數學教學中滲透傳統文化案例—雞兔同籠問題

數學教學中滲透傳統文化案例—雞兔同籠問題

本節課的內容是人教版義務教育課程標準實驗教材六年級數學上冊第七單元數學廣角“雞兔同籠”問題。生活是數學的源泉。本節課依據“從生活中來，到生活中去”的理念設計一條主線。“以學生的發展爲本，在學習過程中培養學生的數感。引導學生把學到的知識應用到生活中去，用數學的眼光去觀察、思考、解決周圍的問題。通過向學生提供了現實、有趣、富有挑戰的學習素材，藉助我國古代趣題“雞兔同籠”問題，使學生展開討論，從多角度思考，運用多種方法解題，學生可以應用猜測法、列表法（逐一列表法、跳躍式列表法、取中列表法）、假設法、列方程解決問題。學生根據自己的經驗，逐步探索不同的方法，找到解決問題的策略，在合作交流學習的過程中，積累解決問題的經驗，掌握解決問題的方法，同時在教學中滲透中華優秀傳統文化。大約在1500年前，在《孫子算經》記載的還了解了古代對這種題的解法叫做“砍足法”解答思路是這樣的：假如砍去每隻雞、每隻兔一半的腳，則每隻雞就變成了“獨角雞”，每隻兔就變成了“雙腳兔”。這一思路新穎而奇特，也令古今中外數學家讚歎不已。這種思維方法叫化歸法。化歸法就是在解決問題時，先不對問題採取直接的分析，而是將題中的條件或問題進行變形，使之轉化，直到最終把它歸成某個已經解決的問題，許多國小算術應用題都可以轉化成這類問題。由此可見這個問題的探究不但可以使學生了解到數學中的一些重要的數學思想而且還了解到我國古代很早的數學論著中就已經涉及到先進的數學思想和方法，無不令他們歎服。

教材分析：“雞兔同籠”問題是我國民間廣爲流傳的數學趣題，一方面培養學生邏輯推理能力。另一方面使學生體會代數方法的一般性。本節課藉助《孫子算經》中記載的“雞兔同籠”原題進行介紹，並通過學生冥思苦想該問題的畫面激發學生解決該類問題的興趣。由於“雞兔同籠”原題的數據較大，不便於學生進行探究，所以教材以化繁爲簡的思想爲指導，先在例1中安排一道數據較小的“雞兔同籠” 問題讓學生探索解決的方法。教材先讓學生利用列表法來解決問題，再向學生介紹“假設法”和列方程的解題方法。學生可以根據自己的經驗，逐步探索不同的方法，找到解決問題的策略，通過合作交流學習，積累解決問題的經驗，掌握解決問題的方法。

學情分析：在這之前，學生在五年級學習用方程解決問題時，接觸過類似的問題，嘗試過用方程解決這樣的問題；奧數題中也有專門類似的問題研究。因此，教學這一內容時，學生的程度會參差不齊。學生雖然對這個問題不是很陌生，所以找準有效的連接點，是開啓學生自主學習的關鍵。

教學目標：

1、通過學生對一些日常中的現象的觀察與思考，從中發現一些特殊的規律。

2、通過猜測、列表、假設或方程解等方法，解決雞兔同籠問題。

3、瞭解“雞兔同籠”問題，感受古代數學問題的趣味性。

教學重難點：

1、嘗試用不同的方法解決“雞兔同籠”問題。

2、在解決問題的過程中培養學生的邏輯推理能力。

教學教具：多媒體課件

教學過程：

一、創設情境，激情導入

1．出示原題

師：同學們，我們國家有着幾千年的悠久文化，在我國古代更是產生了許多位數學家和許多部數學著作，《孫子算經》就是其中一部，大約產生於一千五百年前，書中記載着這樣一道有名的數學趣題（課件出示《孫子算經》中的原題）：今有雉兔同籠，上有三十五頭，下有九十四足，問雉兔各幾何？

2．理解題意

師：同學們知道這道題的意思嗎？請試着說一說。

師：這道題的意思正如同學們所想的一樣，也就是：（課件出示）籠子裏有若干只雞和兔，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，雞和兔各有多少隻？

