錄，1894 年出版， 美華書館鉛印本。 該書流傳版本較多，以1898 年益智書會石印本爲例，其凡例稱：原本更有論對數與航海法各一卷都爲六卷，但對數已經別譯，而航海又嫌過略，不足以備學者觀覽，姑且從刪；原本後對數、八線、弦切對數等以便檢查[5]1. 此書共四卷，含平三角、量法、測地、弧三角形，是當時的三角學課本，多次重印，影響極大。

清代末期是中西數學的融合時期，數學的發展表現出兩個方向：

一是西方變量數學的傳入和研究；二是中國傳統數學的繼續研究。 這種情形在諸多算學課藝中有所反映， 其內容中不僅有中國傳統數學的天元術、勾股術，也有西方傳入的幾何、平面三角、球面三角、指數、對數等。而對數部分內容教學分別散落於代數與三角教學中。即先從代數部分習得對數的相關概念及其運算法則，後由三角部分再習，主要是用於解三角形，以簡化運算。 如《平面三角法新教科書》所言，凡關於三角形問題之解決，而欲得其便捷之計算，莫若用對數[6]78.

三角學教科書方面，《 新撰平面三角法教科書》[7]33中第三編，對數之性質及用法。 介紹了對數定義，對數之性質，對數之指標之定義，對數之假數之定義，對數表之形，比例差，以對數算直角三形之法。《平面三角法講義》[8]86中第六編對數，第七編三角函數真數表及對數表。 雖採用了從左至右橫排版，但其中的未知數 x,y,z 用甲、乙、丙代替，字母 A 用呷代替，字母 B 用口字旁加乙字代替，字母 C 用口字旁加丙字代替。 正弦等三角函數名稱用正弦、餘弦、正切等代替。 如 tanA 用正切呷代替。 全書用手寫版，讀起來似爲天書。 依此看來， 數學符號的現代化進程也不是一蹴而就的， 其間也有反覆。

《 三角法教科書》[9]1全書七編。第六編三角形之解法將正弦定理直接改爲對數式，沒有介紹對數的相關知識。 而在第七編之後專設“ 附錄”重點介紹了對數、對數表用法，三角函數對數表用法，三角函數表用法。 附錄之後是附表，給出了 1- 2000 之五位對數表，十分飛三角函數對數表，十分飛三角函數表。 代數教科書方面，《 中學校數學教科書---代數之部》該書上卷五編，下卷九篇共十四編。其中第十二編爲對數。分兩章，第一章爲對數，第二章爲複利算，年利算。書中原序提到：“ 要目列對數於最後然實有須使早學者故置於級數之後”.“ 學對數表之用法期間甚短若使學者另購對數表殊有未便乃附至 5000 之對數表於卷末而 5000 以上之對數表可依自 500 至 1000之對數表求得之故使學其用法足矣”[10]1.

總之，清末時期的對數教育，主要是先從代數中講授，繼之以三角中講授。 代數主要講授對數、常用對數的定義，如何求一個數的對數，對數的運算法則，對數表的用法，用比例法求一個數的對數。 三角教科書在引入對數時主要基於以下理由：一是“ 凡數過大，演算時甚爲困難，若用對數，則較爲便利，用對數可實現加法代乘法，減法代除法，乘法代自乘，除法代開方”[11]98. 二是“ 以對數解三角，大可省實算之勞，故須省對數之性質”[12]38.“ 解三角之問題，便於計算，莫對數若。 對數之法，學者於代數學雖已知之。 然爲應用計，茲再述其大略”[13]78.

