國中數學證明題解答(精選多篇)

第一篇：國中數學證明題解答

國中數學證明題解答

1.若x1,x2∈|-1，1

且x1*x2+x2*x3+……+xn*x1=0

求證：4|n

(x1,x2,x3,xn中的數字和n均下標)

2.在n平方(n≥4)的空白方格內填入+1和-1，

每兩個不同行且不同列的方格內數字的和稱爲基本項。

求證：4|所有基本項的和

1.

y1=x1*x2,y2=x2*x3,……,yn=xn*x1

==>

y1,y2,..,yn∈{-1，1},

且y1+..+yn=0.

設y1,y2,..,yn有k個-1,則有n-k個1,所以

y1+..+yn=n-k+(-k)=n-2k=0

==>n=2k.

而y1*y2*..*yn=(-1)^k=^2=1

==>k=2u

==>n=4u.

2.

設添的數爲x(i,j),1≤i,j≤n.

基本項=x(i,j)+x(u,v),i≠u,j≠v.

這時=x(i,j)和x(u,v)組成兩個基本項

x(i,j)+x(u,v),x(u,v)+x(i,j),

和x(i,j)不同行且不同列的x(u,v)有(n-1)^2個,

所以每個x(i,j)出現在2(n-1)^2個基本項中.

因此所有基本項的和=2(n-1)^2.

設x(i,j)有k個-1,則

所有基本項的和=2(n-1)^2=

=2(n-1)^2

顯然4|2(n-1)^2,

所以4|所有基本項的和.

命題：多項式f(x)滿足以下兩個條件：

(1)多項式f(x)除以x^4+x^2+1所得餘式爲x^3+2x^2+3x+4

(2)多項式f(x)除以x^4+x^2+1所得餘式爲x^3+x+2

證明：f(x)除以x^2+x+1所得的餘式爲x+3

x^4+x^2+1=(x^2+x+1)·(x^2-x+1)

x^3+2x^2+3x+4=(x^2+x+1)·(x+1)+x+3

x^3+x+2=(x^2+x+1)·(x-1)+x+3

====>f(x)除以x^2+x+1所得的餘式爲x+3

各數平方的和能被7整除.”“證明”也稱“論證”，是根據已知真實白勺判斷來確某一判斷的直實性的思維形式.只有正確的證明，才能使一個真判斷的真實性、必然性得到確定.這是過去同學們較少涉足的新內容、新形式.本刊的“有獎問題徵解”中就有不少是證明題(證明題有代數證明題和幾何證明題等)，從來稿看，很多同學不會證明.譬如上題就是代數證明題，不少同學會取出一組或幾組連續的自然數，如o+1+2+3+4+5+6z一91—7×13，1+2+3+4+5+6+7z一140—7×2o後，便依此類推，說明原題是正確的，以爲完成了證明.其實，這叫做“驗證”，不叫做證明.你只能說明所取的數組符合要求，而不能說明其他的數組就一定符合要求，“驗證”不具備一般性、必然性.這道題的正確做法是：證明設有一組數n、n+1、n+2、n+3、n+4、n+5、n+6(n爲自然數)，‘.‘+(n+1)+(n+2)2+(n+3)2+(n+4)2+(n+5)2+(n+6)2一n2+(n2+2n，4-1)+(n2+4n+4)+(n2+6n+9)+(n2+8n+16)+(n2+10n+25)+(n+12n+36)一7nz+42n+91—7(nz+6n+13)，.‘.n+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+(n+4)2+(n+5)+(n+6)能被7整除.即對任意連續7個自然數，它們平方之和都能被7整除.(證畢)顯然，因爲n可取任意自然數，因此n，n+1，n+2，n+3，n+4，n+5，n+6便具有一般性，所得結論也因此具有然性.上面的證明要用到整式的乘法(或和的平方公式)去展開括號，還要逆用乘法對加法的分配律進行推理.一般來說，代數證明的推理，常要藉助計算來完成.證明中的假設，應根據具體情況靈活處理，如上例露勤鴦中也可設這7個數是n一3、n一2、n一1、n、n+1、n+2、n+3(n爲自然數，且n≥3).這時，它們的平方和就會簡便得多.證明由論題.論據和論證方式組成.常用的論證方式有直接證明和間接證明、演繹證明和歸納證明.上例中的題目便是論題，證明中“‘.”’之後是論據，“.‘.”之後是結論，採用的論證方式是直接證明.以後還要學習幾何的證明，就會對證明題及其解法有更全面、更深入的瞭解.幾何題的證明則較多采用演繹證明.證明是對概念、判斷和推理的綜合運用，是富有創造性的思維活動，在發現真理、確認真理、宣傳真理上有重要的作用.當你學習並掌握了“證明”的方法及其精髓以後，數學向你展示的美妙與精彩，將使你受到更大的激勵，享有更多成功的喜悅。

