淺談中學數學思想方法的教學

淺談中學數學思想方法的教學

張憧憬

滁州市天長市橋灣九年制學校 

摘　要：中學數學教材中所蘊含的數學思想方法很多。在平時的教學中如何體現數學思想方法的重要性，如何滲透數學思想方法，這是新課程基礎教育所賦予我們的一個很現實的課堂。本文主要從四個方面來談談如何進行中學數學思想方法的教學。

關鍵詞：數學思想、數學方法、數學活動教學、滲透。

傳統的數學教學歷來只注重知識的傳授，而忽視知識發生過程中數學思想方法的教學，這不利於進行素質教育。我認爲，數學思想方法的教學和數學知識的傳授是數學教學的兩個重要組成部分，而數學思想方法的教學也許比知識更爲重要。正如數學教育家弗利德曼所說:“在學校課程中，數學的思想方法應占有中心的地位，佔有把教學大綱中所有的爲數很多的概念，所有的題目和章節聯結成一個統一的學科的這種核心地位。”

現代數學教學觀認爲，應該着重發展學生的思維，提高數學能力。義務教育的核心則在於全面提高學生的素質。我國義務教育國中數學教學大綱中，已將數學思想方法的學習列入基礎知識的範疇，提出了明確的要求，這是一項前所未有的舉措，是順乎時代潮流的重大轉變。要發展學生的思維，培養數學能力，提高文化素養，就必須使學生了解數學知識形成的過程，明確其產生和發展的外部與內部的驅動力。而在數學概念的確立，數學事實的發現，數學理論的推導以及數學知識的運用中，所凝聚的思想和方法，乃是數學的精髓。它會對學生的思維及整體文化素質，產生深刻而持久的影響，使學生受益終身。

我國義務教育數學教材，已於1993年起在全國推行，從目前的情況來看，還存在着許多急需解決的問題，其中一個重要的問題，就是如何認識數學思想方法，以及怎樣進行數學思想方法的訓練。數學科學的內容，包括數學知識和蘊涵於知識中的數學思想方法兩個組成部分。概念、定理、公式等知識是數學的外在表現形式，而數學的思想方法則是數學發展的內在動力，把握住它就可把握數學發展的脈絡。

“方法”與“思想”之間，沒有嚴格的界限。人們習慣上把那些具體的、操作性較強的辦法稱爲方法，而把那些抽象的、涉及範圍較廣的或框架性的辦法稱爲思想。中學數學思想方法，我們認爲可以分爲三種類型。一是操作性較強的方法，稱之爲技巧型方法。比如，換元法、待定係數法、參數法等，它們與知識並行同生，其特點是與解題緊密聯繫，具體而便於操作。二是邏輯型思想方法。包括類比、歸納、演繹、分析、綜合、抽象、概括等。這些方法具有確定的邏輯結構，是普遍適用的推理論證模式，需靠教師有意識、有目的地從數學內容中去挖掘，並對學生進行訓練和培養。三是全局型的數學思想方法。比如，公理方法、座標方法、模型方法等。它們較多地帶有思想、觀點的屬性。它們揭示的是數學發展中極其普遍的想法，爲數學的發展起着指引方向的作用。這些方法雖不像技巧型方法那樣具體，卻牽動着數學發展的全局，或爲新學科的誕生起着指導作用。這三類方法相輔相成，共同促進着數學的發展。

基於以上的認識，這三類方法的學習與掌握，無疑會促進學生思維的發展，強化學生的數學能力，並帶動其整個文化素質的提高。因而，把數學思想方法的訓練貫穿於中學數學教學始終是合適的，也是必要的。

怎樣進行中學數學思想方法的教學呢？我認爲應該注意以下四個方面：

一、注意發掘隱藏於知識中的思想方法。

數學科學是知識和方法的有機結合，沒有不包含數學方法的知識，也沒有遊離於數學知識之外的方法。而有些思想方法並不是以明顯的形式呈現出來，要靠教師去發掘，從具體事例中抽象，從大量事實中概括。例如，不等式的證明，儘管具體的途徑很多，但都是設法把不明顯的不等式轉化爲明顯的不等式，這一點卻是共同的，即都是化歸這一重要的數學思想的體現，具有普遍的指導作用。要把這些思想提煉出來，明確地告訴學生，闡明其作用，引起他們對數學思想方法的重視。

二、突出基本數學思想。

中學數學中有一些數學思想，它滲透於各類知識之中，在教學的各個階段都起着重要的作用，我們不妨稱之爲基本數學思想。突出了這些基本數學思想，就相當於抓住中學數學知識的精髓。基本數學思想有哪些呢？

1.轉化的思想。

數學問題的解決過程是一系列轉化的過程。轉化是化繁爲簡，化難爲易，化未知爲已知，化陌生爲熟悉的有力手段，是解決問題的一種最基本的思想。中學數學中常用的化高次爲低次，化多元爲一元，化高維爲低維等，都是轉化思想的體現。在具體內容上，有加減法的轉化，乘除法的轉化，乘方與開方的轉化，數形轉化等；而添置輔助線，設輔助元，構造方程，構造不等式，構造模型等，則是實現轉化的具體手段。

