數學教案－二元一次方程與一次函數（精品多篇）

課前預習： 篇一

一、閱讀教材P96-P98的內容

二、獨立思考：

1、滿足方程組 的x的值是-1，則方程組的解是_____________.

2、用代入法解方程組 比較容易的變形是( )、

A、由①得 B、由①得

C、由得 D、則得

3、用代入消元法解方程 以下各式正確的是( )

A、B、

C、D、

4、如果 是二元一次方程，則 的值是多少？

互動教學過程

探究一：用代入法解方程組 。

探究二：用代入法解二元一次方程組的一般步驟：

步驟 名稱 具體做法 目的

1 變形 變形爲

2 代入

3 求一元

4 求另一元

5 寫出解

探究三：根據市場調查，某種消毒液的大瓶裝(500g)和小瓶裝(250g)兩種產品的銷售數量（按瓶計算）比爲

2：5，某廠每天生產這種消毒液22.5噸，這些消毒液應該分裝大、小兩種產品各多少瓶？

自我能力評估

一、課堂練習

教材P98練習1、2題，P99練習第3、4題

解下列方程組

（1） (2) (3)

二、作業佈置

教材P103習題8.2第1、2、4、6題。

三、自我檢驗

（一）填空題

1、在方程 中，若用x表示y，則y=__________________，若用y表示x，則x=____________.

2、用代入法解方程組 較簡單的解法步驟爲：先把方程______變爲_________________，再代入方程________，求得_______的值，然後再求_________的值。

3、二元一次方程組 的解爲_______________。

4、若 是方程組 的解，則m=_________，n=__________。

5、在方程 中，若x與y互爲相反數，則x=_______，y=___________。

6、從方程組 中消去m，得x與y的關係式爲_____________________。

7、如果方程組 的解是方程 的一個解，則m=________________。

8、用代入法解方程組 由得到用x的式子表示y是：_______________________。

（二）選擇題

1、用代入法解方程組 使得代入後化簡比較容易的變形是( )

A、由得 B、由得 C、由得 D、由得

2、用代入法解方程組 時，代入正確的是( )

A、B、C、D、

3、解方程組 的最佳方法是( )

A、由得 再代入 B、由得 再代入

C、由得 再代入 D、由得 再代入

4、方程 的一個解與方程組 的解相同，由m等於( )

A、4 B、3 C、2 D、1

5、如果 是方程組 的解，那 之間的關係是( )

A、B、C、D、

6、在式子 中，當 時，其值爲3，當 時，其值是4，當 時，其值爲( )

A、B、C、D、

7、某校八年級學生在會議室開會，若每排坐12人，則有11人無處從，若每排從14人，則餘1人獨從一排，則這個年級的學生總數爲( )

A、133 B、144 C、155 D、166

（三）解答題

1、用代入消元法解下列方程組：

（1） (2) (3)