第二篇：國中數學的證明題

國中數學的證明題

在△abc中，ab=ac，d在ab上，e在ac的延長線上，且bd=ce，線段de交bc於點f，說明：df=ef。對不起啊我不知道怎麼把畫的圖弄上來所以可能麻煩大家了謝謝

1.

過d作dh∥ac交bc與h。∵ab=ac，∴∠b=∠acb.∵dh∥ac，∴∠dhb=∠acb，∴∠b=∠dhb，∴db=dh.∵bd=ce，∴dh=ce.∵dh∥ac，∴∠hdf=∠fec.∵∠dfb=∠cfe，∴△dfh≌△efc，∴df=ef.

2.

證明:過e作eg∥ab交bc延長線於g

則∠b=∠g

又ab=ac有∠b=∠acb

所以∠acb=∠g

因∠acb=∠gce

所以∠g=∠gce

所以eg=ec

因bd=ce

所以bd=eg

在△bdf和△gef中

∠b=∠g，bd=ge，∠bfd=∠gfe

則可視gef繞f旋轉1800得△bdf

故df=ef

3.

解:

過e點作em∥ab,交bc的延長線於點m,

則∠b=∠bme,

因爲ab=ac,所以∠acb=∠bme

因爲∠acb=∠mce,所以∠mce=∠bme

所以ec=em,因爲bd=ec,所以bd=em

在△bdf和△mef中

∠b=∠bme

bd=em

∠bfd=∠mfe

所以△bdf以點f爲旋轉中心,

旋轉180度後與△mef重合,

所以df=ef

4.

已知：a、b、c是正數，且a>b。

求證：b/a

要求至少用3種方法證明。

(1)

a>b>0;c>0

1)(a+c)/(b+c)-a/b=/=(ab+ac-ab-bc}/(b^2+bc)

=(ac-bc)/(b^2+bc)=c(a-b)/

a>b--->a-b>0;a>0;b>0;c>0--->b(b+c)>0

-->c(a-b)/>0--->(a+c)/(b+c)>a/b

2)a>b>0;c>0--->bc

---ab+bc

--->a(b+c)

--->a(b+c)/

--->a/b<(a+c)/(b+c)

3)a>b>0--->1/a<1/b;c>0

--->c/a

--->c/a+1

--->(c+a)/a<(c+b)/b

--->(a+c)/(b+c)>a/b

(2)

makeb/a=k<1

b=ka

b+c=ka+c

(b+c)/(a+c)=(ka+c)/(a+c)=(ka+kc-c)/(a+c)=k(a+c)/(a+c)-(k-1)c/(a+c)

