數學建模論文通用多篇

數學建模論文模板 篇一

隨着社會進步、科技創新和經濟產業結構的不斷調整，我國對高素質高技能應用型人才的需求正在不斷擴大，高等職業教育的高規格人才培養顯得尤其重要。社會上各行各業的工作人員，需要善於運用數學知識和數學思維方法來解決實際問題，方能爲公司贏得經濟效益和社會效益。面臨新教育態勢的壓力，面對數學基礎薄弱的學生，如何在有限教學期限內快速提升高職數學課的教學品質，成爲高職高等數學教學改革的焦點。

一、高等職業教育數學課教學現狀與分析

經過查閱大量文獻資料、學生學情調研和教師座談研討，可以將目前高等職業教育數學課教學現狀歸因爲課程特點、教師和學生三個方面。

1、數學課的特點。數學是一門與現實世界緊密聯繫的科學語言和基礎的自然學科，其形式極爲抽象。學生學到數學概念、方法和結論，並未掌握數學學科精髓，未使數學成爲解決實際問題的利器。

2、教師方面。課堂上，教師賣力的教授“有用”的理論和方法，但學生學得吃力且效果不佳。現在，部分教師將實際生活中的鮮活例子融入數學課的教授，打破了數學教學體系和內容自我封閉的僵局，但有些教師將“數學教育是一種素質教育”阻礙爲抽象、深奧的課程，嚴重挫傷了學生學習的積極性。

3、學生方面。就高職生學情而言，生源大多來自大學聯考第五批等錄取批次，普遍不曉得數學理性思維對人思維能力培養的重要性，高職生學習目標不明確，學習習慣尚未養成，學習動力不足。此外，面對大量抽象符號和邏輯推理，形象思維強的高職生極易產生牴觸心理。上述分析表明，要想實現“數學教育本質上是一種素質教育，數學的教學不能完全和外部世界隔離開來”，就需要改變數學教育按部就班的靜態教學現狀，創新教學模式，激發學生的主體參與意識，方能形成生動、活潑、有趣的數學課堂。

二、數學建模在高等職業教育人才培養過程中的意義和作用

從公元前3世紀的歐幾里得幾何，開普勒的行星運動三大規律到近代的流體力學等重要方程，數學建模的悠久歷史可見一斑。

1、數學建模的橋樑作用。隨着大數據時代的到來，大量數據爆炸性的涌入銀行、超市、賓館、機場的計算機系統，都需要進行歸納整理、去僞存真、分析和彙總。因此，需要在實際問題和數學方法兩者之間架設一個橋樑，這個橋樑就是數學模型。

2、數學建模思想融入高職數學課堂的意義。鑑於高等職業教育數學課教學現狀與分析，結合數學建模進入高等院校數學課堂時機的日漸成熟，以及高等職業教育旨在培養高職生如何“用數學”而非“算數學”的目標，將數學建模思想融入高職數學課堂有着積極肯定的意義。

（1）時機成熟。隨着大型快速計算機技術及數學軟件的快速發展，早期大型水壩的應力計算、航空發動機的渦輪葉片設計等數學模型中的數學問題迎刃而解，數學建模與科學計算的完美結合成爲數學科學技術轉化的主要途徑。計量經濟學、人口控制論等新興的交叉學科爲數學建模提供了廣闊的應用新天地。

（2）目標明確。數學建模的切入搭建了數學和外部世界的橋樑，解開了數學課堂教學的困境，讓高職生以數學爲工具去分析、解決現實生活中實際問題的目標切實可行。面對工程技術、經濟管理和社會生活等領域中的實際問題，擁有敏銳洞察力的高職生面對現實問題的挑戰，主動好奇的參與到資料收集、調查研究過程中來，能夠擺脫慣性思維模式，敢於向傳統知識挑戰，嘗試多樣解題方式，不僅激發了學習動機，提升了數學知識水平，更有助於學生創新精神和能力的培養，讓其在體會數學建模魅力和實用性的同時，滲透數學應用能力。

