數學學術論文多篇通用多篇

數學學術論文 篇一

數學好“玩”

摘要：快樂的學習是人不斷髮展的前提和基礎。在教學中，創設童趣情境，讓課堂生活化；利用童趣語言，讓氛圍活躍化；開發童趣遊戲，讓練習趣味化。讓孩子擁有快樂、童趣的數學課堂。

關鍵詞：童趣；童言；生活化；活躍化

中圖分類號：G623.5 文獻標識碼：B 文章編號：1672-1578(2013)12-0196-01

《數學課程標準》指出，義務教育階段的數學課程應以學生的發展爲本，促進學生全面、持續、和諧的發展。快樂的學習是人不斷髮展的前提和基礎。新課程標準的理念之一就是要喚起學生要學習的需求，只有那些符合兒童“玩”的天性的教學，才能喚起學生的探究欲，才能激發學生學習的動機。

低年級學生的直觀形象思維強，有意注意時間短，而故事是他們喜聞樂見的，玩遊戲又是他們的所好，豐富多彩的活動可以增強數學內容的趣味性，激發學生對數學學習的情感。因而，在教學中，可以創設富有童趣的學習情境、採用童趣的語言、加入童趣的遊戲“串聯”和組織“包裝”數學知識，使學生在玩中學，學中玩。這樣，孩子們學得有趣，學得愉快，學得輕鬆，從而更願意去親近數學。我們應當不斷探索，讓孩子們在數學課堂中遨遊，不僅僅是學數學，而是“玩”數學，只有讓兒童在課堂上真正活躍起來，覺得數學好“玩”，才能以旺盛和高昂的精神狀態去積極參與學習過程。

1、創設童趣情境，讓課堂生活化

創設有趣、有效的教學情境，可使數學變得更鮮活、更有吸引力。課堂教學中，以學生已有的生活經驗出發，熟悉的生活爲素材，創設一種模擬生活的情境，讓學生在生動、具體、現實的情境中去學習數學、玩數學，使他們感到數學是可親可近的，變得喜學、樂學，更容易掌握數學知識和技能，而且可以更好地體驗教學內容中的情感，讓他們感到數學就在我們身邊，在不知不覺的情景中展開對數學問題的探索，在玩中產生求知的慾望。這樣課堂教學效率大大提高。

例如教學北師大版二年級下冊《買衣服》時，問：昨天我們一起逛了文具店，知道今天咱們要去哪轉轉嗎？今天咱們一起去服裝店看看吧？學生們一聽，逛街，來了興趣……

又如在教學《小小商店》一課時，課前讓學生準備好各種學習用品，並在上面貼好價格。在班級裏創設了一個小小商店，讓小朋友自己來當營業員、顧客，充分體驗瞭如何取幣、付幣、找幣，學會與人合作，分別體驗1元、5元和10元錢可以購買不同的商品，在這樣的生活情景中，同學們不僅積極主動地參與，而且培養了學生思維的靈活性和解決實際問題的能力，樹立學好數學的自信心。

2、利用童趣語言，讓氛圍活躍化

課堂教學離不開教師的語言，在課堂教學中，無論是數學知識的傳遞，還是學生接受知識情況的反饋，以及師生之間的情感交流等都必須依靠教學語言。而對低年級學生來說，讓學生弄懂一個抽象的數學問題，大多時候需要教師的“藝術”講解。讓看似枯燥無味的數學，變得生動有趣。因此，教師語言的處理就顯得非常重要。要讓學生理解數學問題，教師就要用富有童趣化的語言結合兒童的認知特點、興趣愛好，在不影響知識的前提下，對數學語言進行加工、修飾，使學生就易於理解接受。教學二年級上冊《動物聚會》一課時，教師以故事的形式引入：聽，什麼聲音？（放一段聚會的音樂，讓學生欣賞）學生馬上來了興致，都認真地聽着音樂。教師趁勢說：“原來今天動物們在開Part呢！（讓學生邊聽音樂邊看圖），請小朋友看看動物們都帶了些啥好吃的呀？”這時學生的興趣高漲，都爭着說。教師抓住時機又問：“看到這麼多好吃的，你想知道什麼呢？”通過討論交流，有的學生說：“我想知道松果有多少個？”有的學生說：“我想知道小兔帶來了多少個蘿蔔？”有的學生說：“我想知道小猴子帶來了多少個桃子？”……教師由此引導孩子將這些問題一一解決。顯然，是由於學生非常熟悉情境中的生活，所以學生不僅學得主動，而且興致盎然。“我一定還會回來的！”這一句灰太狼的口頭禪，相信大家都不會陌生，但是如果在數學課堂中加入的話，那麼學生的學習積極性也會跟着調動起來！例如，教學100以內的加減法豎式計算中，出示錯誤的例題，說：“灰太狼來考考大家了！”等學生把錯都糾正過來後，就學着灰太狼的語氣說：“你們這麼聰明啊！我一定還會回來的！”