=k+(1-k)c/(a+c)>k=b/a。

第三篇：高二數學----不等式的證明題及解答

不等式的證明訓練題及解答

一、選擇題

(1)若logab爲整數,且loga1122>logablogba,那麼下列四個結論①>b>a②logab+logba=0bb

③0<a<b<1④ab-1=0中正確的個數是（）(2)設x1和x2是方程x2+px+4=0的兩個不相等的實數根,則（）

x1|>2且|x2|>2x1+x2x1+x2|<4x1|=4且|x2|=1

+(3)若x,y∈r,且x≠y,則下列四個數中最小的一個是（） 11

?)xy

(4)若x>0,y>0,且x?y≤ax?y成立,則a的最小值是（）

2

(5)已知a,b∈r,則下列各式中成立的是（）

22cos2sin2θ·lga+sinθ·lgb<lg(a+bθ·bθ=a+b

222θsin2θθ·lga+sinθ·lgb>lg(a+bcos·b>a+b

+(6)設a,b∈r,且ab-a-b≥1,則有（） ++b≥2(2+1) +b≤+b≥(2+1)2+b≤2(2+1) 二、填空題

22(7)已知x+y=1,則3x+4y2(8)設x=?y,則x+y(9)若11≤a≤5,則a+5a(10)a=1+111????與n(n∈n)2n

(11)實數x=x-y,則xy

三、解答證明題

2422(12)用分析法證明:3(1+a+a)≥(1+a+a)

(13)用分析法證明:ab+cd≤

a2?c2?(14)用分析法證明下列不等式:

(1)求證:?7?1?(2)求證:x?1?(3)求證:a,b,c∈r,求證:2(

+

x?2?x?3?x?4(x≥4)

a?ba?b?c?)?3(?abc) 23

(15)若a,b>0,2c>a+b,求證:(1)c>ab；（2）c-c2?ab<a<c+c2?ab(16)已知x,y∈r,且x+y>2,求證:

+

1?x1?y

與中至少有一個小於yx

(17)設a,b,c∈r,證明:a+ac+c+3b(a+b+c)≥ (18)已知1≤x+y≤2,求證:

22

122

≤x+xy+y≤2

n(n?1)(n?1)2

?an?(19)設an=?2?2?3???n(n?1) (n∈n),求證:對所有n(n22

*

∈n)2

(20)已知關於x的實係數二次方程x+ax+b=0,有兩個實數根α,β,證明: (1)如果|α|<2,|β|<2,那麼2|α|<4+b且|b(2)如果2|α|<4+b且|b|<4,那麼|α|<2,|β不等式的證明訓練題參考答案：

1．a2．b3．d4．b5．a6．a

*

7．58．-19．［2,

26

］10．a≥n11．(-≦,0)∪［4,+≦］ 5

22

12．證明:要證3(1+a+a)≥(1+a+a)

222222222

只需證3［(1+a)-a］≥(1+a+a),即證3(1+a+a)(1+a-a)≥(1+a+a) ≧1+a+a=(a+

123)+>0 24

只需證3(1+a-a)≥1+a+a，展開得2-4a+2a≥0，即2(1-a)≥02422

故3(1+a+a)≥(1+a+a)13．證明:①當ab+cd<0時,ab+cd<a?c?b?d2222

②當ab+cd≥0時,欲證ab+cd≤a?c?b?d

2222

只需證(ab+cd)≤(a2?c2?b2?d2)

展開得ab+2abcd+cd≤(a+c)(b+d)

2222222222222222

即ab+2abcd+cd≤ab+ad+bc+cd，即2abcd≤ad+bc

22222

只需證ad+bc-2abcd≥0，即(ad-bc)≥0

因爲(ad-bc)≥0ab+cd≥0時,ab+cd≤a2?c2?b2?d22

22222222

綜合①②可知:ab+cd≤a2?c2?b2?d214．證明:(1)欲證?7?1? 只需證(?)2?(1?)2

展開得12+235>16+2,即2>4+2 只需證(2)>(4+2)，即4>這顯然成立

故?7?1?(2)欲證x?1?只需證x?1?即證(x?1?

x?2?x?3?x?4(x≥4) x?4?x?3?x?2(x≥4)

x?4)2?(x?3?x?2)2(x≥4)

展開得2x-5+2x?1?x?4?2x?5?2x?3?x?2 即x?1)(x?4)?(x?3)(x?2)