2、已知方程組 的解中x與y互爲相反數，求m的值。

3、已知方程組 的解是方程 的一個解，求a的值。

4、已知方程組 與方程組 有相同的解，求a、b的值。

5、解下列方程組的過程中，是否有錯誤，如有錯誤，請指出來。

解方程組

解：由①得

把代入中，

y是任意數

x是任意數

因此方程組有無數個解

6、若 求 的值。

7、一個兩位數，十位上的數字比個位數字大2，若將十位數了和個位數字交換位置，所得的數比原數的 多3，求這個兩位數。

8、甲、乙兩人同解方程組 ，甲正確解得 ，乙因抄錯C，解得 ，求A、B、C的值。

9、已知等式 對於一切數都成立，求A、B的值。

10、根據有關信息求解：

（1）根據圖中給出的信息，求每件T恤衫和每

瓶礦泉水的價格。

（2）用八塊相同的長方形地磚拼成了一個大長

方形，求每塊地磚的長和寬。

二元一次方程與一次函數的教案 篇二

國中《二元一次方程與一次函數》教學設計

教學目標

1．知識與能力目標

（1）二元一次方程和一次函數的關係。

（2）二元一次方程組的圖象解法。

（3）通過學生的思考和操作，力圖提示出方程與圖象之間的關係，引入二元一次方程組的圖象解法。同時培養學生初步的數形結合的意識和能力。

2．情感態度價值觀目標

通過學生的自主探索，提示出方程和圖象之間的對應關係，加強新舊知識的聯繫，培養學生的創新意識，激發了學生學習數學的興趣，使學生體驗數學活動充滿探索與創造。

教材分析

前面已經分別學習了一次函數和二元一次方程組，這節課研究二元一次方程組（數）和一次函數（形）的關係，是這兩章知識的綜合運用。強化了部分與整體的內在聯繫，知識與知識的內在聯繫，併爲今後解析幾何的學習奠定基礎。

教學重點

1、二元一次方程和一次函數的關係。

2、能根據一次函數的圖象求二元一次方程組的近似解。

教學難點

方程和函數之間的對應關係即數形結合的意識和能力。

教學方法

學生操作------自主探索的方法

學生通過自己操作和思考，結合新舊知識的聯繫，自主探索出方程與圖象之間的對應關係，以引入二元一次方程組的圖象解法，同時也建立了“數”----二元一次方程組和“形”----函數的圖象（直線）之間的對應關係，培養了學生數形結合的意識和能力。

教學過程

一、故事引入

迪卡兒的故事------蜘蛛給予的啓示

十七世紀法國數學家迪卡兒有一次生病臥牀，他看見屋頂上的一隻蜘蛛順着絲左右爬行。迪卡兒看到蜘蛛的“表演”猛的機靈一動。他想，可以把蜘蛛看成一個點，它可以上、下、左、右運動，能不能把蜘蛛的位置用一組數確定下來呢？

在蜘蛛爬行的啓示下，迪卡兒創建了直角座標系，在座標系下幾何圖形（形）和方程（數）建立聯繫。迪卡兒座標系起到了橋樑和紐帶的作用。從而我們可以把圖形化成方程來研究，也可以用圖象來研究方程。

這節課我們就來研究二元一次方程（數）與一次函數（形）的關係。

二、嘗試探疑

1、Y=x+1

你們把我叫一次函數，我也是二元一次方程啊！這是怎麼回事，你知道嗎？

學生先是疑惑：方程就是方程，函數就是函數，它們能有什麼聯繫呢？然後通過思考、交流，最後恍然大悟。初步感受一次函數與二元一次方程的內在聯繫。

2、函數y=x+1上的任意一點的座標是否滿足方程x-y=-1？

以方程x-y=-1的解爲座標的點在不在函數y=x+1 的圖象上？方程x-y=-1與函數y=x+1有何關係？

學生會迫不及待地拿起筆來計算。從函數y=x+1圖象上找幾個點看它們的座標是否滿足方程x-y=-1。結果都滿足。然後學生就會自主和同伴交流，問一問同伴函數y=x+1圖象上的點滿足不滿足方程x-y=-1。結果也都滿足。這樣他們就會搭成共識：函數y=x+1上的任意一點的座標都滿足方程 x-y=-1。

然後學生會用同樣的方法得出另一個結論：以方程x-y=-1的解爲座標的點一定在函數y=x+1的圖象上。然後開始思索函數y=x+1和方程x-y=-1到底有何關係呢？通過交流自動得出結論：以方程x-y=-1的解爲座標的點組成的圖象與一次函數y=x+1的圖象相同。

3.在同一座標系下，化出y=x+1與y=4x-2的圖象，他們的交點座標是什麼？

方程組y=x+1的解是什麼？二者有何關係？

y=4x-2

學生根據畫圖象的方法畫出兩函數圖象，畫出交點座標。用消元法解出方程組的解。學生會大吃一驚：兩者出奇地相近或者乾脆就相同。這是怎麼回事呢？然後開始探究二者關係。通過交流、討論得出結論：函數y=x+1和y=4x-2的交點座標就是由兩個函數表達式組成的方程組

y=x+1 的解。

Y=4x-2

教師作最後總結：因爲函數和方程有以上關係，所以我們就可以用圖象法解決方程問題，也可以用方程的方法解決圖象問題。

三、方程與函數關係的應用

解方程組 x-2y=-2

2x-y=2

學生會很快的用消元法解出來。

老師發問：誰還有其他的方法？如果有，鼓勵學生大膽提出。並給予口頭表揚。如果沒有人用其他的`方法，老師提出問題：你能不能用圖象的方法求方程組的解呢？這時，學生就會去探索新的思路、方法。