二、民國對數教育情況

1912 年，中華民國成立。 同年 9 月頒佈《 中學校令》 規定中學校修業年限爲四年。 12 月公佈《 中學校令施行規則》，規定數學宜授以算術、代數、幾何及三角法，女子中學校可減去三角法。 1913 年 3 月《 中學校課程標準》 中規定第一至三學年習代數，第四學年習《平面三角大要》。 1922 年頒佈《 學校系統改革案》，規定中學校修業六年，分爲初高兩級，初級三年，高級三年。 1923 年《 新學制課程標準綱要》中規定，代數中習對數。三角中有邊角互求，三角應用大意。《 高級中學第二組必修的三角課程綱要》中裏面有對數與對數造表法，航海術等。《 高級中學第二組必修的高中代數課程綱要》中規定要學習對數、對數方程式、對數級數。 此後的 1929 年亦要求國中三年級代數課學習對數，三角中使用對數。 高中仍如 1923 年。 1932 年《 初級中學算學課程標準》中規定國中第三學年代數部分學習對數檢查表及應用。將三角部分移至幾可，並要求“ 三角之正式教授，宜移至高中，但三角應用極廣，國中亦不可不知。故宜就實例入手，講授三角函數定義，及三直角三角形解法，簡易測量，餘可從略”[14]231. 1932 年《 高級中學算學課程標準》規定第一學年三角部分習對數，測量及航海方面之應用題。 第二學年代數中習對數，特性和應用。 應用題，造表法略論，表之精確度。 1936 年情形亦如上。

1941 年頒佈的《 修正初級中學數學課程標準》 由於要“ 適應抗戰建國之需要”,教學時數有所減少，內容略有調整。 國中不再學習三角，代數也不再學習對數。 同年的《 修正高級中學數學課程標準》第一學年三角中學習對數理論及應用、三角函數表及三角函數對數表用法。 第二學年代數中習對數。 同年 9 月，頒佈《 六年制中學數學課程標準草案》，規定六年制中學，不分初高中，各科全部課程，均採直徑一貫之編配，並選成績優良學校試點。 教材大綱中第三學年代數要求學習對數之特性及其應用，對數表。 第五學年習解任意三角形，測量及航海方面之應用題。

通過梳理近代以來對數教學情況可以得出以下結論。

一是對數作爲數學知識引入中國課堂， 主要是學習外國的結果。從京師大學堂到癸卯學制，主要是傳教士和中國數學家的貢獻。這一時期，學習、研究的是西方傳入的對數知識。 1904 年後，主要是學習日本。日本通過明治維新，國力日盛，並在甲午戰爭中獲得了勝利。 晚清政府和國人意識到了科學教育的重要。 大量的留學生趕赴日本，學成之後回國，或着書立說，或投身教育，使得作爲“ 西學”的對數順利進入中國課堂，並被大量學生學習。

通過梳理對數教育的歷史，我們可以看出近代較爲注重對數的應用，如解三角形、航海等方面均利用對數進行求解，而現代教科書則難覓這些。當然時代在進步，科學在發展，有些知識和方法在不斷地更新，我們現在不可能捨易取難，用對數方法去解三角形，但翻閱教科書中對數部分內容，給人的直觀感覺就是應用。學以致用，目的性強，容易引發學生的學習興趣，這點是值得借鑑的。

參考文獻

[1]李文林。數學史概論[M].高等教育出版社，2006.

[2]陳少麗。對數的發明及其相關歷史分析[D].山西師範大學，2012.

[3]李迪。中國算學書目彙編[M].北京師範大學出版社，2000.

[4]李兆華。中國近代數學教育史稿[M].山東教育出版社，2005.

[5]羅密士。八線備旨[M].潘慎文選譯。美華書館，1898.

[6]菊池大麓。平面三角法新教科書[M].王永炅譯。商務印書館，1909.

[7]John Casey.新撰平面三角法教科書[M].顧澄譯。商務印書館，1907.

[8]奧平浪太郎。平面三角法講義[M].周藩譯。文明書局科學書局羣學社，1907.

[9]長澤龜之助。三角法教科書[M].包榮爵譯。東亞公司，1907.

[10]樺正董。中學校數學教科書---代數之部[M].趙繚譯。羣益書社，1908.

[11]翰卜林斯密士。平面三角法[M].李國欽譯。羣益書社，1908.

[12]馬君武。中等平三角新教科書[M].商務印書館，1913.

[13]孫鄮瞻。中等教育平面三角法教科書[M].新學會社，1906.