三、數學建模在高等數學教學中的應用實踐

學生走上工作崗位後，無形中會利用數學建模思想來解決實際問題。那麼，如何有效的將數學建模“植入”高數課程教學，則需要一系列科學合理有序的教學改革方可取得成效。

（1）融入數學建模思想的高職特色教材。作爲教學載體，高職數學教材應從應用性職業崗位需求出發，以專業爲服務對象，以實踐操作爲重點，以能力培養爲本位，以素質培養爲目的撰寫情境式案例驅動的高職特色教材。

（2）構建服務專業的高職數學教學模式。以學校專業需求爲服務出發點，制定專業特色鮮明的數學課程教學新體系，搭建課程的“公有”模塊和“選學”模塊，加強專業針對性。與服務專業類似，對於不同年級、不同數學基礎學生的需求，提供個性化、分層化、系列化的教學內容，顯得尤爲關鍵。

（3）培養數學應用意識的案例教學方法。歷屆全國大學生數學建模競賽參賽數量和規模的擴張使我們懂得：以熱點案例出發，能夠激發學生的求知慾，在求解過程中自然引出系列數學知識點，通過數學建模，讓學生體會數學是刻畫現實世界的數學模型，品味數學樂趣，趣化學習過程，強化數學知識應用意識，樹立學生主體意識並培養學生創新意識和能力。

（4）營造數學應用意識的數學實驗氛圍。利用數學軟件，通過寥寥數行代碼解決曾經無從下手的複雜問題，必會吸引學生從耗費時間的複雜計算轉移到數學建模思想、數學方法的理解和應用，培養以數學和計算機分析和解決實際問題的能力，提高數學應用意識。

（5）指導學生參加全國大學生數學建模競賽。歷屆數學建模競賽從內容到形式，都是一場與真實工作環境接近的真刀真槍的歷練，要求學生團隊綜合運用數學及其他學科知識、使用計算機技術通過數學建模來分析、解決現實問題。從“乘公交，看奧運”、“世博會影響力的定量評估”到“SARS的傳播”、“飲酒駕車”，這些開放、挑戰性問題，必然會提高學生的洞察力、想象力、創造力和協作精神。

四、數學建模在高等數學教學中的實踐效果

自20xx伊始，將數學建模和數學實驗引入高職數學課程教學中以來，學生主動學習意願增強，學習效果顯著提升。效果主要表現實際問題求解的多樣性和開放性使得學生思維得以激活和解放，解題的自由使得互聯網應用達到最優化。學院連續多年組織學生參加北京市高職高專大學生數學競賽多次獲得一、二、三等獎，在全國大學生數學建模競賽中獲得多項北京市一等獎，近兩年獲得國家二等獎2項、國家一等獎1項的佳績。經過共同努力，應用數學基礎獲批爲國家精品資源共享課。需要強調三點：首先，案例教學中要科學合理的訓練學生的“雙向翻譯”能力，要培養學生應用數學語言把實際問題翻譯爲明確的數學問題，再把數學問題的解翻譯成常人能理解的語言。其次，所有教學活動要以學生爲中心，並且離不開教師煞費苦心精心設計的教學活動，因爲數學建模、指導數學實驗和輔導學生參加競賽需要教師掌握算法、優化、統計、數學軟件、計算機編程等綜合能力，因而教師尤爲關鍵。再者，學院領導對數學建模、數學實驗在人才培養過程中的重要性要有清晰充分的認識，纔會有力度的支持數學教學改革。

五、結語

將數學建模思想和方法融入高職數學課程教學是一種先進的教育教學改革理念，是提升高職數學教學品質的關鍵，需要廣大教師踏踏實實的鑽研和工作，真正講好每一個案例，爲培養具備數學應用意識的高規格人才而努力。

