八年級因式分解知識點整合【多篇】

九年級數學因式分解法 篇一

多項式的因式分解是代數式恆等變形的基本形式之一，它被廣泛地應用於初等數學之中，是我們解決許多數學問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有着十分獨特的作用。

1、運用公式法

在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即爲因式分解中常用的公式，

例如：

（1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

下面再補充幾個常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n爲正整數；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n爲偶數；

（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n爲奇數。

運用公式法分解因式時，要根據多項式的特點，根據字母、係數、指數、符號等正確恰當地選擇公式。

例1 分解因式：a3+b3+c3-3abc。

本題實際上就是用因式分解的方法證明前面給出的公式（6）。

分析 我們已經知道公式（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3

的正確性，現將此公式變形爲a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）。

這個公式也是一個常用的公式，本題就藉助於它來推導。

解 原式=（a+b）3-3ab（a+b）+c3-3abc=[（a+b）3+c3]-3ab（a+b+c）

=（a+b+c）[（a+b）2-c（a+b）+c2]-3ab（a+b+c）=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）。

2、拆項、添項法

因式分解是多項式乘法的逆運算。在多項式乘法運算時，整理、化簡常將幾個同類項合併爲一項，或將兩個僅符號相反的同類項相互抵消爲零。在對某些多項式分解因式時，需要恢復那些被合併或相互抵消的項，即把多項式中的某一項拆成兩項或多項，或者在多項式中添上兩個僅符合相反的項，前者稱爲拆項，後者稱爲添項。拆項、添項的目的是使多項式能用分組分解法進行因式分解。

例2 分解因式：x3-9x+8。

分析 本題解法很多，這裏只介紹運用拆項、添項法分解的幾種解法，注意一下拆項、添項的目的與技巧。

解法1 將常數項8拆成-1+9。

原式=x3-9x-1+9

=（x3-1）-9x+9

=（x-1）（x2+x+1）-9（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）。

解法2 將一次項-9x拆成-x-8x。

原式=x3-x-8x+8

=（x3-x）+（-8x+8）

=x（x+1）（x-1）-8（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）。

解法3 將三次項x3拆成9x3-8x3。

原式=9x3-8x3-9x+8

=（9x3-9x）+（-8x3+8）

=9x（x+1）（x-1）-8（x-1）（x2+x+1）

=（x-1）（x2+x-8）。

解法4 添加兩項-x2+x2。

原式=x3-9x+8

=x3-x2+x2-9x+8

=x2（x-1）+（x-8）（x-1）

=（x-1）（x2+x-8）。

說明 由此題可以看出，用拆項、添項的方法分解因式時，要拆哪些項，添什麼項並無一定之規，主要的是要依靠對題目特點的觀察，靈活變換，因此拆項、添項法是因式分解諸方法中技巧性最強的一種。

3、換元法

換元法指的是將一個較複雜的代數式中的某一部分看作一個整體，並用一個新的字母替代這個整體來運算，從而使運算過程簡明清晰。 例3 分解因式：（x2+x+1）（x2+x+2）-12。

分析 將原式展開，是關於x的四次多項式，≤≥分解因式較困難。我們不妨將x2+x看作一個整體，並用字母y來替代，於是原題轉化爲關於y的二次三項式的因式分解問題了。

解 設x2+x=y，則

原式=（y+1）（y+2）-12=y2+3y-10

=（y-2）（y+5）=（x2+x-2）（x2+x+5）

=（x-1）（x+2）（x2+x+5）。

說明 本題也可將x2+x+1看作一個整體，比如今x2+x+1=u，一樣可以得到同樣的結果，有興趣的同學不妨試一試。

4、雙十字相乘法

分解二次三項式時，我們常用十字相乘法。對於某些二元二次六項式（ax2+bxy+cy2+dx+ey+f），我們也可以用十字相乘法分解因式。

例如，分解因式2x2-7xy-22y2-5x+35y-3。我們將上式按x降冪排列，並把y當作常數，於是上式可變形爲

2x2-（5+7y）x-（22y2-35y+3），

可以看作是關於x的二次三項式。

對於常數項而言，它是關於y的二次三項式，也可以用十字相乘法，分解爲 （x+2y）（2x-11y）=2x2-7xy-22y2； （x-3）（2x+1）=2x2-5x-3；

（2y-3）（-11y+1）=-22y2+35y-3。 這就是所謂的雙十字相乘法。

用雙十字相乘法對多項式ax2+bxy+cy2+dx+ey+f進行因式分解的步驟是：

（1）用十字相乘法分解ax2+bxy+cy2，得到一個十字相乘圖（有兩列）；

（2）把常數項f分解成兩個因式填在第三列上，要求第二、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的ey，第一、第三列構成的十字交叉之積的和等於原式中的dx。

例4 分解因式：

x2-3xy-10y2+x+9y-2 解：

原式=（x-5y+2）（x+2y-1）

在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即爲因式分解中常用的公式，

例如： （1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

下面再補充幾個常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n爲正整數；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n爲偶數；

（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n爲奇數。

在整式的乘、除中，我們學過若干個乘法公式，現將其反向使用，即爲因式分解中常用的公式，

例如： （1）a2-b2=（a+b）（a-b）；

（2）a2±2ab+b2=（a±b）2；

（3）a3+b3=（a+b）（a2-ab+b2）；

（4）a3-b3=（a-b）（a2+ab+b2）。

下面再補充幾個常用的公式：

（5）a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=（a+b+c）2；

（6）a3+b3+c3-3abc=（a+b+c）（a2+b2+c2-ab-bc-ca）；

（7）an-bn=（a-b）（an-1+an-2b+an-3b2+…+abn-2+bn-1）其中n爲正整數；

（8）an-bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…+abn-2-bn-1），其中n爲偶數；

