反函數(新版多篇)
反函數的概念 篇一
所謂反函數就是將原函數中自變量與變量調換位置,用原函數的變量表示自變量而形成的函數。存在反函數的條件是原函數必須是一一對應的(不一定是整個數域內的)。
反函數的相關說明 篇二
⑴在函數x=f^(-1)(y)中,y是自變量,x是函數,但習慣上,我們一般用x表示自變量,用y表示函數,爲此我們常常對調函數x=f^(-1)(y)中的字母x,y,把它改寫成y=f^(-1)(x),今後凡無特別說明,函數y=f(x)的反函數都採用這種經過改寫的形式。
⑵反函數也是函數,因爲它符合函數的定義。從反函數的定義可知,對於任意一個函數y=f(x)來說,不一定有反函數,若函數y=f(x)有反函數y=f^(-1)(x),那麼函數y=f’(x)的反函數就是y=f^(-1)(x),這就是說,函數y=f(x)與y=f^(-1)(x)互爲反函數。
⑶互爲反函數的兩個函數在各自定義域內有相同的單調性。單調函數纔有反函數,如二次函數在R內不是反函數,但在其單調增(減)的定義域內,可以求反函數。
⑷從映射的定義可知,函數y=f(x)是定義域A到值域C的映射,而它的反函數y=f^(-1)(x)是集合C到集合A的映射,因此,函數y=f(x)的定義域正好是它的反函數y=f^(-1)(x)的值域;函數y=f(x)的值域正好是它的反函數y=f^(-1)(x)的定義域(如下表):
函數:y=f(x);
反函數:y=f^(-1)(x);
定義域:AC;
值域:CA;
⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述爲:
若確定函數y=f(x)的映射f是函數的定義域到值域“上”的“一一映射”,那麼由f的“逆”映射f^-1所確定的函數y=f^(-1)(x)就叫做函數y=f(x)的反函數。反函數y=f‘(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。開始的兩個例子:s=vt記爲f(t)=vt,則它的反函數就可以寫爲f^(-1)(s)=s/v,同樣y=2x+6記爲f(x)=2x+6,則它的反函數爲:f^(-1)(x)=x/2-3.
有時是反函數需要進行分類討論,如:f(x)=x+1/x,需將x分類討論:在x大於0時的情況,x小於0的情況,多是要注意的。一般分數函數的反函數的表示爲y=ax+b/cx+d(a/c不等於b/d)--y=b-dx/cx+a
反函數的應用介紹 篇三
直接求原函數的值域困難時,可以通過求其反函數的定義域來確定原函數的值域,求反函數的步驟是這樣的:
1、先求出反函數的定義域,因爲原函數的值域就是反函數的定義域;
(我們知道函數的三要素是定義域、值域、對應法則,所以先求反函數的定義域是求反函數的第一步)
2、反解x,也就是用y來表示x;
3、改寫,交換位置,也就是把x改成y,把y改成x;
4、寫出原函數及其值域。
實例:y=2x+1(值域:任意實數)x=(y-1)/2y=(x-1)/2(x取任意實數)
特別地,形如kx+ky=b的直線方程和任意一個反比例函數,它的反函數都是它本身。
反函數求解三步驟:1、換:X、Y換位2、解:解出Y3、標:標出定義域
反函數的使用符號 篇四
符號
arc
用法
例:三角函數中
正弦函數和它的反函數:f(x)=sinx->x=arcsinx
餘弦函數和它的反函數:f(x)=cosx->x=arccosx
正切函數和它的反函數:f(x)=tanx->x=arctanx
餘切函數和它的反函數:f(x)=cotx->x=arccotx
註解
反正弦的意義,則符合條件sinx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反正弦,記作:arcsina,即x=arcsina.注:1、“arcsina”表示中的一個角,其中-1≤a≤1.2、sin(arcsina)=a.(二)、反餘弦的意義x∈[0,π],則符合條件cosx=a(-1≤a≤1)的角x叫做a的反餘弦,記作arccosa,即x=arccosa.注:1、“arccosa”表示[0,π]中的一個角,其中-1≤a≤1.2、cos(arccosa)=a.(三)、反正切的意義,則符合條件tanx=a的角x叫做a的反正切,記作arctana,即x=arctana.注:1、“arctana”表示中的一個角。2、tan(arctana)=a.(四)、用反三角符號表示[0,2π]中角的一般規律