數學建模論文模板 篇二

1、高職數學教學存在的問題

高職院校目前在高等數學課程教學過程中只注重理論學習，學生處於被動接受狀態，參與度低。忽略了用數學解決實際問題的能力的培養，缺失了應用性。教師在高等數學教學過程中往往採用滿堂灌，填鴨式的教學方式，學生只有大量重複的機械訓練，才能掌握一些基礎知識，套用現成公式做一些計算。教師的這種教學方式大大的影響了學生的學習興趣，對數學學習長生厭惡情緒，學生學習的主觀能動性也受到影響。另外，高等數學課程教學過程教學模式落後，缺少多樣化，不能適應不同專業學生的要求。學生在解決實際問題時思維僵化，無從下手。爲了解決這一問題，在高職數學教學中融入數學建模思想顯得尤爲重要。

2、數學建模教學要以學生爲主體，注重綜合素質培養

隨着科學技術的發展，傳統的教學手段也發生了變化。現代的要改變傳統的教學模式，須以學生爲主體，突出學生的主體地位，使他們成爲課堂教學活動的主角，並積極對他們進行引導，讓他們發現問題、提出問題，對教堂中的問題積極進行探索，主動思考，增強學習的能動性。由於我國教育模式一直爲應試教育，學生在學習過程中只是被動的接受知識，獨立思考能力和動手能力較差，並且應用意識薄弱。所以，在教學過程若想實現學生的主體地位，教師必須要培養他們學習的主觀能動性。此外，不論在課堂上或者是課外教師要充分尊重學生的個人意見，並適當的給予鼓勵，不要輕易否定他們思考問題的方式。在學生髮表自己的意見之後，教師對他們進行表揚，鼓勵他們善於思考、勇於提問和辯論，讓他們始終處於主動學習的狀態，使他們成爲教學實踐活動的主體的。在數學建模教學過程中，要對學生進行全方面的培養，既培養他們應用所學的數學知識的解決實際問題的能力，又要培養他們的綜合素質，使他們具有強烈的求知慾、堅強的意志、寬廣的興趣、堅定不移的信念及積極主動進取的品質。

在實際的教學過程中，還可以引入競爭機制，對他們進行分組然後進行討論或者是競賽，通過這樣的方式既可以增加他們之間的同學友情，又可以讓他們共同進步。每組學生還可以佈置一些比較難的題目，他們合作解決問題，最終完成題目的解答。在解決問題過程中，讓他們意識到創新的價值和合作的重要性，從而培養他們的創新精神和團結協作精神。另外，當今學生的薄弱方面主要是語言能力及表達能力，所以對他們進行特定的培養，提高他們這兩方面的能力。在教學過程中，教師要儘量給予學生更多的機會進行語言表達，包括表述自己對問題的認識和解題思路等，從而完成數學建模論文。在訓練他們語言表達能力的過程中，教師要有耐心，在語言的準確性、邏輯性、簡潔性等方面及時進行指導和糾正錯誤，從而提高他們的語言表達能力。

3、教師採用多媒體教學手段，提高教學效果

教師在數學建模教學過程中，教學方法要由傳統的黑板加粉筆轉化爲利用多媒體教學，以此來培養學生的應用能力，也提高教學效果。多媒體教學可以包含大量信息，可以直觀形象的呈現教學內容，學生的學習興趣和熱情也得到很大程度的提高。採用多媒體教學手段，增加了師生之間的互動性，課程教學過程變得順利，授課速度變快，教學效果也變得更好。在數學建模教學過程中爲了實現更好的教學目標和教學效果，採用大量貼近生活的案例進行數學建模教學的。

4、開展數學建模競賽，培養應用型人才

近幾年來，全國高職院校開展數學建模競賽成爲大學生最重要的課外科技活動。大學生通過競賽，可以提高查閱收集資料的自學能力，可以運用所學的數學知識來解決實際問題，提高了自身運用計算機解決數學模型問題的能力，使學生的競爭意識和探索研究精神增強的，爲成爲全面性的高技能應用型人才打下基礎。在競賽活動中，教師對學生進行培訓指導的同時也有助於自我提高各方面能力。高職數學教師指導數學建模競賽可以改變其缺乏研究主動性的現狀，可以摒棄老舊的知識學習。有利於開展理論聯繫實際的數學教學模式，對高職數學教學改革創新有很大的推動作用。