一回憶方程與函數的關係，有了！方程組的解不就是兩個方程變形得到的兩個函數圖象的交點座標嗎？學生就會迅速動筆用這種方法把方程解出來。作完之後，互相交流。學生總結一下做題步驟：

1.把兩個方程都化成函數表達式的形式。

2.畫出兩個函數的圖象。

3.畫出交點座標，交點座標即爲方程組的解。

問題又出來了，有的同學的解是 x=2 有的同學的解是 x=2.1 y=2.1

y=1.9 有的同學的解是……雖然都和消元法得到的結果相近，但各不相同。

老師提問：你能說一下用圖象法解方程組的不足嗎？

學生爭先恐後的回答：用這種方法求的解是近似值。不準確。學生提出疑問：既然不準確，那學習它有什麼用呢？用消元法就足夠了！

教師解釋一下：在現實生活和生產中，我們會遇到特別複雜的方程，用消元法解不太容易，我們就可以用電腦繪製成函數圖象，很容易找出交點座標。教師可以用Z+Z智能教育平臺演示一下。

用作圖象的方法解方程組，這體現了兩個知識點的內在聯繫。學數學知識，探索知識點之間的聯繫，可起到化新爲舊的作用，達到事半功倍的效果。逐步讓學生學會這種學習新知識的技巧。

四、引申

方程組 x+y=2

x+y=5 解的情況如何？你能從函數的角度解釋一下嗎？

學生用消元法開始解方程組，結果無解，怎麼回事呢？學生會嘗試運用方程組的圖象解法。畫出兩個函數圖象。答案有了！圖象是平行的，沒有交點。所以方程組無解了。哇！太神奇了！方程的問題可以用圖象的方法解決了。

因爲有了上面的用作圖象法解方程組，在這裏，學生就會自覺地從函數的角度探究方程的問題，初步具有了數形結合的意識和能力。

五、課後小結

本節課我們通過操作和思考，揭示了二元一次方程和函數圖象之間的對應關係，從而引入二元一次方程組的圖象解法，同時也建立了“數”----二元一次方程與“形”------函數圖象之間的對應關係，培養了學生初步的數形結合的意識和能力。

六、作業

1. 用作圖象法解方程組2x+y=4

2x-3y=12

2.如圖，直線L、L相交於點 A，試求出A點座標

教學反思

這節課由故事引入，激發了學生極大的學習興趣。然後提出了三個尖銳的問題，讓學生嘗試探索，在探索中既體會到了探索的艱辛，又體會到了成功的喜悅。在應用和引申過程中，儘量讓學生自主的發現問題，自主的解決問題。學生在緊張、愉快中完成了這節課的學習。

自我能力評估 篇三

一、課堂練習

教材P98練習1、2題，P99練習第3、4題

解下列方程組

（1）(2)(3)

二、作業佈置

教材P103習題8.2第1、2、4、6題。

三、自我檢驗

（一）填空題

1、在方程中，若用x表示y，則y=__________________，若用y表示x，則x=____________.

