數學《質數》知識點歸納【多篇】
質數的基本簡介 篇一
英語中數詞主要分爲兩種:基數詞和序數詞。基數詞表示數目的多少,序數詞則表示順序。在各地的會考英語試題中,對數詞的考查是命題的重點質數(primenumber)又稱素數,有無限個。一個大於1的自然數,除了1和它本身外,不能被其他自然數整除,換句話說就是該數除了1和它本身以外不再有其他的因數;否則稱爲合數。
根據算術基本定理,每一個比1大的整數,要麼本身是一個質數,要麼可以寫成一系列質數的乘積;而且如果不考慮這些質數在乘積中的順序,那麼寫出來的形式是唯一的。最小的質數是2。
目前爲止,人們未找到一個公式可求出所有質數。
2016年1月,發現世界上迄今爲止最大的素數,長達2233萬位,如果用普通字號將它打印出來長度將超過65公里。
質數個數
質數的個數是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中有一個經典的證明。它使用了證明常用的方法:反證法。具體證明如下:假設質數只有有限的n個,從小到大依次排列爲p1,p2,……,pn,設N=p1×p2×……×pn,那麼,N+1是素數或者不是素數。
如果N+1爲素數,則N+1要大於p1,p2,……,pn,所以它不在那些假設的素數集合中。
如果N+1爲合數,因爲任何一個合數都可以分解爲幾個素數的積;而N和N+1的最大公約數是1,所以N+1不可能被p1,p2,……,pn整除,所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。
因此無論該數是素數還是合數,都意味着在假設的有限個素數之外還存在着其他素數。所以原先的假設不成立。也就是說,素數有無窮多個。
其他數學家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函數證明了全部素數的倒數之和是發散的,恩斯特·庫默的證明更爲簡潔,HillelFurstenberg則用拓撲學加以證明。
對於一定範圍內的素數數目的計算
儘管整個素數是無窮的,仍然有人會問“100,000以下有多少個素數?”,“一個隨機的100位數多大可能是素數?”。素數定理可以回答此問題。
相關定理
在一個大於1的數a和它2倍之間(即區間(a,2a]中)必存在至少一個素數。
存在任意長度的素數等差數列。(格林和陶哲軒,2004年)
一個偶數可以寫成兩個數字之和,其中每一個數字都最多隻有9個質因數。(挪威布朗,1920年)
一個偶數必定可以寫成一個質數加上一個合成數,其中的因子個數有上界。(瑞尼,1948年)
一個偶數必定可以寫成一個質數加上一個最多由5個因子所組成的合成數。後來,有人簡稱這結果爲(1+5)(中國,1968年)
一個充分大偶數必定可以寫成一個素數加上一個最多由2個質因子所組成的合成數。簡稱爲(1+2)(中國陳景潤)
著名猜想
哥德巴赫猜想:是否每個大於2的偶數都可寫成兩個素數之和?
孿生素數猜想:孿生素數就是差爲2的素數對,例如11和13。是否存在無窮多的孿生素數?
斐波那契數列內是否存在無窮多的素數?是否有無窮多個的梅森素數?在n2與(n+1)2之間是否每隔n就有一個素數?是否存在無窮個形式如X2+1素數?
性質介紹
質數具有許多獨特的性質:
(1)質數p的約數只有兩個:1和p。
(2)初等數學基本定理:任一大於1的自然數,要麼本身是質數,要麼可以分解爲幾個質數之積,且這種分解是唯一的。
(3)質數的個數是無限的。
(4)質數的個數公式π(n)是不減函數。
(5)若n爲正整數,在n的2次方到(n+1)的2次方之間至少有一個質數。
(6)若n爲大於或等於2的正整數,在n到n!之間至少有一個質數。
(7)若質數p爲不超過n(n大於等於4)的最大質數,則p>n/2。
質數與素數的區別 篇二
質數又稱素數。指在一個大於1的自然數中,除了1和此整數自身外,沒法被其他自然數整除的數。換句話說,只有兩個正因數(1和自己)的自然數即爲素數。比1大但不是素數的數稱爲合數。1和0既非素數也非合數。合數是由若干個質數相乘而得到的。
所以,質數是合數的基礎,沒有質數就沒有合數。這也說明了前面所提到的質數在數論中有着重要地位。歷史上曾將1也包含在質數之內,但後來爲了算術基本定理,最終1被數學家排除在質數之外,而從高等代數的角度來看,1是乘法單位元,也不能算在質數之內,並且,所有的合數都可由若干個質數相乘而得到。
快速記憶100以內的質數表的方法 篇三
方法一:一百以內質數口訣
二,三,五,七,一十一;
一三,一九,一十七;
二三,二九,三十七;
三一,四一,四十七;
四三,五三,五十九;
六一,七一,六十七;
七三,八三,八十九;
再加七九,九十七;
25個質數不能少;
百以內質數心中記。
方法二:兒歌記憶法:
2、3、5、7、11(二、三、五、七和十一)
13、17(十三後面是十七)
19、23、29(十九、二三、二十九)
31、37、41(三一、三七、四十一)
43、47、53(四三、四七、五十三)
59、61、67(五九、六一、六十七)
71、73、79(七一、七三、七十九)
83、89、97(八三、、九十七
方法三:
我想2357不用記。
我編了故事:質數爬山喝酒記
筷子(11)和醫生(13)在天平山上用儀器(17)製造藥酒(19)。碰見喬丹(23)和二舅(29)帶着山藥(31)和山雞(37),跟隨的司儀(41)說,石山(43)腳下有他們帶的司機(47),司機頭上戴個烏紗(53)帽,帽子上有一個紅色的五角星(59),司機還帶個兒童(61),他們正在油漆(67)車,車裏放着生日(71)快樂歌曲,,車上插着旗杆(73),旗杆上掛着氣球(79)。他們爬山(83)時也帶了一瓶白酒(89),喝完酒後,他們將一塊回香港(97)。轉自:高山流水。
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