3、開發童趣遊戲，讓練習趣味化

當前的數學教學中，由於受應試教育的影響，機械重複的練習，枯燥乏味的練習，煩瑣的死記硬背，基本上無思維價值的練習還很多，加重了學生的課業負擔，造成學生對數學練習及數學學習產生厭煩情緒，嚴重阻礙了學生生動活潑、自由地發展。要克服這些弊端，適應素質教育的需要，設計數學練習時首先應考慮是否有利於促進學生的發展。在促進學生髮展方面，趣味性和開放性的練習有着不可替代的作用。雖說練習不僅能檢驗學生學習的效果，而且能進一步加深學生對所學知識的理解和掌握，爲日後學習打好紮實的基礎。一種獨特的練習形式，能達到事半功倍的效果，而且能使學生感到學習的快樂。例如，在鞏固學習加、減混算時，我就問學生： “同學們，坐過公共汽車嗎？”同學們齊聲回答：“乘過。”“好，下面我們來玩'乘汽車'的遊戲。”“瞧，嘀嘀，公交車來了！請6位學生上來乘汽車，到站後下去3人，又上來2人。”學生通過看到的情境，從中明白：上車了，車上的人就多了，下車了，而車上的人也就相應地少了！馬上能順利地編出兩步計算的生活中的數學題，計算就更不在話下了。這樣的練習自然貼切，趣味猛增，牢牢吸引住學生的注意力，讓學生的思維活動同教師的講課交融在一起，在遊戲活動中玩的輕鬆、愉快、有效地掌握了知識。

教學《小小養殖場》一課，爲了讓學生更加深刻的領悟“多一些、少一些、多得多、少得多”的相對意義，我設計了猜數遊戲，讓學生互相從同桌所敘述的描述語言中，依據多少比較的提示猜出數字。一人猜數，其他孩子語言提示。學生甲：我想了一個兩位數。學生乙：是20嗎？學生甲：不是，比20多得多。學生乙：是70吧。學生甲：比70少一些。……遊戲場景爲學生靈活的掌握和運用所學知識提供了良好空間，使學生無拘無束的從不同的立場中獲得廣泛的學活動經驗。

總之，在數學課堂中我們要融入更多的富有童趣的教學情境、設計出與兒童喜聞樂見的教學遊戲，讓孩子們在“玩”中學，“趣”中練，感受數學課堂的神奇魅力，對數學課產生興趣，並鼓勵和幫助他們學好數學，掌握更多知識。

看了“數學學術論文範文大全”的人還看：

數學學術論文 篇二

論數學

討論任意領域中智力活動的性質是一件困難的任務，對處於人類智能中心領域的數學就更是如此。對人類智能的性質作一般的討論，從本質上來說是困難的，它在任何情況下總比只涉及那些特殊範圍的智能的討論要更爲困難。理解飛機的結構和升力、推力的力學原理，比乘坐飛機、以至駕駛它要更爲困難。在沒有以直觀的和 經驗的方式獲得某些知識之前，在沒有預先了解、熟悉以及駕駛過飛機之前，人們就能理解原理及其過程，這是罕見的。