2、用代入法解方程組較簡單的解法步驟爲：先把方程______變爲_________________，再代入方程________，求得_______的值，然後再求_________的值。

3、二元一次方程組的解爲_______________。

4、若是方程組的解，則m=_________，n=__________。

5、在方程中，若x與y互爲相反數，則x=_______，y=___________。

6、從方程組中消去m，得x與y的關係式爲_____________________。

7、如果方程組的解是方程的一個解，則m=________________。

8、用代入法解方程組由得到用x的式子表示y是：_______________________。

（二）選擇題

1、用代入法解方程組使得代入後化簡比較容易的變形是()

A、由得B、由得C、由得D、由得

2、用代入法解方程組時，代入正確的是()

A、B、C、D、

3、解方程組的最佳方法是()

A、由得再代入B、由得再代入

C、由得再代入D、由得再代入

4、方程的一個解與方程組的解相同，由m等於()

A、4B、3C、2D、1

5、如果是方程組的解，那之間的關係是()

A、B、C、D、

6、在式子中，當時，其值爲3，當時，其值是4，當時，其值爲()

A、B、C、D、

7、某校八年級學生在會議室開會，若每排坐12人，則有11人無處從，若每排從14人，則餘1人獨從一排，則這個年級的學生總數爲()

A、133B、144C、155D、166

（三）解答題

1、用代入消元法解下列方程組：

（1）(2)(3)

2、已知方程組的解中x與y互爲相反數，求m的值。

3、已知方程組的解是方程的一個解，求a的值。

4、已知方程組與方程組有相同的解，求a、b的值。

5、解下列方程組的過程中，是否有錯誤，如有錯誤，請指出來。

解方程組

解：由①得

把代入中，

∴y是任意數

∴x是任意數

因此方程組有無數個解

6、若求的值。

7、一個兩位數，十位上的數字比個位數字大2，若將十位數了和個位數字交換位置，所得的數比原數的多3，求這個兩位數。

8、甲、乙兩人同解方程組，甲正確解得，乙因抄錯C，解得，求A、B、C的值。

9、已知等式對於一切數都成立，求A、B的值。

10、根據有關信息求解：

（1）根據圖中給出的信息，求每件T恤衫和每瓶礦泉水的價格。

（2）用八塊相同的長方形地磚拼成了一個大長方形，求每塊地磚的長和寬。

《一次函數與二元一次方程(組)》說課稿及教案設計 篇四

教學目標

知識技能：理解一次函數與二元一次方程(組)的關係，會用圖象法解二元一次方程組。

情感態度：在探究活動中培養學生嚴謹的科學態度和勇於探索的科學精神，在師生、生生的交流活動中，學會與人合作，學會傾聽、欣賞和感悟，體驗數學的價值，建立自信心。

教學重難點

重點：一次函數與二元一次方程(組)關係的探索。

難點：綜合運用方程(組)、不等式和函數的知識解決實際問題。

教學過程

(一)引入新課

多媒體播放一段發生在電信公司裏的情景：一顧客準備辦理上網業務，發現有兩種收費方式：方式A以每分鐘0.1元的價格按上網時間計費；方式B除收月基費20元外再以每分鐘0.05元的價格按上網時間計費。顧客說他每月上網的費用按這兩種收費方式計算都是一樣多。求這位顧客打算每月上網多長時間？多少費用？

學生已經學習過列方程(組)解應用題，因此可能列出一元一次方程 或二元一次方程組，用方程模型解決問題。結合前面對一次函數與一元一次方程、一元一次不等式之間關係的探究，我自然地提出問題：一次函數與二元一次方程組之間是否也有聯繫呢？，從而揭示課題。

(二)進行新課

1、探究一次函數與二元一次方程的關係

填空：二元一次方程 可以轉化爲 ________。

思考：(1)直線 上任意一點 一定是方程 的解嗎？(2)是否任意的二元一次方程都可以轉化爲這種一次函數的形式？

(3)是否直線上任意一點的座標都是它所對應的二元一次方程的解？

2、探究一次函數圖像與二元一次方程組的關係

(1)在同一座標系中畫出一次函數 和 的圖象，觀察兩直線的交點座標是否是方程組 的解？並探索：是否任意兩個一次函數的交點座標都是它們所對應的二元一次方程組的解？

此時教師留給學生充分探索交流的時間與空間，對學生可能出現的疑問給予幫助，師生共同歸納出：從形的角度看，解方程組相當於確定兩條直線交點的座標。

(2)當自變量 取何值時，函數 與 的值相等？這個函數值是什麼？這一問題與解方程組 是同一問題嗎？

進一步歸納出：從數的角度看，解方程組相當於考慮自變量爲何值時兩個函數的值相等，以及這個函數值是何值。

3、列一元二次不等式

例題：我市一家電信公司給顧客提供兩種上網收費方式：方式A以每分0.1元的價格按上網時間計費；方式B除收月基費20元外再以每分0 .05元的價格按上網時間計費。如何選擇收費方式能使上網者更合算？