函數的定義 篇五
一般地,如果x與y關於某種對應關係f(x)相對應,y=f(x)。則y=f(x)的反函數爲y=f^-1(x)。
存在反函數的條件是原函數必須是一一對應的(不一定是整個數域內的)
【反函數的性質】
(1)互爲反函數的兩個函數的圖象關於直線y=x對稱;
(2)函數存在反函數的充要條件是,函數的定義域與值域是一一映射;
(3)一個函數與它的反函數在相應區間上單調性一致;
(4)一般的偶函數一定不存在反函數(但一種特殊的偶函數存在反函數,例f(x)=a(x=0)它的反函數是f(x)=0(x=a)這是一種極特殊的函數),奇函數不一定存在反函數。若一個奇函數存在反函數,則它的反函數也是奇函數。
(5)一切隱函數具有反函數;
(6)一段連續的函數的單調性在對應區間內具有一致性;
(7)嚴格增(減)的函數一定有嚴格增(減)的反函數【反函數存在定理】。
(8)反函數是相互的
(9)定義域、值域相反對應法則互逆(三反)
(10)原函數一旦確定,反函數即確定(三定)
例:y=2x-1的反函數是y=0.5x+0.5
y=2^x的反函數是y=log2x
例題:求函數3x-2的反函數
解:y=3x-2的定義域爲R,值域爲R.
由y=3x-2解得
x=1/3(y+2)
將x,y互換,則所求y=3x-2的反函數是
y=1/3(x+2)
反函數的基本性質 篇六
一般地,設函數y=f(x)(x∈A)的值域是C,根據這個函數中x,y的關係,用y把x表示出,得到x=(y)。若對於y在C中的任何一個值,通過x=(y),x在A中都有唯一的值和它對應,那麼,x=(y)就表示y是自變量,x是自變量y的函數,這樣的函數x=(y)(y∈C)叫做函數y=f(x)(x∈A)的反函數,記作x=f^-1(y)。反函數y=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。
說明:⑴在函數x=f^-1(y)中,y是自變量,x是函數,但習慣上,我們一般用x表示自變量,用y表示函數,爲此我們常常對調函數x=f^-1(y)中的字母x,y,把它改寫成y=f^-1(x),今後凡無特別說明,函數y=f(x)的反函數都採用這種經過改寫的形式。
⑵反函數也是函數,因爲它符合函數的定義。從反函數的定義可知,對於任意一個函數y=f(x)來說,不一定有反函數,若函數y=f(x)有反函數y=f^-1(x),那麼函數y=f^-1(x)的反函數就是y=f(x),這就是說,函數y=f(x)與y=f^-1(x)互爲反函數。
⑶從映射的定義可知,函數y=f(x)是定義域A到值域C的映射,而它的反函數y=f^-1(x)是集合C到集合A的映射,因此,函數y=f(x)的定義域正好是它的反函數y=f^-1(x)的值域;函數y=f(x)的值域正好是它的反函數y=f^-1(x)的定義域(如下表):
函數y=f(x)
反函數y=f^-1(x)
定義域
AC
值域
CA
⑷上述定義用“逆”映射概念可敘述爲:
若確定函數y=f(x)的映射f是函數的定義域到值域“上”的“一一映射”,那麼由f的“逆”映射f^-1所確定的函數x=f^-1(x)就叫做函數y=f(x)的反函數。反函數x=f^-1(x)的定義域、值域分別是函數y=f(x)的值域、定義域。
開始的兩個例子:s=vt記爲f(t)=vt,則它的反函數就可以寫爲f^-1(t)=t/v,同樣y=2x+6記爲f(x)=2x+6,則它的反函數爲:f^-1(x)=x/2-3.
有時是反函數需要進行分類討論,如:f(x)=X+1/X,需將X分類討論:在X大於0時的情況,X小於0的情況,多是要注意的。一般分數函數的反函數的表示爲y=ax+b/cx+d(a/c不等於b/d)--y=b-dx/cx+a
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