七年級數學知識點：提公因式法知識點【通用多篇】

七年級數學知識點：提公因式法知識點 篇一

1.類比法

在學習分數時，我們常常要進行約分與通分，因此常常要把一個數分解因數(即分解約數)．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．

在第七章我們學習了整式的乘法，幾個整式相乘可以化成一個多項式，那麼一個多項式如何化成幾個整式乘積的形式呢？這一章就是學習如何把一個多項式化成幾個整式的積的方法．

2.因式分解的概念：

計算出其結果．

如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc

2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

(a+b)(a-b)＝a2-b2

(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn

(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等．

它們有什麼共同的特點？

特點：左邊，整式×整式；右邊，是多項式．

可見，整式乘以整式結果是多項式，而多項式也可以變形爲相應的整式與整式的乘積，我們就把這種多項式的變形叫做因式分解．

定義：把一個多項式化爲幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．

如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．

說出因式分解與整式乘法的聯繫與區別．

聯繫：同樣是由幾個相同的整式組成的等式．

區別：這幾個相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．兩者是方向相反的恆等變形，二者是一個式子的不同表現形式，一個是多項式的表現形式，一個是兩個或幾個因式積的表現形式．

例1 下列各式從左到右哪些是因式分解？（投影）

(1)x2-x＝x(x-1) (√)

(2)a(a-b)＝a2-ab (×)

(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)

(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×)

(5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)

下面我們學習幾種常見的因式分解方法．

3．提公因式法：

我們看多項式：ma+mb+mc

它的特點：各項都含有一個公共的因式m，這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式．

注意：公因式是各項都含有的公共的因式．

又如：a是多項式a2-a各項的公因式．

ab是多項式5a2b-ab2各項的公因式．

2mn是多項式4m2np-2mn2q各項的公因式．

根據乘法的分配律，可得m(a+b+c)＝ma+mb+mc，

逆變形，便得到多項式ma+mb+mc的因式分解形式ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

這說明，多項式ma+mb+mc各項都含有的公因式可以提到括號外面，將多項式 ma+mb+mc寫成m(a+b+c)的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多 項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

顯然，由定義可知，提公因式法的關鍵是如何正確地尋找公因式．

找出確定公因式的萬法：

(1)公因式的係數應取各項係數的最大公約數：

(2)字母取各項的相同字母，而且各字母的指數取次數例2 指出下列各多項式中各項的公因式：

(1)ax+ay+a (a)

(2)3mx-6mx2 (3mx)

(3)4a2+10ah (2a)

(4)x2y+xy2 (xy)

(5)12xyz-9x2y2 (3xy)

例3 把8a3b2-12ab3c分解因式．

分析：分兩步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．

先引導學生按確定公因式的方法找出多項式的公因式4ab2．

解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)．

說明：

(1)應特別強調確定公因式的兩個條件以免漏取．

(2)開始講提公因式法時，最好把公因式單獨寫出．

①以顯提醒；

③強調提公因式；

③強調因式分解．

例4 把3x2-6xy+x 分解因式．

分析：先引導學生找出公因式x，強調多項式中x=x·1．

解：3x2-6xy+x

=x·3x-x·6y+x·1

＝x(3x-6y+1)．

說明：當多項式的某一項恰好是公因式時，這項應看成它與1的乘積，提公因式後剩下的應是1，1作爲項的係數通常可以省略，但如果單獨成一項時，它在因式分解時不能漏掉，提公因式後的因式的項數應與原多項式的項數一樣，這樣可以檢查是否漏項．

4.把下列各式分解因式：

(l)2πR+2πr；

(2)

(3)3x3+6x2；

(4)21a2+7a；

(5)15a2+25ab2；

(6)x2y+xy2-xy．

例5 把-4m3+16m2-26m分解因式．

分析：此多項式第一項的係數是負數，與前面兩例不同，應先把它轉化爲前面的情形便可以因式分解了，所以應先提負號轉化，然後再提公因式，提“-”號時，注意添括號法則．

解：-4m3+16m2-26m

＝-(4m3-16m2+26m)