解法1：設上網時間爲 分，若按方式A則收 元；若按方式B則收 元。然後在同一座標系中分別畫出這兩個函數的圖象，計算出交點座標 ，結合圖象，利用直線上點位置的高低直觀地比較函數值的大小，得到當一個月內上網時間少於400分時，選擇方式A省錢；當上網時間等於400分時，選擇方式A、B沒有區別；當上網時間多於400分時，選擇方式B省錢。

解法2：設上網時間爲 分，方式B與方式A兩種計費的差額爲 元，得到一次函數： ，即 ，然後畫出函數的圖象，計算出直線與 軸的交點座標，類似地用點位置的高低直觀地找到答案。

注意：所畫的函數圖象都是射線。

4、習題

(1)、以方程 的解爲座標的所有點都在一次函數 _____的圖象上。

(2)、方程組 的解是________,由此可知，一次函數 與 的圖象必有一個交點，且交點座標是________。

5、旅遊問題

古城荊州歷史悠久，文化燦爛。

今年，大型歷史劇《萬曆首輔張居正》在荊州封鏡後，來荊州的遊客更是絡繹不絕。據悉，張居正紀念館門票標價20元/張，近期正在進行優惠活動，購買時有兩種方式：方式A是團隊中每位遊客按8折購買；方式B是團隊中除5張按標價購買外，其餘按7折購買。如果你是團隊的負責人，你會如何選擇購買方式使整個團隊更合算？

學習目標： 篇五

重點：用代入法解二元一次方程組

難點：用代入法解二元一次方程組

七年級數學二元一次方程組教案 篇六

教學目標

1．會列出二元一次方程組解簡單應用題，並能檢驗結果的合理性。

2．知道二元一次方程組是反映現實世界量之間相等關係的一種有效的數學模型。

3．引導學生關注身邊的數學，滲透將來未知轉達化爲已知的辯證思想。

教學重點

1．列二元一次方程組解簡單問題。

2．徹底理解題意

教學難點

找等量關係列二元一次方程組。

教學過程

一、情境引入。

小剛與小玲一起在水果店買水果，小剛買了3千克蘋果，2千克梨，共花了18.8元。小玲買了2千克蘋果，3千克梨，共花了18.2元。回家路上，他們遇上了好朋友小軍，小軍問蘋果、梨各多少錢1千克？他們不講，只講各自買的幾千克水果和總共的錢，要小軍猜。聰明的同學們，小軍能猜出來嗎？