[14]20世紀中國中國小課程標準·教學大綱彙編數學卷[M].人民教育出版社，2001.

[15]馬文元。代數學試題之研究[M].戊辰學社，1935.

[16]儲振寰。數學試題詳解[M].商務印書館，1948.

有關數學史方面的論文參考 篇六

淺析函數概念的提出與發展演變

函數在當今社會應用廣泛，在數學，計算機科學，金融，IT等領域發揮着舉足輕重的作用；在數學發展的歷史上，函數這一概念從提出到如今滲透到數學的各個層面，都在數學學科中有着不可撼動的地位。學好函數、瞭解函數的發展歷史不僅能提高我們對函數概念的認知度，還能有助於我們更好的運用函數解決實際問題。

1 函數產生的社會背景

函數 (function) 這一名稱出自清朝數學家李善蘭的着作《代數學》，書中所寫“凡此變數中函彼變數者，則此爲彼之函數”。而在 16、17 世紀的歐洲，漫長的中世紀已經結束，文藝復興給人們的思想帶來了覺醒，新興的資本主義工業的繁榮和日益普遍的工業生產，促使技術科學和數學急速發展，這一時期的許多重大事件向數學提出了新的課題；哥白尼提出地動說，促使人們思考：行星運動的軌跡是什麼、原理是什麼。牛頓通過落下的蘋果發現萬有引力，又自然使人想到在地球表面拋射物體的軌跡遵循什麼原理等等。函數就是在這樣的一個思維爆炸的時代下漸漸被數學家們所認知和提出。

早在函數概念尚未明確之前，數學家已經接觸過不少函數，並對他們進行了分析研究。如牛頓在 1669 年的《分析書》中給出了正弦和餘弦函數的無窮級數表示；納皮爾在 1619 年闡明的對數原理爲後世對數函數的發展提供有力依據。1637年法國數學家笛卡爾創立直角座標系，使得解析幾何得以創力，爲函數的提出和表述提供了更加直觀的方式；直角座標系可以很形象的表述兩個變量之間 的變化關係，但他還未意識到需要提煉一般的函數概念來闡述變量的關係。17 世紀牛頓萊布尼茲提出微積分的概念，使得函數一般理論日趨完善，函數的一般概念表述呼之欲出。在 1673 年萊布尼茲首次使用函數一詞來表示“冪”，而牛頓在微積分的研究中也使用了“流量”一詞來表示變量之間的關係。函數就是在數學家們不同分支但相同意義的研究下順應而生。

2 函數概念的提出和初步發展

1718 年，瑞士的數學家約翰·伯努利(Johann Bernoulli)把函數定義爲“一個變量的函數是指由這個變量和常量以任何一種方式組成的一種量”。伯努利把變量 x 和常量按任何公式構成的量叫做 x 的函數，表示爲 yx.值得一提的是伯努利家族是一個科學世家，3 代人中產生了 8 位科學家，後裔中有不少人被人們追溯過，這是非常罕見的。約翰·伯努利的函數定義在爲後世的函數發展提供了便利。

1755 年，瑞士數學家歐拉(Leonhard Euler)把函數定義爲“如果某些變量，以某一些方式依賴於另一些變量；即當後面這些變量變化時，前面這些變量也隨之變化，就把前面的這些變量稱爲後面這些變量的函數”。歐拉的定義與現代函數的定義很接近。在函數的表達上，歐拉不拘於用數學式子來表示函數，破除了伯努利必須用公式表達函數的侷限性，他認爲函數不一定要用公式來表示，他曾把畫在座標系上的曲線也叫做函數，他認爲函數是“函數是隨意畫出的一條曲線”

3 十九世紀的函數-對應關係

19 世紀是數學史上創造精神和嚴格精神高度發揚的時代，幾何，代數，分析等各種分支猶如雨後春筍般竟相發展；函數進入 19 世紀後，概念理論得到了極大的拓展和完善。

1822 年傅立葉發現某些函數可以表示成三角級數，進而提出任何函數都可以展開爲三角級數；提出着名的傅立葉級數。使得函數的概念得以改進，把世人對函數的認識推到了一個新的層次。