只需證［x?1)(x?4)］<［(x?3)(x?2)］

即證x-5x+4<x-5x+6，即4<6這顯然成立 故

22

x?1?x?2?x?3?x?4(x≥4)(3)欲證2(

a?ba?b?c?ab)≤3(?abc) 23

只需證a+b-2ab≤a+b+c-3

即證c+2ab≥3

+

≧a,b,c∈r，?c+2ab=c+ab+ab≥3c?ab?ab?3

?c+2ab≥3abc15．證明:（1）≧ab≤(

a?b222

)<c，?ab<c2

（2）欲證c-c2?ab<a<c+c2?ab

只需證-c2?ab<a-c<c2?ab，即|a-c|<c2?ab，即a-2ac+c<c-ab

只需證a(a+b)<2ac

≧a>0,只要證a+b<2c(已知)16．證明:(反證法):假設

1?y1?x1?y1?x

與均不小於2,即≥2,≥2,?1+x≥2y,1+y≥2xyxy

兩式相加得:x+y≤2,與已知x+y>2矛盾, 故

1?x1?y

與中至少有一個小於yx

17．證明:目標不等式左邊整理成關於a的二次式且令 f(a)=a2+(c+3b)a+c2+3b2+32222

判別式δ=(c(本站：)+3b)-4(c+3b+3bc)=-3(b+c)≤0

222

當δ=0時,即b+c=0,a+(c+3b)a+c+3b+3bc≥02

18．證明:設x=kcosθ,y=ksinθ,1≤k≤2

sin2θ) 2

13212222

≧sin2θ∈［-1,1］?k≤k(1+sin2θ)≤k,故≤x+xy+y≤222

n(n?1)2

19．證明:≧n(n?1)?n=n,?an>1+2+3+…+n=

1?22?3n?(n?1)2(1?2???n)?nn(n?1)n又an????????

222222

?x+xy+y=k(cosθ+cosθsinθ+sinθ)=k(1+

n(n?2)n2?2n?1(n?1)2

???,故命題對n∈n222

20．證明:依題設及一元二次方程根與係數的關係(韋達定理)得:α+β=-a,αβ=:(1)(2)等價

於證明|α|<2,|β|<2?2|α+β|<4+αβ,且|αβ???????4??4??4

???22??2222

???????4??4??16?0?4(???)?(4???)?2???4??????4

??2

??(??4)(??4)?0

??4??4

???2?

????4或??2?4??2?4??2?4??4??4

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???2或??2????4

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第四篇：國中數學圓證明題

圓的證明

1．如圖，ab是⊙o的弦（非直徑），c、d是ab上兩點，並且oc=od，求證：ac=bd

．

2．已知：如圖，在△abc中，ab=ac，以ab爲直徑的⊙o與bc交於點d，與ac?交於點e，求證：△dec爲等腰三角形．

3．如圖，ab是⊙o的直徑，弦ac與ab成30°角，cd與⊙o切於c，交ab?的延長線於d，求證：ac=cd．

4．如圖20-12，bc爲⊙o的直徑，ad⊥bc，垂足爲d，弧ab?af，bf和ad交於e， 求證：ae=be．

5．如圖，ab是⊙o的直徑，以oa爲直徑的⊙o1與⊙o2的弦相交於d，de⊥oc，垂足爲e．（1）求證：ad=dc．（2）求證：de是⊙o1的切線．

6．如圖，已知直線mn與以ab爲直徑的半圓相切於點c，∠a=28°．求∠acm的度數．

7．如圖，在rt△abc中，∠c=90°，ac=5，bc=12，⊙o的半徑爲3．若點o沿ca移動，當oc等於多少時，⊙o與ab相切？

如圖，pa和pb分別與⊙o相切於a，b兩點，作直徑ac，並延長交pb於點d．連結op，cb．

（1）求證：op∥cb；

（2）若pa＝12，db：dc＝2：1，求⊙o的半徑．

如圖，已知矩形abcd，以a爲圓心，ad爲半徑的圓交ac、ab於m、e，ce?的延長線交⊙a於f，cm=2，ab=4．（1）求⊙a的半徑；（2）求ce的長和△afc的面積．