二、建立模型。

1．怎樣設未知數？

2．找本題等量關係？從哪句話中找到的？

3．列方程組。

4．解方程組。

5．檢驗寫答案。

思考：怎樣用一元一次方程求解？

比較用一元一次方程求解，用二元一次方程組求解誰更容易？

三、練習。

1．根據問題建立二元一次方程組。

（1）甲、乙兩數和是40差是6，求這兩數。

（2）80班共有64名學生，其中男生比女生多8人，求這個班男生人數，女生人數。

（3）已知關於求x、y的方程，

是二元一次方程。求a、b的值。

2．P38練習第1題。

四、小結。

小組討論：列二元一次方程組解應用題有哪些基本步驟？

五、作業。

P42。習題2.3A組第1題。

後記：

2.3二元一次方程組的應用（2）

《一次函數與二元一次方程(組)》說課稿及教案設計 篇七

二元一次方程

【教學目標】

【知識目標】瞭解二元一次方程、二元一次方程組及其解等有關概念，並會判斷一組數是不是某個二元一次方程組的解。

【能力目標】通過討論和練習，進一步培養學生的觀察、比較、分析的能力。

【情感目標】通過對實際問題的分析，使學生進一步體會方程是刻畫現實世界的有效數學模型，培養學生良好的數學應用意識。

【重點】二元一次方程組的含義

【難點】判斷一組數是不是某個二元一次方程組的解，培養學生良好的。數學應用意識。

【教學過程】

一、引入、實物投影

1、師：在一望無際呼倫貝爾大草原上，一頭老牛和一匹小馬馱着包裹吃力地行走着，老牛喘着氣吃力地說：“累死我了”，小馬說：“你還累，這麼大的個，才比我多馱2個”老牛氣不過地說：“哼，我從你背上拿來一個，我的包裹就是你的2倍！”，小馬天真而不信地說：“真的？！”同學們，你們能否用數學知識幫助小馬解決問題呢？

2、請每個學習小組討論（討論2分鐘，然後發言）

這個問題由於涉及到老牛和小馬的馱包裹的兩個未知數，我們設老牛馱x個包裹，小馬馱y個包裹，老牛的包裹

[1] [2] [3]

課前預習： 篇八

一、閱讀教材P99-P102內容

二、獨立思考；

1、用加減消元法解方程組 ，如果要消去x，方法是_______________，得到__________，如果要消去y，方法是________________，得到_____________________。

2、已知方程 有兩個解分別是 和 則 =_________， =___________。

3、解方程組 爲了計算較簡單，最好是( )

A、①7-②3 B、①-②3 C、①+②3 D、①2-②

4、已知方程組 ，則 與 的關係是_____________________。

5、已知點A（ )，點B( ）關於 軸對稱，則 的值是_____________。

6、解方程組 比較簡單的方法是_______________。

7、大數和小數相差8，和是32，由大數是___________，小數是_______________。

8、已知方程組 ，則 =__________________。

互動課堂教學

探究一：用加減法解方程組 。

步驟 名稱 具體做法 目的

1 變形 使方程中某一個未知數的係數相等或變成相反數的形式。

2 加減

3 求一元

4 求另一元

5 寫出解

探究二：用加減消元法解方程組的一般步驟；

探究三：2臺大收割機和5臺小收割機均工作2小時共收割小麥3.6公頃，3臺大收割機和2臺小收割機均工作5小時共收割小麥8公頃，1臺大收割機和1臺小收割機每小時各收割小麥多少公頃？

自我能力評估

一、課堂作業：

1、教材P102練習第1.2.3題。

二、作業佈置：

教材P103習題8.2第3、5、7、8、9題

三、自我檢測

（一）填空題

1、解二元一次方程組的基本思想是________，其中常用的方法有______________、______________兩種。

2、用加減消元法解下列方程組 ，較簡單的消元方法是：將兩方程左右兩邊_________，消去未知數______。

3、已知方程組 用加減消元法消去x的方法是_________，用加減法消去y的方法是_______。

4、方程組 ，可用______________消去未知數y，也可用___________消去x。

5、方程 的解是_________________。

6、用加着消元法解方程時，你認爲行消哪個未知數較簡單，填寫消元的過程，不解：

（1） ，消元的方法是_______________________.

（2） ，消元的`方法是_________________________.

7、已知方程組 ，不解方程組，則 =___________， =___________。

8、滿足 ，那麼 的值是__________________。

9、已知一個等腰三角形一腰上的中線把它的周長分爲6cm和9cm兩部分，則它的底邊長是____________。

（二）選擇題

1、解方程組比較簡單的消元方法是( )

A、用含y的式子表示x，用代入法 B、加減法

C、換元法 D、三種方法完全一樣

2、用加減法解方程組 ，下列解法不正確的是( )

A、○13-○22，消去x B、○12-○23，消去y

C、○1(-3)+○22，消去x D、○12-○2(-3)，消去y

3、用加減法解方程組 ，其解題步驟如下：（1)○1+○2得 ；(2)○1-○22得 ，所以原方程組的解爲 ，則下列說法正確的是( ）

A、步驟(1)、(2)都不對 B、步驟(1)、(2)都對

C、本題不適宜用加減法解 D、加減法不能用兩次

4、若二元一次方程 有公共解，則m等於( )