1823 年，法國數學家柯西從定義變量開始給出了函數的定義，指出無窮級數雖然是定義函數的一種有效方法，但定義函數不是一定要有解析表達式，他提出了“自變量”的概念；他給出的定義是“在某些變數間存在一定的關係，當一經給定其中某一變量的值，其他變數的值可隨着而確定時，則將最初的變數叫自變量，其他各變數叫做函數。”這一定義與現在中學課本中的函數定義基本相同。

1837 年，德國數學家狄利克雷指出：對於在某區間上的每一個確定的值，都有一個或多個確定的值，那麼 y 就叫做 x的函數。狄利克雷的函數定義避免了以往以往函數定義中依賴關係來定義的弊端，簡明精確，爲大多數數學家所接受。

4 現代函數-集合論的函數

自從德國數學家康托爾提出的集合論被世人廣泛接受後，用集合的對應關係來表示函數概念漸漸佔據了數學家們的思維。通過集合的概念把函數的對應關係、定義域以及值域進一步具體化。1914 年豪斯道夫在《集合論綱要》中用“序偶”來定義函數；庫拉托夫斯基在 1921 年又用集合論定義了“序偶”。這樣就使得豪斯道夫的定義更加嚴謹。

1930 年，新的現代函數定義爲：若對集合 M 的任意元素X 總有集合 N 確定的元素 Y 與之對應，則稱在集合 M 上定義一個函數，記爲 Y=f(x)。元素 x 稱爲自變量，元素 Y 稱爲因變量。

5 函數發展對當代社會的意義

函數的發展，對當代社會的生產生活產生了重大的影響；函數概念也隨着時代的不斷進步而分成了網狀的分支，從簡單的一次函數到後來複雜的五次函數方程的求解；從簡單的反函數，三角函數到後來的複變函數，實變函數。這些函數的常用性質，以及函數的求解都隨着人們對函數概念理論的不斷深入而發現，進而無數人對其更加深入了研究探討，函數思想理論也深入滲透到社會各個領域。從教師教學中的函數思想到解決實際問題的數學建模；從計算機編程領域的 C 函數到調控市場經濟的概率理論研究，函數無時無刻不在發揮其強大的作用。瞭解函數概念發展的過程，就是不斷挖掘理解函數內涵的過程，可以使人們對這個客觀的世界更加深入的瞭解，有助於人們豐富視野，並不斷的加以發展，適應不斷變化的社會需要。

參 考 文 獻

[1]陳路飛。函數發展史[J]。數學愛好者，2006（，2）。

[2]龐懿智。函數的發展史對函數的教學的啓示[J]。未來英才，2014,(7)。

[3][美]Victor . 數學史通論第二版[M]。高等教育出版社，2004.02.

[4]彭林，童紀元。藉助函數概念的發展史引入函數概念[J]。中學數學，2011,(11)。

有關數學史的論文下載 篇七

中國古代及近現代數學史探究

中華民族是一個具有悠久歷史和燦爛文化的民族，在燦爛的文化瑰寶中數學在世界數學發展史中也同樣具有許多耀眼的光環。研究中國的數學發展歷程有着重要的現實意義。

1 中國古代數學的發展史。

1.1起源與早期發展。數學是研究數和形的科學，是中國古代科學中一門重要的學科。中國數學發展的萌芽期可以追溯到先秦時期，最早的記數法在殷墟出土的甲骨文卜辭中可以找到記數的文字。如獨立的記數符號一到十，百、千、萬，最大的數字爲三萬，還有十進制的記數法。

在春秋時期出現中國最古老的計算工具---算籌，使用算籌進行計算稱爲籌算，中國古代數學的最大特點就是建立在籌算基礎之上。古代的算籌多爲竹子製成的同樣長短和粗細的小棍子，用算籌記數有縱、橫兩種方式，個位用縱式，十位用橫式，以此類推，並以空位表示零。這與西方及阿拉伯數學是明顯不同的。