5、總結

在高職數學教學中融入數學建模思想，教師要將學生實際生活中的問題引導到日常數學教學中，讓學生自己主動思考，並自己根據所學的知識進行數學模型的構造，以此來解決實際問題，在這個過程中學生真正掌握所學知識。高職院校數學建模競賽目前還不完善，要大力推廣，不斷完善。高職數學教學中融入數學建模思想，對培養高技能應用型人才和高職數學教學改革都將產生深遠影響。

數學建模論文模板 篇三

概率論與數理統計是一門研究隨機現象及其統計規律的數學學科，它是高等院校各專業開設的重要的基礎數學課程之一。以下是“概率統計中融入數學建模思想的教學探索論文”，希望能夠幫助的到您！

如何運用該課程的理論知識解決實際問題具有非常重要的研究意義。每年一次的全國大學生數學建模競賽是目前各高校的規模較大的課外科技活動之一。數學建模是一門運用數學工具和計算機技術，通過建立數學模型來解決現實中各種實際問題的新學科。它通過調查，收集數據、資料，觀察和研究其固有的內在規律，提出假設，經過抽象簡化，建立反映實際問題的數學模型，即將現實問題轉化爲數學問題。縱觀歷年數學建模競賽試題，像高等教育的學費問題、北京奧運會人流分佈、DNA序列分類問題、DVD在線租賃問題及醫院病牀的合理安排等問題都不同程度地涉及到了概率論與數理統計的相關知識。筆者多年來一直爲理工科的本科生講授概率論與數理統計課程，並每年輔導和指導全國大學生數學建模競賽，所以與同事們一直都在探索如何深化概率論與數理統計這門課程的教學改革，使其與數學建模思想能有機結合。本文將從以下幾方面進行探討研究。

一、概率統計教學中融入數學建模思想的重要性

傳統的概率論與數理統計課程的教學，可以簡單地歸納爲：數學知識+例子說明+解題+考試。這種模式雖然使學生在一定程度上掌握了基礎知識，提高了計算能力，也學會了運用所學知識解決課後作業和應付考試。但也不難看出，這種教學方式與實際嚴重脫節，學生學會了書本知識，但卻不知在所學專業中該如何運用，這不僅與素質教育的宗旨相違背，也極大地削弱了學生學習這門課程的能動性，從而也影響了教學效果。數學建模的指導思想恰恰在於培養學生運用所學理論知識來解決現實實際問題。這不僅僅是這門課程對學生的教育問題，更是順應當前素質教育和教學改革的需要問題。

二、在課堂教學中融入數學建模思想

對於講授概率論與數理統計這門課程的教師來說，有着非常重要的任務，那就是如何教好這門課程，即如何使學生通過對這門課程的學習而增強其對概率統計方法的理解與實際應用能力。

1.教學內容上數學建模思想的滲透。衆所周知，教師對教學內容的把握起着不容忽視的作用。有效的教學是依賴於教師對該課程的內容有着全面的和深刻的理解。概率統計中的一些概念、性質、模型的應用確實有些難度，在日常教學中可以通過精選例題、切近現實生活，使學生逐漸深化對相關知識的理解，即講課的內容生活化、趣味化，生活中的概率統計問題模型化。在概率統計裏這些趣味性的例子比比皆是！比如摸球、投擲骰子等常見的遊戲，“父母的身高對子女的影響”、“男女生人數的均衡對一個班級學習效果的影響”等發生在身邊的事。在概率統計這門課程中數學模型的影子也隨處可見！比如像降雨概率、人體舒適度指數、超市銀臺處的等待服務時間等這樣的隨機現象問題都需要將實際問題數量化，然後對研究對象做出判斷，從而解決問題。教學內容中也可插入一些反映社會經濟生活的背景與熱點問題，使課堂教育跟上時代步伐。如有獎促銷問題、保險賠償金確定問題、交通事故問題等，這樣的內容都旨在培養學生利用數學工具分析解決實際問題的意識和能力，也就是培養學生的建模能力。