＝-2m(2m2-8m+13)．

說明：通過此例可以看出應用提公因式法分解因式時，應先觀察第一項係數的正負，負號時，運用添括號法則提出負號，此時一定要把每一項都變號；然後再提公因式．

5.把下列各式分解因式：

(1)-15ax-20a；

(2)-25x8+125x16；

(3)-a3b2+a2b3；

(4)-x3y3-x2y2-xy；

(5)-3ma3+6ma2-12ma；

七年級數學知識點：提公因式法知識點 篇二

國中階段是我們一生中學習的“黃金時期”。不光愉快的過新學期，也要面對一件重要的事情那就是學習。小編爲大家提供了提公因式法知識點，希望對大家有所幫助。

◆因式分解——把一個多項式變成幾個整式的積的形式；（化和爲積）

注意：

1、因式分解對象是多項式；

2、因式分解必須進行到每一個多項式因式不能再分解爲止；

3、可運用因式分解與整式乘法的互逆關係檢驗因式分解的正確性；

◆分解因式的作用

分解因式是一種重要的代數恆等變形，它有着廣泛的應用，常見的用途有化簡多項式和進行簡便運算，恰當的運用分解因式，常可以使計算化繁爲簡。

◆分解因式的一些原則

（1）提公因式優先的原則。即一個多項式的各項若有公因式，分解時應首先提取公因式。

（2）分解徹底的原則。即分解因式必須進行到每一個多項式因式都再不能分解爲止。

（3）首項爲負的添括號原則。即如果多項式的首項係數爲負，應先添上帶“—”號的括號，並遵循添括號法則。

◆因式分解的首要方法—提公因式法

1、公因式：一個多項式每項都含有的公共的因式，叫做這個多項式各項的公因式。

2、提公因式法：如果一個多項式的各項含有公因式，可以逆用乘法分配律，把各項共有的因式提出以分解因式的方法，叫做提公因式法。

3、使用提取公因式法應注意幾點：

（1）提取的“公因式”可以是數、單項式，也可以是一個多項式，是一個整體。

（2）公因式必須是多項式的每一項都有的因式，在提取公因式時，要把這些公共的因式全部找出來，並提到括號外面去，纔算完成了提取公因式。（找最高公因式）

（3）對多項式中的每一項的數字係數，在提取時要提出這些數字係數的最大公約數，各項都含有相同的字母，要提取相同字母的指數的最低指數。

◆提公因式法分解因式的關鍵：

1、確定最高公因式；（各項係數的最大公約數與相同因式的最低次冪之積）

2、提出公因式後另一因式的確定；（用原多項式的每一項分別除以公因式）

七年級數學知識點：提公因式法知識點 篇三

性質：

一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

當各項係數都是整數時，公因式的係數應取各項係數的最大公約數；字母取各項的相同的字母，且各字母的指數取次數最低的；取相同的多項式，且多項式的次數取最低的。

如果多項式的第一項是負的，一般要提出“-”號，使括號內的第一項的係數成爲正數。提出“-”號時，多項式的各項都要變號。

概念：

提公因式法一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法。

【提取公因式法的解題步驟】

提取公因式法是因式分解的一種基本方法。如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提取出來作爲多項式的一個因式，提取公因式後的式子放在括號裏，作爲另一個因式。

提取公因式是乘法分配律的逆運算，其最簡形式爲：ma+mb+mc=m(a+b+c)。

提取公因式法分解因式的解題步驟是怎樣的？

利用提公因式法分解因式時，一般分兩步進行：

(1)提公因式。

把各項中相同字母或因式的最低次冪的積作爲公因式提出來；當係數爲整數時，還要把它們的最大公約數也提出來，作爲公因式的係數；當多項式首項符號爲負時，還要提出負號。

(2)用公因式分別去除多項式的每一項，把所得的商的代數和作爲另一個因式，與公因式寫成積的形式。

由於題目形式千變萬化，解題時也不能生搬硬套。例如，有的需要先對題目適當整理變形；有的分解因式後多項式因式中有同類項的還要進行合併化簡；還有的提取公因式後能用其他方法繼續分解。

其中，以(a-b)*(a+b)爲例

【練習題】

1.多項式8x3y2-12xy3z的公因式是_________.

2.多項式-6ab2+18a2b2-12a3b2c的公因式是( )

A.-6ab2c

B.-ab2

C.-6ab2

D.-6a3b2c

3.下列用提公因式法因式分解正確的是( )

A.12abc-9a2b2=3abc(4-3ab)

B.3x2y-3xy+6y=3y(x2-x+2y)

C.-a2+ab-ac=-a(a-b+c)

D.x2y+5xy-y=y(x2+5x)

【參考答案】

1.4xy2

2.C

3.C

七年級數學知識點：提公因式法知識點 篇四

1.在運用提取公因式法把一個多項式因式分解時，首先觀察多項式的結構特點，確定多項式的公因式。當多項式各項的公因式是一個多項式時，可以用設輔助元的方法把它轉化爲單項式，也可以把這個多項式因式看作一個整體，直接提取公因式；當多項式各項的公因式是隱含的時候，要把多項式進行適當的變形，或改變符號，直到可確定多項式的公因式。