在幾何學方面，在《史記·夏本記》中記錄到夏禹治水時已使用了規、矩、準、繩等作圖和測量工具，勾股定理中的“勾三股四弦五”已被發現。

1.2中國數學體系的形成與奠基時期。這一時期包括秦漢、魏晉、南北朝，共400年間的數學發展歷史。中國古代的數學體系形成在秦漢時期，隨着數學知識的不斷系統化、理論化，相應的數學專書也陸續出現，如西漢初的《算數書》、西漢末年的《周髀算經》、東漢初年的《九章算術》以及南北朝時期的《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等一系列算學着作。

《周髀算經》編纂於西漢末年，提出勾股定理的特例及普遍形式以及測太陽高、遠的陳子測日法；《九章算術》成書於東漢初年，以問題形式編寫，分屬於方田、粟米、衰分、少廣、商功、均輸、盈不足、方程和勾股九章，特點在於注重理論聯繫實際，形成了以籌算爲中心的數學體系。

中國數學在魏晉時期有了較大的發展，其中趙爽和劉徽的工作被認爲是中國古代數學理論體系的開端。趙爽證明了數學定理和公式，詳盡註釋了《周髀算經》，其中一段530餘字的“勾股圓方圖”註文是數學史上極有價值的文獻。劉徽的傑作《九章算術注》和《海島算經》，是我國最寶貴的數學遺產。

在南北朝時期數學的發展依然蓬勃，出現了《孫子算經》、《夏侯陽算經》、《張丘建算經》等算學着作。最具代表性的着作是祖沖之、祖父子撰寫的《綴術》，圓周率精確到小數點後六位，推導出球體體積的正確公式，發展了二次與三次方程的解法。

1.3中國古代數學發展的盛衰時期。宋、元兩代是中國古代數學空前繁榮，碩果累累的全盛時期。出現了一批着名的數學家和數學着作，其中最具代表性的數學家是秦九韶和楊輝。秦九韶在其着作的《數學九章》中創造了“大衍求1術”（整數論中的一次同餘式求解法），被稱爲“中國剩餘定理”，在近代數學和現代電子計算設計中起到重要的作用。他所論的“正負開方術”（數學高次方程根法），被稱爲“秦九韶程序”。現在世界各國從國小、中學、大學的數學課程，幾乎都接觸到他的定理、定律、解題原則。楊輝，中國南宋時期傑出的數學家和數學教育家，他在1261年所着的《詳解九章算法》一書中，給出了二項式係數在三角形中的一種幾何排列，這個三角形數表稱爲楊輝三角。“楊輝三角”在西方又稱爲“帕斯卡三角形”，但楊輝比帕斯卡早400多年發現。

隨後從十四世紀中葉明王朝建立到明末的1582年，數學除了珠算外出現全面衰弱的局面。明代最大的成就是珠算的普及，出現了許多珠算讀本，珠算理論已成系統，標誌着從籌算到珠算轉變的完成。在現代計算機出現之前，珠算盤是世界上簡便而有效的計算工具。但由於珠算流行，籌算幾乎絕跡，建立在籌算基礎上的古代數學也逐漸失傳，數學出現長期停滯。

2 中國近現代數學的發展史。

中國近現代數學發展時期是指從20世紀初至今的一段時間，開始於清末民初的大批留學生的回國後，各地大學的數學教育有了明顯的起色，很多回國人員後成爲着名的數學家和數學教育家，在世界都具有重要的影響，爲中國近現代數學發展做出了重要貢獻，這些着名的數學家及其貢獻主要有：

2.1陳景潤及其代表作。陳景潤是世界着名解析數論學家之一。1966年，陳景潤攻克了世界着名數學難題“哥德巴赫猜想”中的(1+2)，在哥德巴赫猜想的研究上居世界領先地位，距摘取這顆數論皇冠上的明珠(1+ 1)只是一步之遙，於1978年和1982年兩次收到國際數學家大會的邀請，在其他數論問題的成就在世界領域也是遙遙領先的。