如圖，bc是半圓o的直徑，ec是切線，c是切點，割線edb交半圓o於d，a是半圓o上一點，ad=dc，ec=3，bd=2.5

（1）求tan∠dce的值；（2）求ab的長．

第五篇：國中數學幾何證明題

國中數學幾何證明題

分析已知、求證與圖形，探索證明的思路。

對於證明題，有三種思考方式：

(1)正向思維。對於一般簡單的題目，我們正向思考，輕而易舉可以做出，這裏就不詳細講述了。

(2)逆向思維。顧名思義，就是從相反的方向思考問題。運用逆向思維解題，能使學生從不同角度，不同方向思考問題，探索解題方法，從而拓寬學生的解題思路。這種方法是推薦學生一定要掌握的。在國中數學中，逆向思維是非常重要的思維方式，在證明題中體現的更加明顯，數學這門學科知識點很少，關鍵是怎樣運用，對於國中幾何證明題，最好用的方法就是用逆向思維法。如果你已經上九年級了，幾何學的不好，做題沒有思路，那你一定要注意了：從現在開始，總結做題方法。同學們認真讀完一道題的題幹後，不知道從何入手，建議你從結論出發。例如：可以有這樣的思考過程：要證明某兩條邊相等，那麼結合圖形可以看出，只要證出某兩個三角形相等即可;要證三角形全等，結合所給的條件，看還缺少什麼條件需要證明，證明這個條件又需要怎樣做輔助線，這樣思考下去……這樣我們就找到了解題的思路，然後把過程正着寫出來就可以了。這是非常好用的方法，同學們一定要試一試。

(3)正逆結合。對於從結論很難分析出思路的題目，同學們可以結合結論和已知條件認真的分析，國中數學中，一般所給的已知條件都是解題過程中要用到的，所以可以從已知條件中尋找思路，比如給我們三角形某邊中點，我們就要想到是否要連出中位線，或者是否要用到中點倍長法。給我們梯形，我們就要想到是否要做高，或平移腰，或平移對角線，或補形等等。正逆結合，戰無不勝。

幾何證明題入門難，證明題難做，是許多國中生在學習中的共識，這裏面有很多因素，有主觀的、也有客觀的，學習不得法，沒有適當的解題思路則是其中的一個重要原因。掌握證明題的一般思路、探討證題過程中的數學思維、總結證題的基本規律是求解幾何證明題的關鍵。在這裏結合自己的教學經驗，談談自己的一些方法與大家一起分享。

一要審題。很多學生在把一個題目讀完後，還沒有弄清楚題目講的是什麼意思，題目讓你求證的是什麼都不知道，這非常不可齲我們應該逐個條件的讀，給的條件有什麼用，在腦海中打個問號，再對應圖形來對號入座，結論從什麼地方入手去尋找，也在圖中找到位置。

二要記。這裏的記有兩層意思。第一層意思是要標記，在讀題的時候每個條件，你要在所給的圖形中標記出來。如給出對邊相等，就用邊相等的符號來表示。第二層意思是要牢記，題目給出的條件不僅要標記，還要記在腦海中，做到不看題，就可以把題目複述出來。

三要引申。難度大一點的題目往往把一些條件隱藏起來，所以我們要會引申，那麼這裏的引申就需要平時的積累，平時在課堂上學的基本知識點掌握牢固，平時訓練的一些特殊圖形要熟記，在審題與記的時候要想到由這些條件你還可以得到哪些結論(就像電腦一下，你一點擊開始立刻彈出對應的菜單)，然後在圖形旁邊標註，雖然有些條件在證明時可能用不上，但是這樣長期的積累，便於以後難題的學習。

四要分析綜合法。分析綜合法也就是要逆向推理，從題目要你證明的結論出發往回推理。看看結論是要證明角相等，還是邊相等，等等，如證明角相等的方法有(1.對頂角相等2.平行線裏同位角相等、內錯角相等3.餘角、補角定理4.角平分線定義5.等腰三角形6.全等三角形的對應角等等方法。然後結合題意選出其中的一種方法，然後再考慮用這種方法證明還缺少哪些條件，把題目轉換成證明其他的結論，通常缺少的條件會在第三步引申出的條件和題目中出現，這時再把這些條件綜合在一起，很條理的寫出證明過程。

五要歸納總結。很多同學把一個題做出來，長長的鬆了一口氣，接下來去做其他的，這個也是不可取的，應該花上幾分鐘的時間，回過頭來找找所用的定理、公理、定義，重新審視這個題，總結這個題的解題思路，往後出現同樣類型的題該怎樣入手。