A、-2 B、-1 C、3 D、4

5、已知方程組 的解爲 ，則 的值爲( )

A、4 B、6 C、-6 D、-4

6、以方程 的解爲座標的點P（ )一定不在( ）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

7、如果關於x、y的二元一次方程組 的解x、y的差是7，那麼k的值是( )

A、-2 B、8 C、0.8 D、-8

（三）解答題

1、用加減法解下列方程組：

（1） (2) (3)

2、用適合的方法解下列方程組：

（1） (2) (3)

3、若方程組 的解滿足 ，求m的值。

4、已知方程組 中 的係數已經模糊不清，但知道其中表示同一個數，也表示同一個數，且 是這個方程組的解，你能求出原方程組嗎？

5、已知關於 有方程組 的解是 ，求 。

6、解方程組 。

7、在一本書上寫着方程組 的解是 ，其中y的值被蓋住了，你能求出p的嗎？

8、已知 ， ，求 的值。

9、如圖，在平面直角座標系中A、B兩點的座標滿足方程

10、解這個方程組

元一次方程教案 篇九

二元一次方程組是從實際生活中抽象出來的數學模型，它是解決實際問題的有效途徑，更是今後學習的重要基礎。它是在一元一次方程的基礎上來進一步研究末知量之問的關係的，教材通過實例引入方程組的概念，同時引入方程組解的概念，並探索二元一次方程組的解法，具體研究二元一次方程組的實際應用。

本章學習重難點

【本章重點】會解二元一次方程組，能夠根據具體問題中的數量關係列出方程組。

【本章難點】列方程組解應用性的實際問題。

【學習本章應注意的問題】

在複習解一元一次方程時，明確一元一次方程化簡變形的原理，類比學習二元一次方程組、三元一次方程組的解法，同時在學習二元一次方程組、三元一次方程組的解法時，要認真體會消元轉化的思想原理，在學習用方程組解決突際問題時，要積極探究，多多思考，正確設未知數，列出恰當的方程組，從而解決實際問題。

會考透視

在考查基礎知識、基本能力的。題目中，單獨知識點考查類題目及多知識點綜合考查類題目經常出現，在實際應用題及開放題中大量出現。所以在學習本章內容的過程中一定要結合其他相應的知識與方法，本章是會考的重要考點之一，圍繞簡單的二元一次方程組的解法命題，能根據具體問題的數量關係列出二元一次方程組，體會方程是描述現實世界的一個有效模型，並根據具體問題的實際意義用觀察、體驗等手段檢驗結果是否合理。考試題型以選擇題、填空題、應用題、開放題以及綜合題爲主，高、中、低檔難度的題目均有出現，佔4～7分。

知識網絡結構圖

專題總結及應用

一、知識性專題

專題1 運用某些概念列方程求解

【專題解讀】在學習過程中，我們常常會遇到二元一次方程的未知數的指數是一個字母或關於字母的代數式，讓我們求字母的值，這時巧用定義，可簡便地解決這類問題

例1 若 =0,是關於x,y的二元一次方程，則a=_______,b=_______.

分析 依題意，得 解得

答案：

【解題策略】準確地掌握二元一次方程的定義是解此題的關鍵。

專題2 列方程組解決實際問題

【專題解讀】方程組是描述現實世界的有效數學模型，在日常生活、工農業生產、城市規劃及國防領域都有廣泛的應用，列二元一次方程組的關鍵是尋找相等關係，尋找相等關係應以下兩方面入手；(1)仔細審題，尋找關鍵詞語；(2)採用畫圖、列表等方法挖掘相等關係。

例2 一項工程甲單獨做需12天完成，乙單獨做需18天完成，計劃甲先做若干後離去，再由乙完成，實際上甲只做了計劃時間的一半因事離去，然後由乙單獨承擔，而乙完成任務的時間恰好是計劃時間的2倍，則原計劃甲、乙各做多少天？

分析 由甲、乙單獨完成所需的時間可以看出甲、乙兩人的工作效率，設總工作量爲1，則甲每天完成 ，乙每天完成 .