在數學領域中，這種討論如果以一種非數學的方式進行的話，限制將更爲苛刻。討論必然會顯示出某些不良的特性，得到的結果所依據的材料決不可能充分；相反，面面俱到的膚淺的討論卻不可避免。儘管我甚至意識到，我將要提出的說法有不少短處，但是很抱歉我還是得說下去。此外，我準備表述的觀點，也完全可能不爲許多其他數學家所贊同。你可能獲得一個人爲的不太系統的印象和解釋。我提出的看法，對這些討論究竟有多少價值，也許是很小的。在我看來，刻畫數學特點的最有力的事實，是它和 自然 科學 的特有 聯繫。或者更一般地說，它和任何一類比處於純粹描述水準更高級一些的、能對經驗作出解釋的科學的特有聯繫。大多數數學家和非數學家將會同意，數學不是一門經驗科學，或者至少可以說它不是以某種來自經驗科學技術的 方法 實現的，但是它的 發展 和自然科學卻緊密相聯。它的一個主要分支幾何學，買際上起源於自然科學、經驗科學。某些 現代 科學中最大的靈感（我認爲是最大的）清楚地來源於自然科學，數學方法滲透和支配着自然科學的許多“ 理論 ”分支。在現代經驗科學中，能否接受數學方法或與數學相近的物 理學 方法，已愈來愈成爲該學科成功與否的主要標準。確實，整個自然科學一系列不可割斷的相繼現象的鏈，它們都被打上數學的標誌，幾乎和科學進步的理念是一致的，這也變得越來越明顯了。生物學變得更受到化學和物理滲透，這些化學是實驗和理論的物理，而物理是形式甚爲數學化的理論物理。

有一個甚爲特殊的數學性質的兩重性，人們必須理解它，接受它，並且把它吸收到自己正在思考的主題中去。這種兩重性是數學的本來面目，我不相信無需犧牲事物的實質，就可能簡化和單一化對事物的看法。

因而我並不試圖爲你提供一種單一化的模式，我將盡可能地，描寫數學所具有的多重現象。無可否認，在人們能想象的那部分純粹數學中，某些最爲激動人心的靈感來自自然科學，我將提及兩個最值得紀念的事實。

第一個例子是幾何學。幾何學是古代數學中的一個主要部分，現在仍然是現代數學中幾個主要分支之一。毋庸置疑，它的古代起源是經驗的，它開始成爲一門學科並不像當今的理論物理。離開這些跡象，就很難說“幾何學”是什麼了，歐氏的公理化處理是幾何學脫離經驗向前跨出一大步的標誌，但是它全然不能簡單地被看成是決定性的、絕對的、最終的一步。歐氏的公理化在某些方面並不能滿足現代絕對的公理化對嚴格性的要求，當然這不是主要的方面。最本質的是某些無疑是經驗的學科，如力學和熱力學，也或多或少地常常由某些作者提出一些公理化的處理。然而所有這些都很難超出Euclid的程序。我們 時代 的經典理論物理，Newton原理，它的文字形式和最重要的實質部分都是很像Euclid的。當然在所有這些例子中，提到的公設都是以支持這些定理的物理考察、實驗論證作爲後盾的。但是人們可以論證：在幾何學獲得兩幹多年的穩定和權威之前（這種權威是理論物理的現代結構所缺乏的），特別從古代的觀點來看，提出一種類似於Euclid的解釋是可能的。

儘管自Euclid以來，在使幾何學與經驗脫離方面已經逐步地取得了進展，但是哪怕在今天，它也決沒有變得十分完備。非歐幾何學的討論提供了這方面的一個好的說明。它也對數學思想的矛盾狀態提供了一種說明，儘管這種討論大部分發生在高度抽象的水平上，它所處理的是歐氏“第五公設”是否爲其他公設的推論的純粹邏輯 問題 ；形式上的論戰由Kl Ein的純粹數學的典範作品所 總結 。他證明了一歐氏平面，可以通過形式地重新定義某些基本概念而成爲非歐平面。這裏從開始到結束，都還是由經驗促進的。所有歐氏公設的原始根據顯然都是對整個無窮平面的概念所作出的非經驗的刻畫，爲什麼只有第五公設會有問題呢？這種撇開所有數學的邏輯 分析 ，堅持必須由經驗來確定歐氏幾何是否有意義的思想，確實是由最偉大的數學家高斯提出的，後來由Bolyai，Lobachevsky，Riemann和Kl EIn把它變得更爲抽象。然而我們今天所考察的關於最初爭論的形式上結果，不管是經驗的或者物理學的，都已有定論。廣義相對論的發現，迫使人們對關於幾何學相互關係的觀點進行修正。這種修正是在全新的背景下進行的。最後，人們就能接觸到一幅完成了的可供比較的圖景。這最後的進展是由這樣一代人完成的，他們看到了歐氏公理方法已被現代公理派邏輯數學家處理成爲完全非經驗的和抽象的。這兩種表面上似乎是衝突的態度，完美地合併成一種數學思想；因此，Hilbert在公理幾何學和廣義相對論方面都作出了重要的貢獻。第二個例子是微積分，或者說是由它生成的數學分析。微積分是近代數學的最早的成果，對它的重要性，作任何估價都很難認爲是過高的。儘管我認爲它的確定比現代數學發端中的任何其他事物具有更多的歧義性，但是數學分析的系統，它的邏輯展開仍然是精確思維方面最大的技術上的進步。