2.2華羅庚及其貢獻。華羅庚是近代世界着名的中國數學家，對數學的貢獻是多方面的。在數論、矩陣幾何學、典型羣、自守函數論、多個複變函數論、偏微分方程及高維數值積分等領域都做出了卓越的貢獻。他解決了高斯完整三角和的估計，推進華林問題、塔裏問題的結果，在圓法與三角和估計法方面的結果長期居世界領先地位，着作有《堆壘素數論》、《數論導引》、《典型域上的多元復變量函數論》及合着《數論在近似分析中的應用》。他在普及應用數學方法、培養青年數學家等上都有特殊貢獻。

2.3蘇步青及其成就。蘇步青是中國科學院院士，國內外享有成名的數學家。主要從事微分幾何學和計算幾何學等方面的研究。他在仿射微分幾何學和射影微分幾何學研究方面取得出色成果，在一般空間微分幾何學、高維空間共軛理論、幾何外型設計、計算機輔助幾何設計等方面取得突出成就，對培養中國早期的數學人才曾起了巨大的推進作用。

2.4吳文俊及其貢獻。吳文俊是數學界的戰略科學家，現任中國科學院院士，第三世界科學院院士。曾獲得首屆國家自然科學一等獎(1956)、中國科學院自然科學一等獎(1979)、第三世界科學院數學獎(1990)、陳嘉庚數理科學獎(1993)、首屆香港求是科技基金會傑出科學家獎(1994)、首屆國家最高科技獎(2000)、第三屆邵逸夫數學獎(2006)。他在拓撲學、自動推理、機器證明、代數幾何、中國數學史、對策論等研究領域均有傑出的貢獻，他的“吳方法”在國際機器證明領域產生巨大的影響，有廣泛重要的應用價值。

3 研究中國數學發展史的重要意義。

與自然科學相比，數學是一門積累性科學，國內外許多着名的數學大師都對數學史都有着深遠的研究。研究數學發展史可以爲我們提供經驗教訓和歷史借鑑，使我們的科學研究方向少走彎路或錯路。從數學發展史中，我們要明白數學是一種文化，是形成現代文化的主要力量，是文化極其重要的因素。數學的概念來源於經驗，與自然科學的生活世紀密不可分，在經過數學家嚴格的加工與推理後形成數學這門科學。研究數學的發展歷史，弄清一個概念的來龍去脈，一個理論的興旺和衰落，影響一種重要思想的產生的歷史因素，有利於瞭解數學的現狀，指導數學的未來，更好地接受以及學習數學，從歷史的發展中獲得借鑑和汲取教益，促進現實的科學研究，從而使數學與我們的生活更加貼切。

參考文獻：

[1]王青建。數學史:從書齋到課堂[J]。自然科學史研究，2004,2:152.

[2]鬱組權着。中國古算解趣[M]。北京:科學出版社，2004,10:138-141:216-218.

[3]李文林。數學史概論（第二版）[M]。北京：高等教育出版社，2002.

有關數學史的論文下載 篇八

淺析中學數學教學中數學史的運用

在中學數學教學中，教師在講解某一知識點時，將與該知識相關的資料講述給學生聽，比如數學家研究出該知識點時採用的方法、運用的路徑等，也就是說在教學過程中適當的將數學史分析給學生，從而讓學生能夠掌握學習數學的方法，同時還可以拓寬學生的知識面，由此可見，在中學數學教學中，數學史擁有着非常重要的作用，因此，研究數學史的應用對中學數學教學來說有十分重要的現實意義。

1 數學史的教育價值

1.1 能夠培養出學生的數學創造性思維能力

在數學教學的過程中，不止要讓學生掌握數學知識，還要讓學生具備一定的創造性思維能力，具備利用數學知識解決實際問題的能力，這已經發展成爲數學教育界的共識，爲了完成這一目標，教師在進行中學數學教學時，根據數學史來設計教學內容，有利於培養學生的創造性思維。