解：設原計劃甲做x天，乙做y天，則有

解這個方程組，得

答：原計劃甲做8天，乙做6天。

【解題策略】若總工作量沒有具體給出，可以設總工作量爲單位1，然後由時間算出工作效率，最後利用工作量=工作效率工作時間列出方程。

二、規律方法專題

專題3 反覆運用加減法解方程組

【專題解讀】反覆運用加減法可使係數較大的方程組轉化成係數較小的方程組，達到簡化計算的目的。

例3 解方程組

分析 當方程組中未知數的係數和常數項較大時，注意觀察其特點，不要盲目地利用加減法或代入法進行消元，可利用反覆相加或相減得到係數較小的方程組，再求解。

解：由①-②,得x-y=1,③

由①+②,得x+y=5,④

將③④聯立，得

解得 即原方程組的解爲

【解題策略】此方程組屬於 型，其中| - |=k|a-b|, + =m|a+b|,k,m爲整數。因此這樣的方程組通過相加和相減可得到 型方程組，顯然後一個方程組容易求解。

專題4 整體代入法解方程組

【專題解讀】結合方程組的形式加以分析，對於用一般代入法和加減法求解比較繁瑣的方程組，靈活靈用整體代入法解題更加簡單。

例4 解方程組

分析 此方程組中，每個方程都缺少一個未知數，且所缺少的未知數又都不相同，每個未知數的係數都是1,這樣的方程組若一一消元很麻煩，可考慮整體相加、整體代入的方法。

解：①+②+③+④,得3(x+y+z+m)=51,

即x+y+z+m=17,⑤

⑤-①,得m=9,⑤-②,得z=5.

⑤-③,得y=3,⑤-④,得x=0.

所以原方程組的解爲

專題5 巧解連比型多元方程組

【專題解讀】連比型多元方程組通常採用設輔助未知數的方法來求解。

例5 解方程組

解：設 ,

則x+y=2k,t+x=3k,y+t=4k,

三式相加，得x+y+t= ,

將x+y+t= 代入②,得 =27,

所以k=6,所以

②-⑤,得x=3,②-④,得y=9,②-③,得t=15.

所以原方程組的解爲

三、思想方法專題

專題6 轉化思想

【專題解讀】 對於直接解答有難度或較陌生的題型，可以根據條件，將其轉化成易於解答或比較常見的題型。

例6 二元一次方程x+y=7的非負整數解有 ( )

A.6個

B.7個

C.8個

D.無數個

分析 將原方程化爲y=7-x,因爲是非負整數解，所以x只能取0,1,2,3,4,5,6,7,與之對應的y爲7,6,5,4,3,2,1,0,所以共有8個非負整數解。故選C.

【解題策略】對二元一次方程求解時，往往需要用含有一個未知數的代數式表示出另一個未知數，從而將求方程的解的問題轉化爲求代數式的值的問題。

專題7 消元思想

【專題解讀】 將未知數的個數由多化少，逐一解決的思想即爲消元思想。

例7 解方程組

分析 解三元一次方程組可類比解二元一次方程組的代入法和加減法，關鍵是消元，把三元變爲二元，再化二元爲一元，進而求解。

解法1:由③得z=2x+2y-3.④

把④代入①,得3x+4y+2x+2y-3=14,

即5x+6y=17.⑤

把④代入②,得x+5y+2(2x+2y-3)=17,

即5x+9y=23.⑥

由⑤⑥組成二元一次方程組 解得

把x=1,y=2代入④,得z=3.

所以原方程組的解爲

解法2:由①+③,得5x+6y=17.⑦

由②+③2,得5x+9y=23.⑧

同解法1可求得原方程組的解爲

解法3:由②+③-①,得3y=6,所以y=2.

把y=2分別代入①和③,得 解得

所以原方程組的解爲

【解題策略】消元是解方程組的基本思想，是將複雜問題簡單化的一種化歸思想，其目的

是將多元的方程組逐步轉化爲一元的方程，即三元 二元 一元。