（9）an+bn=（a+b）（an-1-an-2b+an-3b2-…-abn-2+bn-1），其中n爲奇數。

九年級數學因式分解法 篇二

許多數學問題的有力工具。因式分解方法靈活，技巧性強，學習這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內容所必需的，而且對於培養學生的解題技能，發展學生的思維能力，都有着十分獨特的作用。國中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法。而在競賽上，又有拆項和添項法，待定係數法，雙十字相乘法，輪換對稱法等。把一個多項式化成幾個整式的積的形式，這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣，現總結如下：

1、提公因法

如果一個多項式的各項都含有公因式，那麼就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。

例1、分解因式x -2x -x（2003淮安市會考題）  解：x -2x -x=x（x -2x-1）

2、應用公式法

由於分解因式與整式乘法有着互逆的關係，如果把乘法公式反過來，那麼就可以用來把某些多項式分解因式。

例2、分解因式a +4ab+4b （2003南通市會考題） 解：a +4ab+4b =（a+2b）

3、分組分解法

要把多項式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前兩項分成一組，並提出公因式a，把它後兩項分成一組，並提出公因式b，從而得到a（m+n）+b（m+n），又可以提出公因式m+n，從而得到（a+b）（m+n）

例3、分解因式m +5n-mn-5m 解：m +5n-mn-5m= m -5m -mn+5n = （m -5m ）+（-mn+5n） =m（m-5）-n（m-5） =（m-5）（m-n）

4、十字相乘法

對於mx +px+q形式的多項式，如果a×b=m，c×d=q且ac+bd=p，則多項式可因式分解爲（ax+d）（bx+c）

例4、分解因式7x2 -19x-6 分析： 1 -3 7 2

2-21=-19

解：7x2 -19x-6=（7x+2）（x-3）

5、配方法

對於那些不能利用公式法的。多項式，有的可以利用將其配成一個完全平方式，然後再利用平方差公式，就能將其因式分解。

例5、分解因式x2 +3x-40 解x2 +3x-40=x +3x+（ ） -（ ） -40 =（x+ ） -（ ） =（x+ + ）（x+ - ） =（x+8）（x-5）

6、拆、添項法

可以把多項式拆成若干部分，再用進行因式分解。

例6、分解因式bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）

解：bc（b+c）+ca（c-a）-ab（a+b）=bc（c-a+a+b）+ca（c-a）-ab（a+b）

=bc（c-a）+ca（c-a）+bc（a+b）-ab（a+b）=c（c-a）（b+a）+b（a+b）（c-a）=（c+b）（c-a）（a+b）

7、換元法

有時在分解因式時，可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數，然後進行因式分解，最後再轉換回來。

例7、分解因式2x2 - x -6x -x+2

解：2x -x -6x -x+2=2（x +1）-x（x +1）-6x =x [2（x + ）-（x+ ）-6

令y=x+ ， x [2（x + ）-（x+ ）-6 = x [2（y -2）-y-6] = x （2y -y-10） =x （y+2）（2y-5） =x （x+ +2）（2x+ -5） = （x +2x+1） （2x -5x+2） =（x+1） （2x-1）（x-2）

8、求根法

令多項式f（x）=0，求出其根爲x ，x ，x ，……x ，則多項式可因式分解爲f（x）=（x-x ）（x-x ）（x-x ）……（x-x ）

例8、分解因式2x +7x -2x -13x+6 解：令f（x）=2x +7x -2x -13x+6=0

通過綜合除法可知，f（x）=0根爲 ，-3，-2，1 則2x +7x -2x -13x+6=（2x-1）（x+3）（x+2）（x-1）

9、圖象法

令y=f（x），做出函數y=f（x）的圖象，找到函數圖象與X軸的交點x ，x ，x ，……x ，則多項式可因式分解爲f（x）= f（x）=（x-x ）（x-x ）（x-x ）……（x-x ）

例9、因式分解x +2x -5x-6 解：令y= x +2x -5x-6

作出其圖象，見右圖，與x軸交點爲-3，-1，2 則x +2x -5x-6=（x+1）（x+3）（x-2）

10、主元法

先選定一個字母爲主元，然後把各項按這個字母次數從高到低排列，再進行因式分解。

例10、分解因式a （b-c）+b （c-a）+c （a-b）

分析：此題可選定a爲主元，將其按次數從高到低排列

解：a （b-c）+b （c-a）+c （a-b）=a （b-c）-a（b -c ）+（b c-c b） =（b-c） [a -a（b+c）+bc] =（b-c）（a-b）（a-c）

11、利用特殊值法

將2或10代入x，求出數P，將數P分解質因數，將質因數適當的組合，並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式，將2或10還原成x，即得因式分解式。

例11、分解因式x +9x +23x+15

解：令x=2，則x +9x +23x+15=8+36+46+15=105 將105分解成3個質因數的積，即105=3×5×7

注意到多項式中最高項的係數爲1，而3、5、7分別爲x+1，x+3，x+5，在x=2時的值 則x +9x +23x+15=（x+1）（x+3）（x+5）

12、待定係數法

首先判斷出分解因式的形式，然後設出相應整式的字母系數，求出字母系數，從而把多項式因式分解。

例12、分解因式x -x -5x -6x-4

分析：易知這個多項式沒有一次因式，因而只能分解爲兩個二次因式。

解：設x -x -5x -6x-4=（x +ax+b）（x +cx+d） = x +（a+c）x +（ac+b+d）x +（ad+bc）x+bd 所以解得

則x -x -5x -6x-4 =（x +x+1）（x -2x-4）