2.教學方法中融入數學建模思想。在教學中，教師的責任更大地體現在對學生的引導能力，通過引導使學生運用自己的能力來解決相關的問題。這樣使學生不但能夠學到嚴謹的理論知識，同時也提高了學生分析問題和解決問題的能力。在教學中，我們主要採用精講與導學相結合的方法，同時在課堂教學的各個環節中也可恰當運用討論式、啓發式、歸納類比式等教學方法。在運用各種教學方法中都要充分關注學生的參與性，在與學生的互動中挖掘出課本內容中的數學建模思想，使其“顯化”出來。比如在講解隨機事件和古典概型中，可以講解摸球問題、生日巧合及配對問題、確診率及血清化驗問題等，這樣既活躍了課堂氛圍，又培養了學生愛思考的習慣。必須提及的是“案例教學法”，它是概率統計課程融入數學建模思想的有效而常用的教學方法之一。在教學中可以直接給出案例，然後從求解具體問題中找出相應的理論和方法。此方法縮短了數學理論與實際應用的距離，不僅可以提高學生學習的積極性，同時也使學生明白概率統計是建立在現實生活基礎上的一門課程。比如在隨機變量的數字特徵中，可以給出“報童的收益問題”案例；在參數估計中，可以給出“湖中魚的數量估計”案例；在大數定律和中心極限定理中，可以給出“保險公司的收益問題”案例；等等。由於受到課時限制，可能不能充分有效地對案例進行完整講解，通常將“案例分析法”和“現代教育技術法”相結合進行教學，利用多媒體教學手段可以將案例中出現的大量統計計算均由統計軟件（如Spss，SAS，R等）來實現。這樣既易於被學生接受，也有助於學生掌握統計方法和實際操作能力。

三、發揮課後作業作爲課堂教學的補充與延伸作用

作爲數學課程，課後作業是十分重要的組成部分，是進一步理解、消化和鞏固課堂教學內容的重要環節。

1.課後試驗。在概率統計這門課程中有很多隨機試驗，並且很多統計規律也都是在隨機試驗中獲得的。比如通過投擲均勻的硬幣和均勻的六面體骰子，可以很好地理解頻率與概率之間的關係；雙色球的有（無）放回抽樣，有助於理解隨機事件的相互獨立性；統計某書上的錯別字，並判斷是否服從泊松分佈等。通過讓學生們親自做實驗，不僅使他們能夠探索隨機現象的統計規律性，還能幫助他們更深刻的理解、鞏固和深化理論。

2.課後作業。除常規概率統計練習題目外，可以增加一些有趣的、與日常生活中密切相關的概率統計題目。比如在給出了摸彩票規則和中獎規則後，解決下面三個問題：

（1）中獎概率與摸彩票的次序有關係嗎？

（2）假設發行了100萬張彩票，中一、二等獎的概率是多少？

（3）若你打算摸彩票，在什麼條件下中獎概率會大一些？

3.課外實踐。針對概率統計實用性強的特點，有目的地組織學生參加社會實踐活動，深入實際，調查研究，收集數學建模的素材。只有將某種思想方法應用到實踐中去，實際解決幾個問題，才能達到理解、深化、鞏固和提高的效果。教師可以從現實中尋找素材，選擇具有豐富現實背景的學習材料，可以讓學生自由組隊，深入實際，運用統計方法調查、觀察和收集一些數據，在教師指導下運用所學知識和計算機技術，分析解決一些實際問題，寫出書面報告。比如利用閒暇時間觀察校門口某路公交車各時段乘車人數，根據觀察數據，爲該線路設計一個便於操作的公交車調度方案：包括髮車時刻表；共需多少輛車；以怎樣的程度能夠照顧乘客和公交公司雙方的利益。