1.2 幫助學生認識數學，理解數學思想

在實際的中學數學學習中，有很大一部分學生認爲數學既枯燥又難學， 這個現象的存在除了教師的教學方法不恰當之外，學生自身的錯誤認識也是很重要的原因。 但是如果在中學數學教學過程中恰當的滲透相關數學史內容，不僅可以調動起學生學習數學的興趣，還可以幫助學生認識數學，理解數學思想，掌握數學學習技巧。

1.3 培養學生的愛國主義精神

在數學方面，我國古代取得了比較燦爛的數學成就，而且有些成就的提出時間要比國外早很多，比如正負數的概念就是我國最先提出的。 在中學數學教學的過程中，通過相關數學史的介紹，讓學生充分了解我國燦爛的數學文化，進而培養出學生的愛國主義精神，並增強民族自豪感。

1.4 培養文化素養

在人類發展的過程中，積累並形成了大量的文化，數學作爲文化中的重要組成部分，在提高人們的文化素養方面也具有非常重要的作用。 實際上，數學史就是數學文化發展的歷史，因此在中學數學教學的過程中，將數學史科學的融入進去，讓學生了解並認同數學文化，進而有效的提升自身的文化素養。

1.5 激發學生的學習興趣

在學生學習數學的過程中，興趣是最好的學習動機，然而在現階段的數學學習過程中，學生的學習動機並不明確，導致學生對數學的學習無興趣，最終影響到數學教學效果。 但是在數學史中，有很多內容都能激發出學生的學習興趣，比如巧拿火柴棒遊戲、哥德巴赫猜想等，這樣一來，學生學習數學的興趣被調動起來，有效的提升了數學教學的效果。

2 數學史材料的選取標準

2.1 科學性與趣味性相結合

所謂科學性， 是指選擇的數學史材料內容要符合史實，而且教師在傳授數學史時，不能隨意更改數學史的內容，更不能虛構數學史內容，要做到尊重歷史、尊重事實。而趣味性，是指選擇的數學史材料內容要生動或者曲折，以便於能夠活躍課堂氣氛，調動學生學習的積極性，讓學生參與到數學教學過程中。在實際的教學中，教師要做到科學性與趣味性相結合，提高教學效果。

2.2 廣泛性與實用性相結合

數學史涵蓋的範圍非常廣，在選擇數學史材料時，要選擇能夠反映不同時期、不同國家、不同文化背景的數學知識，這也是廣泛性的要求； 實用性是指所選擇的數學史材料要對學生的學習有幫助。將廣泛性與實用性結合起來，不僅可以拓寬學生數學文化知識的知識面，還可以直接促進學生的發展，教師在進行教學的過程中，要實現廣泛性與實用性相平衡。比如在講授勾股定理的證明時，可以將國內外的證明方法都演示給學生看，以便於學生能更好地掌握勾股定理。

2.3 可接受性與目的性相結合

教師在選擇數學史材料時，要充分的考慮學生的接受能力，要保證最終選取的數學史材料能夠與學生所掌握的舊知識以及即將學習的新知識都有聯繫， 而且在數學史材料中涉及的數學知識難度要適中，以略高於學生的水平爲最佳，這樣才能達到教學的目的。

3 中學數學教學應用數學史的教學原則

3.1 指導性原則

在中學數學教學的過程中， 教師在選擇數學史及運用數學史時，要充分的考慮學生的思考過程中，儘量的做到數學史教材化，實現數學知識與數學史的有機融合。 實際上，數學教學的效果在很大程度上受到二者有機整合的影響，一般來說，整合的過程包括數學史與相關數學知識間的融合、數學史與學生之間的整合，只有做到有機整合，才能收穫更好地教學效果。

3.2 選擇性原則

在數學教學的過程中， 根據學生的實際學習水平及學習需求，有選擇性、有針對性的將數學史內容融入到教學內容中，另外，根據具體的數學知識在教學中的作用，有選擇的融入不同作用的數學史。

3.3 研究性原則

在數學史中，蘊含了數學知識及數學思想的演變進程。在學生學習數學知識的過程中，會因爲不理解而產生困惑，學生的這種困惑通過數學史就可以很好地解決。因此，教師要詳細的研究數學的概念、理論、方法等的變遷，從中總結出教學難點並重新構建，以便於能夠更好的解答學生的困惑，讓學生理解並掌握數學思想。

