高中數學必修四知識點(新版多篇)
高中數學必修四知識 篇一
(一)、映射、函數、反函數
1、對應、映射、函數三個概念既有共性又有區別,映射是一種特殊的對應,而函數又是一種特殊的映射。
2、對於函數的概念,應注意如下幾點:
(1)掌握構成函數的三要素,會判斷兩個函數是否爲同一函數。
(2)掌握三種表示法——列表法、解析法、圖象法,能根實際問題尋求變量間的函數關係式,特別是會求分段函數的解析式。
(3)如果y=f(u),u=g(x),那麼y=f[g(x)]叫做f和g的複合函數,其中g(x)爲內函數,f(u)爲外函數。
3、求函數y=f(x)的反函數的一般步驟:
(1)確定原函數的值域,也就是反函數的定義域;
(2)由y=f(x)的解析式求出x=f-1(y);
(3)將x,y對換,得反函數的習慣表達式y=f-1(x),並註明定義域。
注意①:對於分段函數的反函數,先分別求出在各段上的反函數,然後再合併到一起。
②熟悉的應用,求f-1(x0)的值,合理利用這個結論,可以避免求反函數的過程,從而簡化運算。
(二)、函數的解析式與定義域
1、函數及其定義域是不可分割的整體,沒有定義域的函數是不存在的,因此,要正確地寫出函數的解析式,必須是在求出變量間的對應法則的同時,求出函數的定義域。求函數的定義域一般有三種類型:
(1)有時一個函數來自於一個實際問題,這時自變量x有實際意義,求定義域要結合實際意義考慮;
(2)已知一個函數的解析式求其定義域,只要使解析式有意義即可。如:
①分式的分母不得爲零;
②偶次方根的被開方數不小於零;
③對數函數的真數必須大於零;
④指數函數和對數函數的底數必須大於零且不等於1;
⑤三角函數中的正切函數y=tanx(x∈R,且k∈Z),餘切函數y=cotx(x∈R,x≠kπ,k∈Z)等。
應注意,一個函數的解析式由幾部分組成時,定義域爲各部分有意義的自變量取值的公共部分(即交集)。
(3)已知一個函數的定義域,求另一個函數的定義域,主要考慮定義域的深刻含義即可。
已知f(x)的定義域是[a,b],求f[g(x)]的定義域是指滿足a≤g(x)≤b的x的取值範圍,而已知f[g(x)]的定義域[a,b]指的是x∈[a,b],此時f(x)的定義域,即g(x)的值域。
2、求函數的解析式一般有四種情況
(1)根據某實際問題需建立一種函數關係時,必須引入合適的變量,根據數學的有關知識尋求函數的解析式。
(2)有時題設給出函數特徵,求函數的解析式,可採用待定係數法。比如函數是一次函數,可設f(x)=ax+b(a≠0),其中a,b爲待定係數,根據題設條件,列出方程組,求出a,b即可。
(3)若題設給出複合函數f[g(x)]的表達式時,可用換元法求函數f(x)的表達式,這時必須求出g(x)的值域,這相當於求函數的定義域。
(4)若已知f(x)滿足某個等式,這個等式除f(x)是未知量外,還出現其他未知量(如f(-x),等),必須根據已知等式,再構造其他等式組成方程組,利用解方程組法求出f(x)的表達式。
高中數學必修四知識 篇二
單調性
⑴若導數大於零,則單調遞增;若導數小於零,則單調遞減;導數等於零爲函數駐點,不一定爲極值點。需代入駐點左右兩邊的數值求導數正負判斷單調性。
⑵若已知函數爲遞增函數,則導數大於等於零;若已知函數爲遞減函數,則導數小於等於零。
根據微積分基本定理,對於可導的函數,有:
如果函數的導函數在某一區間內恆大於零(或恆小於零),那麼函數在這一區間內單調遞增(或單調遞減),這種區間也稱爲函數的單調區間。導函數等於零的點稱爲函數的駐點,在這類點上函數可能會取得極大值或極小值(即極值可疑點)。進一步判斷則需要知道導函數在附近的符號。對於滿足的一點,如果存在使得在之前區間上都大於等於零,而在之後區間上都小於等於零,那麼是一個極大值點,反之則爲極小值點。