3．揭示課題

師：這就是著名的“雞兔同籠”問題，也正是這節課要研究的問題。

【設計意圖】從古書中的原題引入，激發學生的興趣，使學生感受古代數學文化，增強民族自豪感。激發了學生的求知慾和探究慾望，爲下面的學習做好了鋪墊。

二、合作探索，主動構建

1．出示例1

師：爲便於研究，我們可先從簡單問題入手，把題中的“35個頭”和“94只腳”分別換成“8個頭”和“26只腳”，就變成了例1：籠子裏有若干只雞兔。從上面數，有8個頭，從下面數，有26只腳，雞和兔各有幾隻？

2．理解題意

師：“從上面數，有8個頭；從下面數，有26只腳”分別是什麼意思？

3．嘗試、探究

1）、猜測、列表法

師：猜一猜雞和兔可能有多少隻？（生猜）

師：“有了大膽的猜想纔會有偉大的發明和發現”。

師：剛纔，我們是在隨意猜，其實還可以有順序的來猜。（課件出示表格）

師：如果先猜有8只雞和0只兔，就有幾隻腳；和題目中26只腳相不相同？這說明了什麼？怎麼辦？如果再猜有7只雞和1只兔，就有幾隻腳，腳的只數怎樣？（還少）；如果把兔的只數再增加1只，雞變爲多少隻，腳有幾條？發現了什麼了？師：看來大家都有一雙善於發現的眼睛。在雞和兔的總只數不變的情況下，每增加1只兔、減少1只雞，腳的總只數增加2只；反之，每減少1只兔，增加1只雞，腳的總只數減少2只。這個2是怎麼來的呢？

按照這樣的方法試下去，能不能得到雞和兔的只數呢？你們感覺這種方法怎樣？

生：當頭和腳的只數較多時，用一一列舉不容易找出答案，我們有研究新方法的必要。

【設計意圖】通過列表法，讓學生尋找這道雞免同籠的答案，增強學生的自信心，激勵他們自主探究數學問題的動力。

2）、假設法

A、假設全是雞

師：上面的過程能用算式表示出來嗎？請同學們試試看。

（學生試着列算式，請一個學生到黑板上去板演。）

生對着自己寫的算式說想法：假設籠子裏全是雞，就有2×8=16只腳，而籠子裏實際有26只腳，這樣就少了26－16=10只腳，需要把雞換成兔，而1只兔比1只雞多2只腳，這樣就有10÷2=5只兔，雞的只數就是8－5=3只了。

師：算出來後，我們還要檢驗算的對不對，口頭檢驗。

B、假設全是兔

師：先用假設全是雞的辦法解決了這個問題，現在假設全是兔又應該怎麼分析和解決這個問題呢？請同桌邊討論邊寫算式。

（學生討論寫算式，然後指名板演。）

師：這是一位同學寫的算式，我們來聽聽他是怎麼想的。

假設籠子裏全是兔，就有4×8=32只腳，這樣比實際的腳數多了32－26=6只腳，需要把兔換成雞，1只雞比1只兔少2只腳，這多的6只腳就需要把3只兔換成3只雞，這樣就有6÷2=3只雞，也就知道有8－3=5只兔了。

師：在列表、畫圖的基礎上，我們想到了兩種算術方法。回頭看看這兩種方法的第一步，一個假設全是雞，另一個假設全是兔，我們給這兩種方法起個名字吧。（假設法）

C、總結方法：算術法。

小組合作交流，①同桌討論，嘗試獨立列式解答。 ②集體反饋。

雞數＝(兔腳數×總頭數－總腳數)÷(兔腳數－雞腳數).

兔數＝(總腳數－雞腳數×總頭數)÷(兔腳數－雞腳數).