四、改變傳統單一的考覈方式

考覈是教學過程中不可缺少的一個教學環節，是檢驗學生學習情況，評估教師教學質量的手段。傳統的概率論與數理統計課程均採用期末閉卷考試，教師通常都會按照固定的內容和格式出題，學生爲了應付考試，往往把過多的精力花費在對公式和概念的死記硬背上，而忽略了所學知識在實際中的應用。雖然綜合成績是由平時成績和期末成績的各佔比例計算而成，但平時成績的考覈主要看課後習題所做的作業，而學生的學習積極性對作業的態度差異性是很大的。爲此，有必要改革傳統單一的考覈方式，培養學生綜合運用知識的能力。考覈結果包括兩部分：一部分是閉卷考試，佔60%，主要考察學生對概率統計的基本知識、基本運算和基本理論的掌握程度；另一部分是開放性考覈，由各佔20%的平時成績和課後試驗、課外實踐構成，其中平時成績主要考查學生的作業情況、考勤情況、課堂表現情況等方面；課後試驗、課外實踐主要考覈學生對概率統計知識的應用能力，可以給學生一些實際問題，或者讓學生參加社會實踐調查收集數據，學生可以自由組隊也可單獨完成，通過運用概率統計知識建立數學模型並藉助計算機處理大量數據對實際問題得到解決，最後提交一份書面研究報告。如此靈活多變的考覈機制，才能充分調動學生學習的積極性和主動性，纔有利於學生應用能力的培養。

通過在各個環節中融入數學建模思想，不但充分體現了概率統計的實用價值，搭建起概率統計知識與實際應用的橋樑，而且也使得工科類學生對概率統計這門課程的理解、認識增強了，數學的應用能力也得到了提高。

數學建模論文模板 篇四

走美杯”是"走進美妙的數學花園"的簡稱。

"走進美妙的數學花園"中國青少年數學論壇是中國少年科學院創新素質教育的品牌活動。20xx年，由國際數學家大會組委會、中國數學會、中國教育學會、中國少年科學院成功舉辦了首屆"走進美妙的數學花園"中國少年數學論壇，至今已連續舉辦七屆，全國三十多個城市近三十萬人蔘與了此項活動，在全國青少年中產生了巨大的影響。 "走進美妙的數學花園"中國青少年數學論壇活動是一項面對國小三年級至國中二年級學生的綜合性數學活動。通過"趣味數學解題技能展示"、"數學建模小論文答辯"、"數學益智遊戲"、"團體對抗賽"等一系列內容豐富的活動提高廣大中國小生的數學建模意識和數學應用能力，培養他們一種正確的思想方法。 著名數學家陳省身先生兩次爲同學們親筆題詞"數學好玩"和"走進美妙的數學花園"，大大鼓舞了廣大青少年攀登數學高峯的熱情和信心，使同學們自覺地成爲學習的主人，實現從"學數學"到"用數學"過程的轉變，從而進一步推動我國數學文化的傳播與普及。

"走美"活動已連續舉辦七屆，近30萬青少年踊躍參與，已取得良好社會效果，並被寫入全國少工委《少先隊輔導員工作綱要（試行）》，向全國少年兒童推廣。

“走美”作爲數學競賽中的後起之秀，憑藉其新穎的考試形式以及較高的競賽難度取得了非常迅速的發展，近年來在重點中學選拔中引起了廣泛的關注。客觀地說“走美”一、二等獎對小升中作用非常大，三等獎作用不大。