x變化時函數(藍色曲線)的切線變化。函數的導數值就是切線的斜率,綠色代表其值爲正,紅色代表其值爲負,黑色代表值爲零。
凹凸性
可導函數的凹凸性與其導數的單調性有關。如果函數的導函數在某個區間上單調遞增,那麼這個區間上函數是向下凹的,反之則是向上凸的。如果二階導函數存在,也可以用它的正負性判斷,如果在某個區間上恆大於零,則這個區間上函數是向下凹的,反之這個區間上函數是向上凸的。曲線的凹凸分界點稱爲曲線的拐點。
高中數學必修四知識 篇三
【公式一】
設α爲任意角,終邊相同的角的同一三角函數的值相等:
sin(2kπ+α)=sinα(k∈Z)
cos(2kπ+α)=cosα(k∈Z)
tan(2kπ+α)=tanα(k∈Z)
cot(2kπ+α)=cotα(k∈Z)
【公式二】
設α爲任意角,π+α的三角函數值與α的三角函數值之間的關係:
sin(π+α)=-sinα
cos(π+α)=-cosα
tan(π+α)=tanα
cot(π+α)=cotα
【公式三】
任意角α與-α的三角函數值之間的關係:
sin(-α)=-sinα
cos(-α)=cosα
tan(-α)=-tanα
cot(-α)=-cotα
【公式四】
利用公式二和公式三可以得到π-α與α的三角函數值之間的關係:
sin(π-α)=sinα
cos(π-α)=-cosα
tan(π-α)=-tanα
cot(π-α)=-cotα
【公式五】
利用公式一和公式三可以得到2π-α與α的三角函數值之間的關係:
sin(2π-α)=-sinα
cos(2π-α)=cosα
tan(2π-α)=-tanα
cot(2π-α)=-cotα
高中數學必修四知識 篇四
立體幾何初步
(1)棱柱:
定義:有兩個面互相平行,其餘各面都是四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行,由這些面所圍成的幾何體。
分類:以底面多邊形的邊數作爲分類的標準分爲三棱柱、四棱柱、五棱柱等。
表示:用各頂點字母,如五棱柱或用對角線的端點字母,如五棱柱
幾何特徵:兩底面是對應邊平行的全等多邊形;側面、對角面都是平行四邊形;側棱平行且相等;平行於底面的截面是與底面全等的多邊形。
(2)棱錐
定義:有一個面是多邊形,其餘各面都是有一個公共頂點的三角形,由這些面所圍成的幾何體
分類:以底面多邊形的邊數作爲分類的標準分爲三棱錐、四棱錐、五棱錐等
表示:用各頂點字母,如五棱錐
幾何特徵:側面、對角面都是三角形;平行於底面的截面與底面相似,其相似比等於頂點到截面距離與高的比的平方。
(3)棱臺:
定義:用一個平行於棱錐底面的平面去截棱錐,截面和底面之間的部分
分類:以底面多邊形的邊數作爲分類的標準分爲三棱態、四棱臺、五棱臺等
表示:用各頂點字母,如五棱臺
幾何特徵:①上下底面是相似的平行多邊形②側面是梯形③側棱交於原棱錐的頂點
(4)圓柱:
定義:以矩形的一邊所在的直線爲軸旋轉,其餘三邊旋轉所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特徵:①底面是全等的圓;②母線與軸平行;③軸與底面圓的半徑垂直;④側面展開圖是一個矩形。
(5)圓錐:
定義:以直角三角形的一條直角邊爲旋轉軸,旋轉一週所成的曲面所圍成的幾何體
幾何特徵:①底面是一個圓;②母線交於圓錐的頂點;③側面展開圖是一個扇形。
(6)圓臺:
定義:用一個平行於圓錐底面的平面去截圓錐,截面和底面之間的部分
幾何特徵:①上下底面是兩個圓;②側面母線交於原圓錐的頂點;③側面展開圖是一個弓形。
(7)球體:
定義:以半圓的直徑所在直線爲旋轉軸,半圓面旋轉一週形成的幾何體
幾何特徵:①球的截面是圓;②球面上任意一點到球心的距離等於半徑。
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