4 中學數學教學應用數學史的方法

4.1 通過方法的比較，引導學生髮現學習

從總體上看， 教學內容可以劃分爲表層知識及深層知識兩個層次，表層知識是指數學概念、性質、公式、定理等基本知識，而深層知識是指數學思想和數學方法。 深層知識並不是獨立存在的，而是蘊含在表層知識紅，需要經過分析及挖掘之後才能掌握，因此，教師在進行教學的過程中，要將相關知識的深層知識滲透給學生，讓學生的認識達到質的飛躍。 在實際的教學中，教師可以對相關問題的中外解決辦法進行對比， 從對比中讓學生學會學習處理數學問題的方法。 比如在證明 1+2+3+……+n=1/2n(n+1)時，教師可以將數學歸納法及數學結合的方法來演示證明過程，從而讓學生更好的認識數學思維。

4.2 從具體問題出發，引發學生積極思考

在數學教學過程中， 教師要儘量的將數學的創造過程反映給學生，並能夠引導學生積極的對該創造過程進行思考，從而在理解的基礎上予以把握，爲了良好的實現這一教學目標，就需要教師根據教學內容創設恰當的情境， 讓學生置身情境中去發現真理，只有這樣，學生才能真正的學會數學知識。 比如等差數列教學，可以利用楊輝的“三階幻方”來輔助教學，以提升教學效果。

4.3 利用數學史開展探究性學習

研究性學習針對的是學生的學習過程， 通過對知識的研究和探索， 從而有效地提升自身的思維能力及解決實際問題的能力。 在數學教學中，開展探究性學習要以數學史爲基礎，充分培養學生自主學習的能力。 對於大部分的數學概念、定理來說，都是經過推理得到的，但是教材中只是將結果呈現給學生，缺乏推理的過程，因此，教師可以通過數學史的融入，將過程呈現在學生面前，讓學生進行充分的聯想、分析及觀察，提升學習的興趣，引導學生主動探究。

4.4 利用歷史上的名題

在數學史中蘊含了大量的名題， 這些名題教師可以直接拿來教學，比如希臘三大幾何難題、《九章算術》中的應用題等。 通過歷史名題的教學， 可以讓學生很好地掌握數學思想及數學方法，並培養出學生的創造性思維，提升學生利用數學知識解決實際問題的能力。

4.5 利用歷史上的逸聞趣事

在選擇數學史內容時，除了注重知識性之外，還要具備趣味性，因此，在教學中，教師可以將一些數學家的成長過程、逸聞趣事等介紹給學生聽。很多的數學家成長過程都是比較坎坷的，教師將數學家的這些經歷介紹給學生， 不僅可以幫助學生建立克服困難的信心，還可以激勵學生勵志學好數學。

傳統的中學數學教學只是單純的傳授數學知識， 這不利於學生數學思維的培養，學生也無法掌握數學思想，從而降低學生利用數學知識解決實際問題的能力。爲了有效的改善這個問題，在數學教學中應用了數學史，讓學生了解數學概念、定理、法則、公式等內容的演變過程，從而使學生更好的掌握數學方法，學會學習數學，真正的提高自身的數學思維及數學能力。

參考文獻：

[1]繆 希學。試談數學史在中學數學教學中的應用[J]。隴 東學院學報，2010,(05)：123-124.

[2]陶良勝。淺談數學史教育在中學數學教學中的作用[J]。宿州教育學院學報，2011,(03)：75-76.

[3]亥仁古力·麥麥提。數學史在中學數學教育中的價值體現[J]。河北北方學院學報（自然科學版），2011,(04)：20-22+31.

[4]肖敏芳。淺談數學史在大學數學教學中的應用[J]。科教文匯（上旬刊），2014,(11)：39-40.

[5]王傳利，薄豔玲。關於數學史融入中學數學教學的思考[J]。湖南第一師範學院學報，2014,(03)：29-33.