1、活動對象

全國各地國小三年級至國中二年級學生

2、總成績計算

總成績=筆試成績x70%+數學小論文x30%

筆試獲獎率：

一等獎5%，二等獎10%，三等獎15%。

3、筆試時間

每年3月上、中旬。

報名截止時間：每年12月底。

走美杯比賽流程

1、全國組委會下發通知，各地組委會開始組織工作

2、學生到當地組委會報名，填寫《報名表》

3、各地組委會將報名學生名單全部彙總至全國組委會

4、全國"走進美妙的數學花園"趣味數學解題技能展示初賽（全國統一筆試）

5、學生撰寫數學建模小論文

6、全國組委會公佈初賽獲獎名單並頒發獲獎證書

7、獲得初賽一、二、三等獎選手有資格報名參加暑期赴英國劍橋大學數學交流活動。

8、各地按照組委會要求提交數學建模小論文

9、前各地組委會上報參加全國總論壇學生名單

10、全國總論壇和表彰活動

數學建模論文模板 篇五

1引言

數學模型的難點在於建模的方法和思路，目前學術界已經有各種各樣的建模方法，例如概率論方法、圖論方法、微積分方法等，本文主要研究的是如何利用方程思想建立數學模型從而解決實際問題。實際生活中的很多問題都不是連續型的，例如人口數、商品價格等都是呈現離散型變化的趨勢，碰到這種問題可以考慮採用差分方程或差分方程組的方式進行表示。有時候人們除了想要了解問題的起因和結果外還希望對中間的速度以及隨時間變化的趨勢進行探索，這個時候就要用到微分方程或微分方程組來進行表示。以上只是簡單的舉兩個例子，其實方程的應用極爲廣泛，只要有關變化的問題都可以考慮利用方程的思想建立數學模型，例如常見的投資、軍事等領域。利用方程思想建立的數學模型可以更爲方便地觀察到整個問題的動態變化過程，並且根據這一變化過程對未來的狀況進行分析和預測，爲決策的制定和方案的選擇提供參考依據。利用方程建立數學模型時就想前文所說的那樣，如果是離散型變化問題可以考慮採用差分思想建模，如果是連續型變化問題可以考慮採用常微分方程建立模型。對於它們建模的方式方法可以根據幾個具體的實例說明。

2方程在數學建模中的應用舉例

2．1常微分方程建模的應用舉例

正如前文所述，常微分方程的思想重點是對那些過程描述的變量問題進行數學建模，從而解決實際的變化問題，這裏舉一個例子來說明。例1人口數量變化的邏輯斯蒂數學方程模型在18世紀的時候，很多學者都對人口的增長進行了研究，英國的學者馬爾薩斯經過多年的研究統計發現，人口的淨相對增長率是不變的，也就是說人口的淨增長率和總人口數的比值是個常數，根據這一前提條件建立人口數量的變化模型，並且對這一模型進行分析研究，找出其存在的問題，並提出改進措施。解:假設開始的時間爲t，時間的間隔爲Δt，這樣可以得出在Δt的時間內人口增長量爲N(t+Δt)－N(t)=rN(t)Δt，由此可以得出以下式子。dN(t)dt=rN(t)N(t0)=N{0(1)對於這種一階常微分方程可以採用分離變量法進行求解，最終解得N(t)=N0er(t－t0)而後將過去數據中的r、N0√本站★√帶入上述式子中就可以得出最後的結果。這個式子表明人口數量在自然增長的情況下是呈指數規律增長的，而且把這個公式對過去和未來的人口數量進行對比分析發現還是相當準確的，但是把這個模型用到幾百年以後，就可以發現一些問題了，例如到2670年的時候，如果仍然根據這一模型，那麼那個時候世界人口就會有3．6萬億，這已經大大的超過了地球可以承受的最大限度，所以這個模型是需要有前提的，前提就是地球上的資源對人口數量的限制。荷蘭的生物學家韋爾侯斯特根據邏輯斯蒂數學方法和實際的調查統計引入了一個新的常數Nm，這個常數就是用來控制地球上所能承受的最大人口數，將這一常數融入邏輯斯蒂方程可以得出以下的式子。dN(t)dt=rN(t)(1－N(t)Nm)N(t0)=N{0(2)該方程解爲N(t)=Nm1+NmN0e－r(t－t0)一個新的數學模型建立後，首先要做的就是驗證它的正確性，經過研究發現在1930年之前的驗證中還是比較吻合的，但是到了1930年之後，用這個模型求出的人口數量就與實際情況存在很大的誤差，而且這一誤差呈現越來越大的變化趨勢。這就說明當初設定的人口極限發生了變化，這是由於隨着科學技術的不斷進步，人們可以利用的資源越來越多，導致人口極限也呈現變大的趨勢。