微積分的起源顯然是 經驗的，Kepler嘗試着做的最早的積分，被叫做“dolichometry”——小桶的量度——即量度由曲面包圍起來的物體的容積。這是非公理化的，經驗的幾何學，而不是Euclid以後的那種幾何學，Kepler是完全知道這些的。Newton和L Eibniz的那些主要成果和主要發現確實起源於物 理學 。Newton發明的“流數”運算，本質上是爲了力學。事實上，這兩門學科，微積分和力學，是由它們或多或少地結合在一齊而得到 發展 的。微積分的最初的一些陳述，數學上甚至可以是不嚴格的。一個不精確的半物理的陳述，是Newton以後一百五十多年來僅有的一種可供使用的陳述！這一時期數學 分析 取得了某些最重要的進步，而這種不精確性不能適應於基礎！這時期的某些主導的數學精神顯然是不嚴格的，如Euler;但是另外一些數學家，主要的如Gauss和Jacobi就並非如此。這種發展極爲含混和模糊，它和經驗的關係，確實不是按照我們（或Euclid）提出的抽象的和嚴格的想法那樣。但是並沒有數學家想排斥它。那個時期確實也產生了第一流的數學。即使在本質上是由Cauchy重建的嚴格性盛行之後，一種特殊的半物理 方法 在Riemann那裏仍然得到了復萌。Riemann的 科學 的個性本身就是一個數學的兩重性的光輝榜樣，這些可以在Riemann和W EIerstrass的爭論中見到，如果我詳細地列出這些，恐怕會使技術細節敘述得過分多了。自Weierstrass以來，分析數學似乎變得完全抽象、嚴格和非經驗了，其實這也不是絕對真實的。在最近兩代人中發生的有關數學和邏輯的“基礎”的爭論，驅散了許多關於這方面的錯誤的幻想。

這爲我帶來了第三個例子，它和上述爭論的判斷是有關的，但是這個例子更多地是論述數學與 哲學 或認識的關係，而不是數學與 自然 科學的關係，它用一種引人注目的方式說明“絕對的”數學嚴格性的概念並不是不可改變的。嚴格性概念的可變性表明：在數學抽象之外的某些事物，作爲補償不足必須進入數學。在分析關於“基礎”的爭論時，我一直不能使自己確信：這種說法一定有利於外部成分的經驗性質，儘管在討論的某些言詞上，對這樣一種說明的支持是十分強有力的，但是我並沒有把它看作是絕對地不可爭議的。然而有兩件事是清楚的。第一，已經引入某些非數學事物，這是本質的，不管它與經驗科學或者哲學或者與兩者如何 聯繫，它的非經驗的特點，僅當人們假設哲學（更爲專門的認識論）能夠獨立於經驗而存在時才能使人注意（這個假設僅是必要的而不是充分的）。第二，不顧關於“基礎”的爭論可能作出的最好解釋，數學的經驗來源是受到如我們較早提到的例子（幾何學和微積分）的強有力地支持的。在分析數學嚴格性概念的可變性時，我希望主要強調的是上面已談及的“基礎”的論爭。但是，我喜歡首先簡要地考察 問題 的第二方面。儘管這方面也能加強我的論證，但是我把它看作第二位的，因爲它的結論的終極性比“基礎”論證的分析要少，我正在把這個歸諸於數學“風格”的改變。大家知道，寫出的數學證明的風格已經經歷了相當大的起落，說起落比趨向要好一點，因爲在某些方面，當代作者和18世紀或19世紀的某些作者之間的差別比當代的作者和Euclid之間的差別要更爲大一些。此外，另一方面，它們有着值得注意的經久不變的東西。在有些呈現了某些差別的領域，無需引進任何新的思想，它們的主要差別，就可能消除。但是在許多場合，這些差別是如此的廣泛，以致使人開始懷疑：在這種分歧的道路上，差別是否能僅僅由作者的風格、試驗和 教育 上的差別來說明呢？他們實際上在構成數學的嚴謹性方面是否具有同樣的思想呢？最後，在極端的情況下（例如：上面所說的18世紀後期分析方面的許多 工作），差別既是本質的，如果完全只是爲了有助於新的和意義深遠的已經發展了一百多年的 理論 的話，它又是可以補救的，有些按此種不嚴格方式工作着的數學家（或者他們的某些對此持批評態度的同輩人）是意識到它們缺乏嚴格性的。或者更爲客觀地說：他們關於什麼是數學程序的想法是願意遵循我們提出的觀點的，但他們的行動卻並非如此。但是另一些人，例如：這時期的最偉大的學者Euler似乎堅定地持有自己的標準，並且一直在按他自己標準行事。