2.分類討論的思想。

分類思想是自然科學乃至社會科學研究中的基本邏輯方法。數學中則依據數學對象屬性的不同，將數學對象分爲不同的種類，以便於用不同的方法去研究。從整體方面來看，把中學數學分爲代數、幾何（平面幾何、立體幾何、解析幾何），然後採用不同方法進行研究，就是分類思想的體現。分類思想已滲透到中學數學的各個方面，如概念的定義，定理的證明，法則的推導等；也滲透到了問題的具體解決之中，如含有絕對值符號的代數式的處理，根式的化簡，圖形的討論等，這些問題若不分類討論，就會無從着手或顧此失彼，導致錯誤的發生。掌握分類思想，有助於理解知識、整理知識、消化知識和獨立獲取知識，使學生學會一種分析問題和處理問題的思想方法。

3.數學結合的思想。

“數”和“形”是數學研究中既有區別又有聯繫的兩個對象。在數學教學中，突出數形結合思想，有利於學生從不同的側面加深對問題的認識和理解，提供解決問題的方法，也有利於培養學生將實際問題轉化爲數學問題的能力。將抽象的數量關係形象化，具有直觀性強，易理解、易接受的作用；將直觀圖形數量化，轉化成數學運算，常會降低難度，並可對知識的理解達到更深刻的程度。所以數學教學中，突出數學結合的思想，不僅是提供解決問題的一種手段，而且加深了對數學實質的認識。中學代數中，正是藉助數形結合的載體—數軸，介紹數與點的對應關係，相反數、絕對值的定義、有理數大小比較的法則等，大大減少了引進這些概念的難度。幾何中則應用不等式、方程、函數等進行分析和論證，降低了純幾何形式論證的難度。數形結合的思想已滲透於整個中學數學的教材之中。

三、數學思想方法教學的三個階段。

從認識過程的發展來看，我認爲數學思想方法的教學應分爲三個階段。

1.突出數學活動。

“數學教學是數學活動的教學”（【蘇】斯托利亞爾《數學教育學》）。只有突出數學理論的形成過程，暴露數學家的思維過程，引導學生參與數學的“發現”，學生才能獲得“活”的知識。所以在數學教學中，不僅要讓學生掌握方法的一招一式，更重要的是向學生展現數學思想和方法的產生、應用和發展的過程，這樣才能使他們瞭解方法的實質。例如，證明三角形中邊與角之間的不等關係，我們可以引導學生“截長補短”添置輔助線，將“不等”問題轉化爲“相等”問題，通過已知的關於邊角相等的知識，解決未知的邊角之間不等的問題。三角形內角和定理的證明，可讓學生動手用紙做一個三角形，將其兩個角撕下，三個角拼在一起，發現三內角之和是個平角。從而使學生髮現證明的基本想法，就是將三個角移到一起，而採用作平行線這一方法，是達到目的的手段。這樣教學，突出瞭解決問題的思想過程，有利於形成學生的能力。

2.強調方法的提煉。

作爲教學的第二階段，應引導學生從解決問題的技巧中，提煉出方法，進而理解方法的實質。比如，在一些問題的證明中，都用到了“截長補短”的技巧，而這一技巧的實質是將“不等”轉化爲“相等”，將“未知”轉化爲“已知”，爲問題的解決鋪平道路。又比如二元一次方程組的教學，在第一階段是讓學生掌握兩種消元方法，第二階段應讓學生理解兩種消元方法的實質是同樣的，都是化二元爲一元，化陌生爲熟悉。

3.加強方法的指導。

解決問題是學生學習數學的主要方式，也是教師的重要教學手段。在教學第三階段應突出數學方法在解題中的指導，展現數學方法的應用過程。

四、反覆再現，逐步滲透。

數學方法固然具有普遍適用性，但數學知識則是逐步深化的，這就導致了在知識發展的各個階段所反映出的數學方法的不同的層次性。對同一數學方法，應該注意其在不同知識階段的再現，以加強學生對數學方法的認識。一般地，低年級介紹知識新授階段較低層次的方法，高年級介紹知識深化階段較高層次的方法，反覆再現，逐步滲透。如換元法、配方法都曾在不同的問題的研究中和不同階段的數學中屢次出現，但每次都有不同的應用形式，也有層次上的深淺。平時我們注意技巧方法的教學，到了一定階段，應上升爲較高層次的數學思想。再用較高層次的觀點去概括知識的邏輯結構，揭示知識的內在聯繫，會使所掌握的知識層次更具有深度和廣度，也使思維更加深刻。比如，在中學學習的多種類型方程的求解方法，是隨着各階段的知識內容進行的，最後我們可將其歸結爲：化超越方程爲代數方程，化高次方程爲低次方程，化無理方程爲有理方程，化分式方程爲整式方程等解方程的思路，即化陌生爲熟悉，化複雜爲簡單，使學生更強化了這種解決問題的基本思想方法。

數學思想方法是數學中聯繫各項知識的紐帶，它較數學知識有更大的抽象性和概括性，只有在教學過程中長期滲透，才能收到良好的效果。因此，在課堂教學中滲透數學思想方法去指導教學，不僅可讓學生獲得教材以外的方法思想，而且能顯現教材本身隱含的思想方法，使學生充分認識問題的本質特徵，促使學生會學數學，養成用數學的意識。由此可見，這種將基本數學思想方法和知識、技能融爲一體的課堂教學，能有效地爲學生減負，避免後進生分化，值得人們深入地思考和實踐。

以上是我對目前國中數學教學中人們關切的數學思想方法所作的粗淺的探究，希望能引起同行們對這個課題的足夠重視，以期取得進一步的研究成果。

參考文獻：

[1]沈文選.中學數學思想方法M. 湖南師大出版社

[2]劉士明.數學思想方法在教學中的滲透 J.中學教學參考

[3]中學數學創新教法學苑出版社