2．2差分方程建模的應用舉例

如前文所言，對於離散型問題可以採用差分方程的方法建立數學模型。例如以25歲爲人類的生育年齡，就可以得出以下的數學模型。yk+1－yk=ryk（1－ykN)，k=0，1，2，…即爲yk+1=(r+1)yk［1－r(r+1)Nyk］其中r爲固有增長率，N爲最大容量，yk表示第k代的人口數量，若yk=N，則yk+1，yk+2，…=N，y*=N是平衡點。令xk=r(r+1)Nyk，記b=r+1。xk+1=bxk(1－xk)這個方程模型是一個非線性差分方程，在解決的過程中我們只需知道x0，就可以計算出xk。如果單純的考慮平衡點，就會有下面的式子。x=f(x)=bx(1－x)，則x*=rr+1=1－1bx因爲f'(x*）=b（1－2x*）=2－b，當|f'（x*）|＜1時穩定，當|f'（x*）|＞1時不穩定。所以，當1＜b＜2或2＜b＜3時，xkk→仯仯仭∞x*．當b＞3時，xk不穩定。2．3偏微分方程建模的應用舉例在實際生活中如果有多個狀態變量同時隨時間不斷的變化，那麼這個時候就可以考慮採用偏微分方程的方法建立數學模型，還是以人口數量增長模型爲例，根據前文分析已經知道建立的模型都是存在一定的侷限性的，對於人類來說必須要將個體之間的區別考慮進去，尤其是年齡的限制，這時的人口數量增長模型就可以用以下的式子來表示。祊(t，r)禕+祊(t，r)祌=－μ(t，r)p(t，r)+φ(t，r)p(0，r)=p0(r)；p(t，r0)=∫r2r1β(r，t)p(t，r)d{r其中，p(t，r)主要表示在t時候處於r歲的人口密度分佈情況，μ(t，r)表示的r歲人口死亡率，φ(t，r)表示r歲人口的遷移率，β(r，t)表示r歲的人的生育率。除此之外，式子中的積分下限r1表示能夠生育的最小歲數，r2表示能夠生育的最大歲數。根據人口數量增長的篇微分方程可以看出實際生活中的人口數量與年齡分佈、死亡率和出生率都有着密不可分的關係，這與客觀事實正好相吻合，所以這一個人口增長模型能夠更爲準確地反應人口的增長趨勢。當然如果把微分方程中的年齡當做一個固定的值，那麼就由偏微分方程轉化成了常微分方程。另外如果令μ(t，r)=－r，p(t，r)=N(t)，N(0)=N0，φ=rN2(t)/Nm，那麼上述偏微分方程就變成了Verhulst模型。偏微分方程在實際生活中的應用也相當廣泛，物理學、生態學等多個領域的問題都可以通過建立偏微分方程來求解。

3結束語

上世紀六七十年代，數學建模進入一些西方大學，緊隨其後，八十年代它進入中國的部分高校課堂。把方程式引入到數學建模中是數學建模更具體和更實際的應用，方程式的空間性和抽象性決定了它需要藉助數學建模來更直觀和更立體地展示自己。20多年的本土適應和自身完善使絕大多數本科院校和許多專科學校都開設了各種形式的數學建模課程、講座和競賽。方程在數學建模中的思想和應用對於數學課堂效果本身和培養學生的動手和操作能力均有重要意義:一方面，它利於激勵學生學習方程的積極性，培養學生建立數學模型的創造性和行動性；另一方面，它有效推動數學教學體系、教學內容和方法的改革，爲培養學生利用數學方法分析、解決實際問題的能力開闢了一條有效的途徑。