但是我不想進一步強調這件事。我將回到剛纔停下的關於“數學基礎"的論爭方面去。在19世紀末和20世紀初，抽象數學的一個新分支，or的集合論，引出了困難。即某些推理引向了矛盾；當這些推理並不處於集合論的中心的和“普適”的地位時，總比較容易根據某些形式的標準消除它，但是爲什麼集合論的後繼部分比集合論自身更可信這是不清楚的。除了事後看到它們事實上引向災難之外，對什麼是先驗的動因，什麼是與之一致的 哲學 特徵，人們如何從想要解決的集合論中去分離出它們也是不清楚的。緊接着對這種情況進行 研究 的主要是Russell和Weyl，後來由Brouwer作出結論，這些研究表明：不僅集合論，而且大部分 現代 數學所使用的“一般有效性”和“存在性”概念，在哲學上是要引起異議的。一個較少地具有這種不可預料的特點的“數學系統”是“直覺主義”，它是由Brouwer 發展 的。但是按這種方式，現代數學中，特別是在 分析 數學中，百分之五十以上的最有生機的部分或者要被“清除”掉，或者將變得無效了，或者必須補加某些更爲複雜的考察來進行論證。後一過程，常常使有效性的一般性和推導的漂亮方面會有所減色。但是Brouwer和Weyl認爲：根據這些思想去修正數學嚴格性的概念是必要的。

不可能過高地估計這些事情的意義。在20世紀30年代，有兩位持第一種態度的數學家實際上提出了：數學的嚴格性概念和怎樣構成一個精確證明的觀念應該是可以改變的！下列的展開是值得注意的：

1、僅有很少的數學家，在他們自己日常 工作中，願意接受新的，苛刻的標準。儘管很多數學家稱頌Weyl和Brouwer的基本想法是正確的，但是他們自身繼續不受干涉地工作着，即按“老”的容易的方式搞他們自己的數學。

ert追隨着下面這個天才的思想去論證“經典”的（即直覺主義以前的）數學：即使在直覺主義系統中，也可以對經典數學是如何運算的給出嚴格的說明。也就是說人們可以描述經典系統是如何工作的，儘管人們不能論證這種工作。因此有可能直覺主義地證明：經典的程序決不可能引向矛盾。顯然這樣的證明是很困難的，但是對於怎樣才能達到它，有着某些啓示。按這個方案進行工作，有可能提供一個在與直覺主義系統相反的基礎下證明經典數學的最爲值得重視的證明。至少，這個解釋在大多數數學家願意接受的數學哲學系統中將是合法的！

3、在試圖建立這個規劃的大約十年之後，G6del作出了最爲值得銘記的結果。這個結果，如果沒有某些附加的不引起誤解的說明，那是不能作絕對精確的陳述的。它的基本 內容 是這樣的：如果一個數學系統並不引向矛盾，那麼這件事實，使用該系統的程序是不可證明的。GOdel的證明滿足數學嚴謹性的最嚴格的標準——直覺主義的標準。它對Hilbert綱領的 影響 作用引起了某些爭論，不過說理太技術化了。我現在的觀點也和許多人一樣，認爲G6del已經證明了Hilbert的綱領本質上是無用的。