2. 運用公式x2 +(p+q)x+pq=(x+q)(x+p)進行因式分解要注意：

1.必須先將常數項分解成兩個因數的積，且這兩個因數的代數和等於一次項的係數。

2.將常數項分解成滿足要求的兩個因數積的多次嘗試，

一般步驟：

① 列出常數項分解成兩個因數的積各種可能情況；

②嘗試其中的哪兩個因數的和恰好等於一次項係數。

3.將原多項式分解成(x+q)(x+p)的形式。

七年級數學知識點：提公因式法知識點 篇五

1、整理知識結構

提公因式法：關鍵是確定公因式

因式分解平方差公式：______________________

運用公式法：

完全平方公式：_____________________

2、分解因式：

⑴4a4-100

⑵a4-2a2b2+b4

3、思考：

⑴在解答這兩題的過程中，你用到了哪些公式？

⑵你認爲(2a2+10)(2a2-10)和(a2-b2)2這兩個結果是因式分解的最終結果嗎？若不是，你認爲還可以怎樣分解？

⑶怎樣避免出現上述分解不完全的情況呢？

說明：公式中a、b可以是具體的數，也可以是任意的單項式和多項式。多項式的因式分解，要根據多項式的特點，選擇使用恰當的方法去分解，對於有些多項式，有時需同時用到幾種不同的方法，才能分解完全。

4、問題研討：

1、例題一(準備好，跟着老師一起做！)

把下列各式分解因式：⑴18a2-50⑵2x2y-8xy+8y

⑶a2(x-y)-b2(x-y)

2、例題二(有困難，大家一起討論吧！)

把下列各式分解因式：⑴a4-16⑵81x4-72x2y2+16y4

3、因式分解的。方法步驟：

⑴如果多項式各項有公因式，應先提公因式，再進一步分解。

⑵分解因式必須分解到每個多項式的因式都不能再分解爲止。

⑶因式分解的結果必須是幾個整式的積的形式。

注意：先提取公因式後利用公式。

注意：兩個公式先後套用。分解因式必須分解到每個多項式的因式都不能再分解爲止。

即：“一提”、“二套”、“三查”。說明：將一個多項式分解因式時，首先要觀察被分解的多項式是否有公因式，若有，就要先提供因式，再觀察另一個因式特點，進而發現其能否用公式法繼續分解。

5、練習檢測與拓展延伸：

1、鞏固練習

⑴把下列各式分解因式：

①3ax2-3ay4

②-2xy-x2--本站§ y2

③3ax2+6axy+3ay2

⑵把下列各式分解因式：

①x4-81

②(x2-2y)2-(1-2y)2

③x4-2x2+1

④x4-8x2y2+16y4

2、提升訓練

⑴已知2x+y=6、x-3y=1，求14y(x-3y)2-4(3y-x)3的值。

⑵已知a+b=5、ab=3，求代數式a3b+2a2b2+ab3的值。

6、總結：

進行多項式因式分解時，必須把每一個因式都分解到不能再分爲止。

七年級數學知識點：提公因式法知識點 篇六

多項式 ab+ac中，各項有相同的因式嗎？多項式 3x2+x呢？多項式mb2+nb–b呢？

結論：多項式中各項都含有的相同因式，叫做這個多項式各項的公因式．

多項式2x2+6x3中各項的公因式是什麼？那多項式2x2y+6x3y2中各項的公因式是什麼？

結論：

（1）各項係數是整數，係數的最大公約數是公因式的係數；

（2）各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分；

（3）公因式的係數與公因式字母部分的積是這個多項式的公因式．

將以下多項式寫成幾個因式的乘積的形式：

（1）ab+ac

（2）x2+4x

（3）mb2+nb–b

如果一個多項式的各項含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

將下列多項式進行分解因式：

（1）3x+

（2）7x –21

（3） 8a3b2–12ab3c+ab

（4）–24x3+12x2－28x

提取公因式的步驟：

（1）找公因式；

（2）提公因式．

易出現的問題：

（1）第二題只提出7x作爲公因式

（2）第（3）題中的最後一項提出ab後，漏掉了“+1”；

（3）第（4）題提出“–”時，後面的因式不是每一項都變號．

提醒：

（1）各項都含有的字母的最低次冪的積是公因式的字母部分；

（2）因式分解後括號內的多項式的項數與原多項式的項數是否相同；

（3）如果多項式的首項爲“–”時，則先提取“–”號，然後提取其它公因式；

（4）將分解因式後的式子再進行單項式與多項式相乘，其積是否與原式相等．

找出下列各多項式的公因式：

（1）4x+8y

（2）am+an

（3）48mn–24m2n3

（4）a2b–2ab2+ab