【設計意圖】由於假設法是本節課學習的重點、難點，因此在學生彙報解題方法時，我主要通過讓學生動手擺一擺的方法，搭建起從形象思維過渡到抽象思維。經過適時的點撥，幫助學生建立解決問題的方法，突出重點、突破難點，掌握方法，體驗成功。

3）、方程法：除了以上兩種方法，還有別的計算方法了嗎？

學生彙報列方程的方法。

師：要用列方程的方法就必須找到等量關係式。通過題目的信息能寫出哪些等量關係式呢？

（學生彙報，課件出示：兔的只數+雞的只數=8；兔的腿+雞的腿=26條腿）

用方程解：（見書第114頁有另一種解法）

解：設雞有x只，兔有（8—x）只

根據雞兔共有26只腳來列方程式

2x＋（8－x）×4=26

2X+32-4X =26（師生共同解方程）

32-2X=26

2X =32-26

2X =6

X =6÷2

X=3

8－3=5(只)

4、小結：引導學生尋求一般性的解題方法，即假設法和方程法，鼓勵學生從不同的角度思考問題，選擇適合自己的方法。

【設計意圖】通過適時的總結，引領學生找到解決雞兔同籠問題的一般性的方法。

5、介紹古人用的擡腿法:（見書第114頁）

小結：

古人所用的“擡腿法”其實也是假設法中的一種思路，可見古人的解題思路是多麼的巧妙。

算術法: 　總腳數÷2－總頭數＝兔子數.

【設計意圖】讓學生感受古人巧妙的解題思路，使學生體會研究雞兔同籠問題的價值。

三、鞏固練習

迴應引入時的古題，引導學生用合適的方法計算。然後說一說在我們的生活中有類似雞兔同籠的問題嗎？（龜鶴問題、乘船問題、合作植樹問題等）

【設計意圖】讓學生尋找生活中的雞兔同籠問題，使學生感受到“雞兔同籠”問題在生活中的廣泛應用。

四、拓展練習：第115頁“做一做”第1至2題

（龜相當於兔，鶴相當於雞）（大船相當於“兔”，小船相當於“雞”）

【設計意圖】 拓展練習是一個提升的過程，讓學生回顧研究雞兔同籠問題的解決方法的過程，選擇合適的方法來解決新的問題，在彙報時讓學生說說理由。用哪種方法合適？爲什麼？拓展練習的設計，目的是使學生鞏固瞭解決雞兔同籠問題的方法，同時解決問題的能力也得以進一步的提升。

五、全課小結：

同學們，現在我們來一起回憶一下，想一想你在本節課都學習到了什麼？

【設計意圖】這個環節的設計目的是讓每個學生建構自己的知識體系。

教學反思：

1、持之以恆原則。俗話說：十年樹木，百年樹人。在數學中滲透傳統文化教育也應持之以恆，切忌一曝十寒。

2、情境創設原則。利用各種途徑，創設能吸引受教育者的感受傳統文化教育的情境，使他們的學習與參與興趣調動起來，達到耳濡目染、春風化雨的效果。

3、培養學生的邏輯推理能力

雞兔同籠問題是我國民間廣爲流傳的數學趣題，原先是國小奧數學習的內容之一。現作爲數學教材內容《數學廣角》。針對學生現狀，我在教材的處理和目標的制定上，主要是讓學生通過學習，瞭解雞兔同籠問題，感受古代數學問題的趣味性，激發學生學習數學的興趣，同時通過多角度地思考，讓學生嘗試用不同的方法去解決雞兔同籠問題，體會代數方法的一般性，並且在解決問題中，讓學生經歷“猜測——列表——假設或方程解”的過程，培養學生的邏輯推理能力。

4、關注每一個同學的發展

由於學生原有認知背景的不同，他們對解答本課時的題目存在較大的差異，所以，在同樣的列表中，學生的認知水平也有一定的層次。但在教學的過程中，我並沒有提出統一的要求，允許不同的學生採用不同的解題方法。在交流時，有些學生用逐一列表的方法，也沒去指責他們，而是肯定他們想出好的方法；對於比較優秀的學生，則在課中請他們總結根據題目的條件選擇適當方法的優點。這樣做的目的，不同的學生在同一節課中就會都有不同程度地提高。

5、通過學習，使學生知道了假設的數學思想和列表的策略，不僅可以解答古代數學趣題——雞兔同籠，還能解答我們身邊的很多問題，體會到數學就在我們身邊。

總之，在數學課堂中滲透傳統文化教育方法也應是多種多樣、豐富多彩的，讓傳統文化滲透到教學實踐中，努力讓學生在學習數學的過程中，受到中華傳統文化的感染，產生共鳴，體會到傳統文化的價值所在，爲今後的成長和發展奠定堅實的基礎。