4、在Hilbert或Brouwer意義之下論證經典數學的主要想法已經過去了。大部分數學家決定使用任意的系統。總之經典數學過去曾產生的結果既是雅緻的又是有用的。即使人們不能絕對地確定它的現實性，但是把它作爲基礎還是穩妥的，如像 電子 的存在那樣。因此，如果人們願意接受 科學 ，人們就同樣能接受經典的數學系統，甚至對直覺主義的某些最初的擁護者來說，這樣的觀點也成爲可接受了。當前關於“基礎”的論爭，確實不太緊湊了，但是，經典系統將被大多數人而不是少數人拋棄的想法，似乎最不受歡迎。

我對這個論爭的沿革，已經作了如此詳細介紹，因爲我想這是最謹慎的對數學的嚴格性是不可改變的說法的異議。這發生在我們自身的 時代 ，我慚愧地知道自己關於絕對的數學真理性看法，在這一時期是怎樣容易地改變的，並且是怎樣相繼地改變了三次的。

我希望上述佔了我文章一半篇幅的三個例子已足以說明許多最好的靈感來自於 經驗。很難相信，存在着與人類所有經驗相聯的、絕對的、不可變動的數學嚴格性的概念。關於這個 問題 ，我企圖採取一種低姿態，不管你對 哲學 或認識論持何種偏愛，任何一個瞭解數學的人，都會實際感受到一種經驗，它很少會支持這樣的假設：存在一個先驗的數學嚴格性的概念。然而，我的文章還有另外一事，現在我試圖轉向這部分。

對任何數學家來說，很難相信數學是一門純粹經驗 科學 ，或者說，所有數學概念都起源於經驗主體。首先讓我們來考察陳述的第二部分。 現代 數學中有各種各樣重要部分，它的經驗來源是不可追溯的。或者說，如果可以追溯的話，也是如此間接，顯然地自它割斷它的經驗根源之後，就面貌全非了。代數符號是爲了數學本身的使用而發明的。當然也可以合理地斷言：它加強了與經驗的 聯繫，但是，現代的抽象代數，已經愈來愈朝着與經驗很少相聯的方向 發展 。關於拓撲也可以這樣講。在所有這些領域，數學家主觀上的成功標準和作用價值，是自身相容、符合美學和脫離（或幾乎脫離）經驗（關於這些，我將進一步敘述）。在集合論中，這更爲明顯，一個無窮的“冪”和“序”，可以是有限數概念的推廣，但是在他們的無限形式中（特別是“冪”），它們和這個世界很難有任何聯繫。如果我不想避免某些技巧，我能夠用數集 理論 作爲例子來詳細地敘述這一點。“選擇公理”問題，無限“冪”的“可比較性”，“連續統”問題等等，也是如此。同樣的評述可以 應用 到實函數論和實點集論：儘管它們可以被設想成是抽象的，不可應用的學科，並且按這種精神來看，幾乎總是雅緻的，然後在十年之後，有的可能在一個世紀之後，卻變得對物 理學 十分有用。它們主要地仍然是在追求象徵性的、抽象的、非應用的精神。

所有這種情況，以及它們的各種組合的事例可以不斷重複，但 是，我想轉到我前面指出過的第一方面去：數學是一門經驗科學嗎？或者更精確地說，數學真的是按經驗科學那樣 實踐的嗎？或者， 更一般地說：數學家和他的課題的標準關係是什麼？他嚮往的成功標準是什麼？什麼 影響 、什麼考慮在控制和指引着他的努力呢？

然後，讓我們來看，數學家常規的 工作 方法 和 自然 科學家工作方法的差別在哪裏。這種差別的持續，顯然影響了從理論學科到實驗學科，繼而從實驗學科到描述學科之間的差別。因而讓我們把數學與最相近於數學範疇的學科——理論學科作一比較。讓我們在這裏選取一個與數學最相近的學科——理論物理。數學和理論物理實際上有着許多共同之處。正如我前面已說過的，Euclid幾何系統是經典力學公理描述的原型。類似的現象是熱力學的陳述，充滿着如同Maxwell的描述電動力學系統，以及狹義相對論的句子。此外認爲理論物理不管是分類的還是綜合的，都不是解釋現象的態度，今天已爲大多數理論物理學家所接受。這意味着，這理論成功的標準，只需看一看它是否能建立一個簡單的和雅緻的，分類的或綜合的能概括許多現象的框架；這些現象如果沒有這個框架將會顯得複雜和參差不齊的，進而看它是否能概括沒有考察到的或者提出框架 時尚 不知曉的現象（這後面兩種說法代表一個理論的統一性和預見力）。現在展示在這裏的標準——顯然極大地擴充了美學的性質，由於這個理由，它和你將要看到的對數學來說幾乎完全是美學的成功的標準是很密切相聯的。因此，我們現在可以把數學和與它最相近的自然科學作比較，與我想我已說明了的和數學有許多共同之處的理論物理相比較。然而在實際的慣用的方法中差別是巨大的和基本的，理論物理的目標主要來自“外界”，大部分是由於實驗物理學的需要。他們幾乎總是起因於想解決某一難題，預見和協調的成功通常會跟着到來。這看來是相似的，進展（預見和協調）來自 研究 過程，這種研究對解決某些原先存在的難題是必然要經歷的。理論物理中的一部分工作是爲了探索某種障礙，這種障礙的“突破”提供了發展，如我已提及的，這些難題通常源於實驗；但是有時它們卻是可接受的理論本身中各部分之間的不協調之處，當然，例子也是不少的。

Michelson實驗導致狹義相對論，某些電離電位和光譜結構的難題導致量子力學，這些就是第一種情況的例子；狹義相對論和Newton引力 理論 之間的衝突導致廣義相對論，這是第二種情況的例子，這裏從任何方面看，理論物理的 問題 都是客觀地給定的，而作爲衡量成功的標準，如我在上面所指出的，主要是美學的。但是也有一部分，我們上面提及過的具有基本的“突破”的問題，很難說它起源於客觀實在。據此可見，理論物理的課題幾乎各個時期都是非常集中的，一切物 理學 家的最重要的努力都集中在一、二個十分尖銳的領域，1920年代和1930年代初，集中在量子理論，1930年代後半期集中在基本粒子和核結構方面就是一些例子。

總的說來，數學的情況就不同了。由於在特點、風格、目標和 影響 方面相互之間廣泛的差別，數學被分成許多分支。它顯得和理論物理極爲集中的情況十分相反。今天大多數物理學家仍然需要具備有關他的課題的有用知識一半以上，我懷疑，任何一個現在在世數學家會具備四分之一以上與他的課題有關的有用知識。在一個數學分支中“客觀地”給出的“重要”問題可以相去甚遠。數學家選這個課題，或者選其他課題，基本上是自由的，然而理論物理的一個“重要”問題常常是一種必須加以解決的一個衝突、矛盾。數學家有廣泛的領域供他轉換選題，他在選題方面可以有適當的自由，而對於決定選題，選題的標準和成功的標準，主要是美學的說法是正確的。我感到這個斷言是會引起爭論的，這是不可能“證明”的。有充分的理由可以說，這裏的美學特點甚至比我們前面討論理論物理時所提到的例子還要更爲突出。人們期待一條數學定理或者理論，不僅要能用簡單的和雅緻的方式去描述而且還要能去劃分大量的原先根本不同的各別情況。人們也期待它的構造在“美學上”的“雅緻性”和在敘述問題時的自如性，如果你能自如地敘述問題，把握它和企圖解決它，那麼某些使人驚奇的探索過程中遇到的曲折會變得容易了等等。如果推導是冗長的或者複雜的，應該存在某些簡單的一般原則，可以用來“說明”複雜性和曲折性，這些標準顯然就是對任何創造性 藝術 所提的標準。所有這些和 經驗 科學 相比，在藝術氣氛方面將更會純粹和簡單。

你將會注意到，我不曾提到數學與實驗科學和技術科學之間的比較。這裏， 方法 上的和一般氣氛上的差別是太明顯了。

數學概念來源於經驗，儘管有時系譜是長遠的曲折的，這種說法是一個適當的對真理的逼近。真理是太複雜了，以至能容納任何事物，而不是逼近。但是一旦它們被設想出來後，這個主題開始按它自己特有的活力生長，並且在幾乎完全按美學動機給出的創造物方面；它將比任何事物，特別是經驗科學來得好。但是，我相信還有問題需要進一步強調，因爲一門數學學科遠離它的經驗來源，或者說，如果僅是簡接地來自“現實性”，是由現實激勵生成的第二和第三代學科的話，這是一個最大的危險。它將變得愈來愈美學化，愈來愈藝術化。如果這個領域是由相關聯的仍然與經驗緊密相聯的學科圍繞着的話，或者說，如果這些學科處於受到特殊的、訓練有素的人的影響之下的話，這不是壞事。但是也有一種重大的危險，學科只沿着遠離根源的流一直持續展開下去，並且分割成多種沒有意義的分支，學科將變成一種繁煩的資料堆積。換言之，遠離經驗來源，一直處於“抽象的”近親交配之中，一門數學學科將有退化的危險。開始時，風格是古典的，當它顯示出怪異時，危險就來了。要給出這樣的例子是容易的，它們沿着一些特殊進展進入怪異的，以至高度奇異的狀態，但是細說這些就太技術化了。

在任何事件中，不管它已達到什麼樣的階段，對我來說僅有的補救是回覆到源泉去：把它或多或少地重新對應到經驗概念中去。我相信，這些要求過去是保持學科的生氣勃勃和有效性的必要條件，今後，它同樣將仍然是正確的。

數學小論文範文三：數學小論文 篇三

在生活中，各式各樣的事情都能從一個普普通通毫不起眼的小事變成一個個既生動又引人深思的數學題。我們常做的應用題，就是在生活中取材，再稍加改編而成的題目。這不，我又在做數學題時發現了一道趣題：

在一個游泳池內，有一艘小船，上面有許多石頭，現在把石頭全部從船裏扔到水中，請問，游泳池內的水位會上升、下降，還是不變？

乍一看題目，我便疑惑不解：這道題似乎和數學沾不上一點關係啊！這下該怎麼做呢？我不氣餒，努力思考，不一會兒便理出了頭緒：當石頭扔到水中後，船的重量減輕，便會上浮，水位也會下降，但石頭在水中佔了一部分空間，水位又要隨之上升。因爲這都是同一堆石頭，所以上升與下降的幅度也應該一致，水位當然保持不變啦！可爸爸看了，卻說是下降，我很不服氣，決定與他打個賭

可是，用什麼來證明我的猜想正確與否呢？這時，抽象的想象就沒有真實的操作好了。於是，我便在爸爸的協助下作了一個實驗：由於我能力有限，沒法從外面搬來一個游泳池，也沒法去造一艘小船，只好把題中的條件按比例縮小了。游泳池變成塑料盆，小船變成肥皂盒，石頭則變成了五塊橡皮。我先在塑料盆裏倒進一些水，再把裝着五塊橡皮的肥皂盒放入水中，然後用直尺量出水位是20釐米。最關鍵的時刻到了，我把五塊橡皮小心翼翼地從肥皂盒中取出，再全部投入水中，最後用直尺量出水位--天哪！竟然只有18釐米，是下降了！我錯了！

雖然事實證明，水位是下降了，但我還是丈二和尚--摸不着頭腦：這水位怎麼會下降呢？

我苦思冥想了好長時間，草稿紙上全是一幅幅演示圖，可我還是一籌莫展。我急得團團轉，可越急腦子越亂，反而想不出了。就當我即將放棄的時候，我突然想起了數學家陳景潤孜孜不倦，夜以繼日算題目的故事，血液中彷彿充斥着一股勇往直前的力量，任何困難都擋不住我。果然，不出半小時，這道題我終於想通了：當石頭在船上時，上升水的重量=石頭的重量，而石頭的密度比水大，因此同等重量的水和石頭，水的體積大於石頭的體積。當石頭被投進水中後，水便下降了石頭的重量，而石頭在水中要佔空間，因此，石頭扔進水中後，水上升的體積=石頭的體積。而同等體積的水和石頭，水的重量小於石頭的重量。綜合以上幾點，得到：石頭扔下去後，水位下降的重量大於石頭的重量，水位上升的重量小於石頭的重量，也就是下降的水的重量大於上升的水的重量，於是下降的水的體積便大於上升的水的體積，水位當然下降了。就這樣，一道難題便迎刃而解了。

其實，仔細觀察，這道題與數學密不可分，其中的體積、重量、密度，都屬於數學的範疇之內。你瞧，一個生活中的小事也能變成一道數學題，數學是無處不在的，讓我們熱愛數學，學好數學吧